1 1 e x2 =2 d x 1. e (x2 +y 2 )=2 d x d y : Wir gehen nun zu Polarkoordinaten uber und setzen x := r cos und y := r sin.

Transkript

1 Lemma 92 Beweis: Wir berechnen zunachst I 2 : I 2 = Z 1 I := e x2 =2 d x p = 2: 1 Z 1 1 Z 1 Z 1 = 1 1 Z 1 e x2 =2 d x 1 e (x2 +y 2 )=2 d x d y : e y2 =2 d y Wir gehen nun zu Polarkoordinaten uber und setzen x := r cos und y := r sin. = cos sin r sin r cos = r(cos2 + sin 2 ) = r DWT 2.2 Normalverteilung 230/460

2 Beweis (Forts.): und wir erhalten I 2 = = Z 2 Z 1 0 Z e r2 =2 r d r d = 1 d = 2: Z 2 0 h i 1 e r2 =2 0 d DWT 231/460

3 1,0 ¼ ½ ¾ 1,0 ¼ ½ ¾ 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 0,0 0,0-3,0-2,0-1,0 0,0 1,0 2,0 3,0-3,0-2,0-1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 Dichte und Verteilung von N (0; 2 ) DWT 232/460

4 Satz 93 (Lineare Transformation der Normalverteilung) Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit X N (; 2 ). Dann gilt fur beliebiges a 2 R n f0g und b 2 R, dass Y = ax + b normalverteilt ist mit Y N (a + b; a 2 2 ). Beweis: Wir betrachten zunachst den Fall " a > 0\: Pr[Y y] = Pr[aX + b y] = Pr X y b a Z = p 1 (y b)=a (u ) 2 exp d u: Nach der Substitution u = (v b)=a und d u = (1=a) d v erhalten wir 1 DWT 233/460

5 Beweis (Forts.): Pr[Y y] = Z 1 y p exp 2a 1 (v a b) 2 2a 2 2 Also Y N (a + b; a 2 2 ). Fur a < 0 verlauft der Beweis analog. d v : DWT 2.2 Normalverteilung 234/460

6 Sei also X eine beliebige N (; 2 )-verteilte Zufallsvariable X und Y := X. Dann ist nach Satz 93 Y N (0; 1)-verteilt. Y heit auch normiert. Ferner gilt a Pr[a < X b] = Pr b = < Y b a : DWT 235/460

7 Satz 94 X sei N (0; 1)-verteilt. Dann gilt E[X] = 0 und Var[X] = 1: Beweis: E[X] = 1 p 2 Z 1 1 x exp x 2 2 d x: Da der Integrand punktsymmetrisch zu (0; 0) ist, folgt E[X] = 0. DWT 236/460

8 Beweis (Forts.): Mittels Lemma 92 und durch partielle Integration erhalten wir p Z 1 x 2 2 = exp d x 1 2 x 2 1 Z 1 x = x exp + x 2 2 exp d x {z } = 0 Daraus folgt, dass E[X 2 ] = 1 ist und somit Var[X] = E[X 2 ] E[X] 2 = 1. DWT 2.2 Normalverteilung 237/460

9 Satz 95 X sei N (; 2 )-verteilt. Dann gilt E[X] = und Var[X] = 2 : Beweis: Y := X ist standardnormalverteilt. Ferner gilt gema der Rechenregeln fur Erwartungswert und Varianz E[X] = E[Y + ] = E[Y ] + = und Var[X] = Var[Y + ] = 2 Var[Y ] = 2 : DWT 238/460

10 2.3 Exponentialverteilung Die Exponentialverteilung ist in gewisser Weise das kontinuierliche Analogon zur geometrischen Verteilung. Wie die geometrische Verteilung ist sie " gedachtnislos\. Sie spielt daher vor allem bei der Modellierung von Wartezeiten eine groe Rolle. DWT 2.3 Exponentialverteilung 239/460

11 Denition 96 Eine Zufallsvariable X heit exponentialverteilt mit dem Parameter, > 0, wenn sie die Dichte ( e x falls x 0; f(x) = 0 sonst besitzt. Fur die entsprechende Verteilungsfunktion gilt (fur x 0) Z x h F (x) = e t d t = e ti x = 1 e x : Fur x < 0 gilt selbstverstandlich F (x) = DWT 2.3 Exponentialverteilung 240/460

12 Z 1 E[X] = t e t d t 0 h i 1 Z 1 = t ( e t ) + e t d t = 0 + e t = 1 0 : DWT 241/460

13 Analog erhalten wir Z 1 E[X 2 ] = t 2 e t d t 0 h i 1 Z 1 = t 2 ( e t ) + 2t e t d t = E[X] = und somit Var[X] = E[X 2 ] E[X] 2 = 1 2 : DWT 242/460

14 2,0 1,6 ¼ ½ ¾ 1,0 0,8 1,2 0,6 0,8 0,4 0,4 0,2 ¼ ½ ¾ 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 Dichte und Verteilung der Exponentialverteilung DWT 2.3 Exponentialverteilung 243/460

15 2.3.1 Eigenschaften der Exponentialverteilung Satz 97 (Skalierung exponentialverteilter Variablen) Sei X eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit dem Parameter. Fur a > 0 ist die Zufallsvariable Y := ax wieder exponentialverteilt mit dem Parameter =a. Beweis: F Y (x) = Pr[Y x] = Pr[aX x] h = Pr X x i x = F X a a = 1 e x a : DWT 244/460

16 Gedachtnislosigkeit Satz 98 (Gedachtnislosigkeit) Eine (positive) kontinuierliche Zufallsvariable X mit Wertebereich R + ist genau dann exponentialverteilt, wenn fur alle x; y > 0 gilt, dass Pr[X > x + y j X > y] = Pr[X > x] : (*) Beweis: Sei X exponentialverteilt mit Parameter. Dann gilt Pr[X > x + y; X > y] Pr[X > x + y j X > y] = Pr[X > y] Pr[X > x + y] = Pr[X > y] = e (x+y) e y = e x = Pr[X > x] : DWT 2.3 Exponentialverteilung 245/460

17 Beweis (Forts.): Sei umgekehrt X eine kontinuierliche Zufallsvariable, die die Gleichung ( ) erfullt. Wir denieren g(x) := Pr[X > x]. Fur x; y > 0 gilt g(x + y) = Pr[X > x + y] Daraus folgt durch wiederholte Anwendung 1 g(1) = g n = n = Pr[X > x + y j X > y] Pr[X > y] = Pr[X > x] Pr[X > y] = g(x)g(y) : {z } n-mal und somit insbesondere auch g(1=n) = (g(1)) 1=n. 1 n g fur alle n 2 N n DWT 246/460

18 Beweis (Forts.): Da X nur positive Werte annimmt, muss es ein n 2 N geben mit g(1=n) > 0. Wegen 0 < g(1) 1 muss es daher auch ein 0 geben mit g(1) = e. Nun gilt fur beliebige p; q 2 N und somit g(r) = e r fur alle r 2 Q +. Aufgrund der Stetigkeit folgt daraus g(p=q) = g(1=q) p = g(1) p=q ; g(x) = e x : DWT 247/460

19 Beispiel 99 Uber das Casium-Isotop Cs ist bekannt, dass es eine mittlere Lebensdauer von ungefahr 3,03 Jahren oder 1; Minuten besitzt. Die Zufallsvariable X messe die Lebenszeit eines bestimmten Cs-Atoms. X ist exponentialverteilt mit dem Parameter = 1 E[X] = 1 1; ; min Da den Kehrwert einer Zeit als Einheit besitzt, spricht man von der Zerfallsrate. Auch bei anderen Anwendungen ist es ublich, als Rate einzufuhren. DWT 2.3 Exponentialverteilung 248/460

20 2.3.2 Exponentialverteilung als Grenzwert der geometrischen Verteilung Erinnerung: Die Poisson-Verteilung lasst sich als Grenzwert der Binomialverteilung darstellen. Wir betrachten eine Folge geometrisch verteilter Zufallsvariablen X n mit Parameter p n = =n. Fur ein beliebiges k 2 N ist die Wahrscheinlichkeit, dass X n k n, gleich Pr[X n kn] = knx i=1 (1 p n ) i 1 p n = p n = p n 1 (1 p n) kn p n = 1 X kn 1 i=0 1 (1 p n ) i kn : n DWT 249/460

21 Wegen lim n!1 (1 n )n = e gilt daher fur die Zufallsvariablen Y n := 1 n X n, dass lim Pr[Y n t] = lim n!1 Pr[X n t n] n!1" 1 1 = lim n!1 = 1 e t : n tn # Die Folge Y n der (skalierten) geometrisch verteilten Zufallsvariablen geht also fur n! 1 in eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter uber. DWT 2.3 Exponentialverteilung 250/460

22 3. Mehrere kontinuierliche Zufallsvariablen 3.1 Mehrdimensionale Dichten Beobachtung Zu zwei kontinuierlichen Zufallsvariablen X, Y wird der zugrunde liegende gemeinsame Wahrscheinlichkeitsraum uber R 2 durch eine integrierbare (gemeinsame) Dichtefunktion f X;Y : R 2! R + 0 mit Z 1 Z 1 f X;Y (x; y) d x d y = beschrieben. Fur ein Ereignis A R 2 (das aus abzahlbar vielen geschlossenen oder oenen Bereichen gebildet sein muss) gilt Pr[A] = Z A f X;Y (x; y) d x d y: DWT 3.1 Mehrdimensionale Dichten 251/460

23 Unter einem Bereich B verstehen wir dabei Mengen der Art B = f(x; y) 2 R 2 j a x b; c y dg mit a; b; c; d 2 R: Dabei konnen die einzelnen Intervallgrenzen auch " oen\ bzw. 1 sein. DWT 252/460

24 Analog zum eindimensionalen Fall ordnen wir der Dichte f X;Y eine (gemeinsame) Verteilung F X;Y : R 2! [0; 1] zu: Z y Z x F X;Y (x; y) = Pr[X x; Y y] = f X;Y (u; v) d u d v: 1 1 DWT 3.1 Mehrdimensionale Dichten 253/460

25 3.2 Randverteilungen und Unabhangigkeit Denition 100 Sei f X;Y die gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen X und Y. Die Randverteilung der Variablen X ist gegeben durch Z x Z 1 F X (x) = Pr[X x] = f X;Y (u; v) d v d u: 1 1 Analog nennen wir Z 1 f X (x) = f X;Y (x; v) d v 1 die Randdichte von X. Entsprechende Denitionen gelten symmetrisch fur Y. DWT 254/460

26 Denition 101 Zwei kontinuierliche Zufallsvariablen X und Y heien unabhangig, wenn fur alle x; y 2 R gilt. Pr[X x; Y y] = Pr[X x] Pr[Y y] Dies ist gleichbedeutend mit F X;Y (x; y) = F X (x) F Y (y) : Dierentiation ergibt f X;Y (x; y) = f X (x) f Y (y) : DWT 255/460

27 Fur mehrere Zufallsvariablen X 1 ; : : : ; X n gilt analog: X 1 ; : : : ; X n sind genau dann unabhangig, wenn bzw. fur alle x 1 ; : : : ; x n 2 R. F X1 ;:::;X n (x 1 ; : : : ; x n ) = F X1 (x 1 ) : : : F Xn (x n ) f X1 ;:::;X n (x 1 ; : : : ; x n ) = f X1 (x 1 ) : : : f Xn (x n ) DWT 3.2 Randverteilungen und Unabhangigkeit 256/460

28 3.3 Warteprobleme mit der Exponentialverteilung Warten auf mehrere Ereignisse Satz 102 Die Zufallsvariablen X 1 ; : : : ; X n seien unabhangig und exponentialverteilt mit den Parametern 1 ; : : : ; n. Dann ist auch X := minfx 1 ; : : : ; X n g exponentialverteilt mit dem Parameter 1 + : : : + n. Beweis: Der allgemeine Fall folgt mittels Induktion aus dem fur n = 2. Fur die Verteilungsfunktion F X gilt: 1 F X (t) = Pr[X > t] = Pr[minfX 1 ; X 2 g > t] = Pr[X 1 > t; X 2 > t] = Pr[X 1 > t] Pr[X 2 > t] = e 1t e 2t = e ( )t : DWT 257/460

29 Anschaulich besagt Satz 102, dass sich die Raten addieren, wenn man auf das erste Eintreten eines Ereignisses aus mehreren unabhangigen Ereignissen wartet. Wenn beispielsweise ein Atom die Zerfallsrate besitzt, so erhalten wir bei n Atomen die Zerfallsrate n (wie uns auch die Intuition sagt). DWT 3.3 Warteprobleme mit der Exponentialverteilung 258/460

30 Poisson-Prozess Wir hatten bei der Diskussion der geometrischen und der Poisson-Verteilung festgestellt: Wenn der zeitliche Abstand der Treer geometrisch verteilt ist, so ist ihre Anzahl in einer festen Zeitspanne binomialverteilt. Im Grenzwert n! 1, wobei wir die Treerwahrscheinlichkeit mit p n = =n ansetzen, konvergiert die geometrische Verteilung gegen die Exponentialverteilung und die Binomialverteilung gegen die Poisson-Verteilung. Im Grenzwert n! 1 erwarten wir deshalb die folgende Aussage: Wenn man Ereignisse zahlt, deren zeitlicher Abstand exponentialverteilt ist, so ist die Anzahl dieser Ereignisse in einer festen Zeitspanne Poisson-verteilt. DWT 259/460

31 Seien T 1 ; T 2 : : : unabhangige exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Parameter. Die Zufallsvariable T i modelliert die Zeit, die zwischen Treer i 1 und i vergeht. Fur den Zeitpunkt t > 0 denieren wir X(t) := maxfn 2 N j T 1 + : : : + T n tg: X(t) gibt also an, wie viele Treer sich bis zur Zeit t (von Zeit Null ab) ereignet haben. Es gilt: DWT 260/460

32 Fakt 103 Seien T 1 ; T 2 ; : : : unabhangige Zufallsvariablen und sei X(t) fur t > 0 wie oben deniert. Dann gilt: X(t) ist genau dann Poisson-verteilt mit Parameter t, wenn es sich bei T 1 ; T 2 ; : : : um exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Parameter handelt. Zum Zufallsexperiment, das durch T 1 ; T 2 ; : : : deniert ist, erhalten wir fur jeden Wert t > 0 eine Zufallsvariable X(t). Hierbei konnen wir t als Zeit interpretieren und X(t) als Verhalten des Experiments zur Zeit t. Eine solche Familie (X(t)) t>0 von Zufallsvariablen nennt man allgemein einen stochastischen Prozess. Der hier betrachtete Prozess, bei dem T 1 ; T 2 ; : : : unabhangige, exponentialverteilte Zufallsvariablen sind, heit Poisson-Prozess und stellt ein fundamentales und zugleich praktisch sehr bedeutsames Beispiel fur einen stochastischen Prozess dar. DWT 261/460

33 Beispiel 104 Wir betrachten eine Menge von Jobs, die auf einem Prozessor sequentiell abgearbeitet werden. Die Laufzeiten der Jobs seien unabhangig und exponentialverteilt mit Parameter = 1=30[1=s]. Jeder Job benotigt also im Mittel 30s. Gema Fakt 103 ist die Anzahl von Jobs, die in einer Minute vollstandig ausgefuhrt werden, Poisson-verteilt mit Parameter t = 60 (1=30) = 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute hochstens ein Job abgearbeitet wird, betragt in diesem Fall (t = 2) e t + te t 0;406 : DWT 262/460