Sind f X bzw. f Y die wie auf Folie 242 definierten Dichtefunktionen zur N(µ X, σx 2 )- bzw. N(µ Y, σy 2 )-Verteilung, so gilt (genau) im Fall ρ = 0

Transkript

1 Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung I Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung II Wichtige mehrdimensionale stetige Verteilung: mehrdimensionale multivariate Normalverteilung Spezifikation am Beispiel der zweidimensionalen bivariaten Normalverteilung durch Angabe einer Dichtefunktion f X,Y, 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 e { 1 21 ρ 2 [ µx σ X 2 2ρ ]} µx µy µy 2 σ X σ + Y σ Y abhängig von den Parametern µ X, µ Y R, σ X, σ Y > 0, ρ 1, 1 Man kann zeigen, dass die Randverteilungen von X, Y dann wieder eindimensionale Normalverteilungen sind, genauer gilt X Nµ X, σ 2 X und Y Nµ Y, σ 2 Y Sind f X bzw f Y die wie auf Folie 242 definierten Dichtefunktionen zur Nµ X, σx 2 - bzw Nµ Y, σy 2 -Verteilung, so gilt genau im Fall ρ 0 f X,Y, f X f Y für alle, R, also sind X und Y genau für ρ 0 stochastisch unabhängig Auch für ρ 0 sind die bedingten Verteilungen von X Y und Y X wieder Normalverteilungen, es gilt genauer: X Y N µ X + ρσ X µ Y, σx 2 1 ρ 2 σ Y bzw Y X N µ Y + ρσ Y µ X, σy 2 1 ρ 2 σ X Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 273 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 274 Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung III Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung IV Dichtefunktion der mehrdimensionalen Normalverteilung Isohöhenlinien der mehrdimensionalen Normalverteilungsdichte f, µ X 1, µ Y 3, σ X 2 4, σ Y 2 2, ρ 05 µ X 1, µ Y 3, σ 2 X 4, σ 2 Y 2, ρ 05 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 275 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 27

2 Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung V Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung VI Dichtefunktion der mehrdimensionalen Normalverteilung Isohöhenlinien der mehrdimensionalen Normalverteilungsdichte 015 f, µ X 0, µ Y 0, σ X 2 1, σ Y 2 1, ρ 0 µ X 0, µ Y 0, σ 2 X 1, σ 2 Y 1, ρ 0 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 277 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 278 Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung VII Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung VIII Dichtefunktion der mehrdimensionalen Normalverteilung Isohöhenlinien der mehrdimensionalen Normalverteilungsdichte 010 f, µ X 10, µ Y 10, σ X 2 4, σ Y 2 4, ρ 095 µ X 10, µ Y 10, σ 2 X 4, σ 2 Y 4, ρ 095 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 279 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 280

3 Erwartungswert von GX, Y Definition 107 Es seien X, Y eine zweidimensionale Zufallsvariable und G : R 2 R eine B 2 B messbare Abbildung Ist X, Y diskreter Zufallsvektor, sind i, j die Trägerpunkte sowie p X,Y die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X, Y und gilt i j G i, j p X,Y i, j <, dann eistiert der Erwartungswert EGX, Y und es gilt EGX, Y G i, j p X,Y i, j i j Ist X, Y stetiger Zufallsvektor mit Dichtefunktion f X,Y und gilt + + G, f X,Y, dd <, dann eistiert der Erwartungswert EGX, Y und es gilt EGX, Y + + G, f X,Y, dd Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 281 Beispiel 1: GX, Y a X + b Y + c für a, b, c R Wegen der Linearität von Summenbildung und Integration gilt stets: Ea X + b Y + c a EX + b EY + c Beispiel 2: GX, Y X Y Hier gilt im allgemeinen nicht EX Y EX EY! Sind X und Y allerdings stochastisch unabhängig, so gilt im diskreten Fall wegen px,y, p X p Y insgesamt EX Y i j p X i p Y j i j i i p X i j j p Y j und im stetigen Fall wegen fx,y, f X f Y insgesamt EX Y f X d f X f Y dd + f Y d, womit man in diesem Fall speziell EX Y EX EY erhält Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 282 Abhängigkeitsmaße Analog zur deskriptiven Statistik ist man an Maßzahlen für die Abhängigkeit von zwei Zufallsvariablen X und Y über demselben Wahrscheinlichkeitsraum interessiert Bei stochastischer Unabhängigkeit von X und Y sollten diese Maßzahlen naheliegenderweise den Wert 0 annehmen Wie in deskriptiver Statistik: Maß für lineare Abhängigkeit von X und Y vordergründig: Definition 108 Kovarianz Es sei X, Y ein zweidimensionaler Zufallsvektor Den Erwartungswert σ XY : CovX, Y : E [X EX Y EY ] nennt man im Falle der Eistenz Kovarianz zwischen X und Y Eine dem Varianzzerlegungssatz ähnliche Rechenvorschrift zeigt man auch leicht für die Berechnung der Kovarianz: Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 283 Rechenregeln für Kovarianzen Satz 109 Kovarianzzerlegungssatz Ist X, Y ein zweidimensionaler Zufallsvektor, so gilt im Fall der Eistenz der beteiligten Erwartungswerte CovX, Y EX Y EX EY Sind X, Y und Z Zufallsvariablen über demselben Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P und a, b R, so gelten außerdem die folgenden Rechenregeln: 1 CovaX, by ab CovX, Y 2 CovX + a, Y + b CovX, Y Translationsinvarianz 3 CovX, Y CovY, X Smmetrie 4 CovX + Z, Y CovX, Y + CovZ, Y 5 CovX, X VarX X, Y stochastisch unabhängig CovX, Y 0 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 284

4 Die erreichbaren Werte der Größe CovX, Y hängen nicht nur von der Stärke der linearen Abhängigkeit ab, sondern wie insbesondere aus Rechenregel 1 von Folie 284 ersichtlich auch von der Streuung von X bzw Y Wie in deskriptiver Statistik: Alternatives Abhängigkeitsmaß mit normiertem Wertebereich, welches invariant gegenüber Skalierung von X bzw Y ist Hierzu Standardisierung der Kovarianz über Division durch Standardabweichungen von X und Y falls möglich!: Definition 1010 Es sei X, Y ein zweidimensionaler Zufallsvektor mit VarX σx 2 > 0 und VarY σy 2 > 0 Man nennt ρ XY : KorrX, Y : σ XY σ X σ Y CovX, Y + VarX VarY den Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson zwischen X und Y Rechenregeln für Korrelationskoeffizienten Sind X und Y Zufallsvariablen über demselben Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P mit VarX > 0, VarY > 0 und a, b R, so gilt: { KorrX, Y falls a b > 0 1 KorraX, by KorrX, Y falls a b < 0 2 KorrX + a, Y + b KorrX, Y Translationsinvarianz 3 KorrX, Y KorrY, X Smmetrie 4 1 KorrX, Y 1 5 KorrX, X 1 KorrX, Y 1 KorrX, Y 1 } genau dann, wenn Y ax + b mit 7 X, Y stochastisch unabhängig KorrX, Y 0 Zufallsvariablen X, Y mit CovX, Y 0! heißen unkorreliert { a > 0 a < 0 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 285 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 28 Zusammenhang Unkorreliertheit und Unabhängigkeit Varianzen von Summen zweier Zufallsvariablen Offensichtlich gilt stets falls die Kovarianz eistiert: X, Y stochastisch unabhängig X, Y unkorreliert Die Umkehrung ist allerdings im allgemeinen falsch, es gilt außer in speziellen Ausnahmefällen: X, Y unkorreliert X, Y stochastisch unabhängig Einer dieser Ausnahmefälle ist die bivariate Normalverteilung: Ist der Zufallsvektor X, Y zweidimensional normalverteilt, so gilt in dieser Situation nämlich KorrX, Y ρ und damit siehe Folie 274: X, Y unkorreliert X, Y stochastisch unabhängig Durch Verknüpfung verschiedener Rechenregeln aus Folie 284 lässt sich leicht zeigen, dass stets VarX + Y VarX + 2 CovX, Y + VarY bzw für a, b, c R allgemeiner stets gilt VaraX + by + c a 2 VarX + 2ab CovX, Y + b 2 VarY Nur für unkorrelierte also insbesondere auch für stochastisch unabhängige Zufallsvariablen X und Y gilt offensichtlich spezieller VaraX + by + c a 2 VarX + b 2 VarY Dies kann für mehr als zwei Zufallsvariablen weiter verallgemeinert werden Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 287 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 288

5 10 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Momente höherdimensionaler Zufallsvektoren 108 Momente höherdimensionaler Zufallsvektoren Definition 1011 Seien n N und X X 1,, X n ein n-dimensionaler Zufallsvektor Dann heißt der n-dimensionale Vektor EX : [EX 1,, EX n ] EX 1 EX n Erwartungswertvektor von X und die n n-matri VX : E [ X EX X EX ] E[X 1 EX 1 X 1 EX 1 ] E[X 1 EX 1 X n EX n ] : E[X n EX n X 1 EX 1 ] E[X n EX n X n EX n ] Varianz-Kovarianzmatri von X Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie Mehrdimensionale Zufallsvariablen Momente höherdimensionaler Zufallsvektoren 108 Es gilt VX CovX 1, X 1 CovX 1, X 2 CovX 1, X n 1 CovX 1, X n CovX 2, X 1 CovX 2, X 2 CovX 2, X n 1 CovX 2, X n CovX n 1, X 1 CovX n 1, X 2 CovX n 1, X n 1 CovX n 1, X n CovX n, X 1 CovX n, X 2 CovX n, X n 1 CovX n, X n VarX 1 CovX 1, X 2 CovX 1, X n 1 CovX 1, X n CovX 2, X 1 VarX 2 CovX 2, X n 1 CovX 2, X n CovX n 1, X 1 CovX n 1, X 2 VarX n 1 CovX n 1, X n CovX n, X 1 CovX n, X 2 CovX n, X n 1 VarX n Der Eintrag v ij der i-ten Zeile und j-ten Spalte von VX ist also gegeben durch CovX i, X j VX ist wegen CovX i, X j CovX j, X i offensichtlich smmetrisch Für n 1 erhält man die klassische Definition der Varianz, das heißt die Matri VX wird als 1 1-Matri skalar und stimmt mit VarX 1 überein Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie Mehrdimensionale Zufallsvariablen Momente höherdimensionaler Zufallsvektoren 108 Ein n-dimensionaler Zufallsvektor X X 1,, X n bzw die n eindimensionalen Zufallsvariablen X 1,, X n heißen unkorreliert, wenn VX eine Diagonalmatri ist, also höchstens die Diagonaleinträge von 0 verschieden sind Es gilt in Verallgemeinerung von Folie 287 bei Eistenz der Momente: X 1,, X n stochastisch unabhängig X 1,, X n unkorreliert, die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht! Dass stochastische Unabhängigkeit eine stärkere Eigenschaft ist als Unkorreliertheit, zeigt auch der folgende Satz: Satz 1012 Seien für n N stochastisch unabhängige Zufallsvariablen X 1,, X n über einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P sowie B B messbare Funktionen G i : R R für i {1,, n} gegeben Dann sind auch die Zufallsvariablen G 1 X 1,, G n X n stochastisch unabhängig 11 Summen von Zufallsvariablen Momente von Summen von Zufallsvariablen 111 Momente von Summen von Zufallsvariablen Regelmäßig ist man für n N an der Verteilung bzw an Maßzahlen der Summe n i1 X i X X n oder einer gewichteten Summe w i X i w 1 X w n X n w 1,, w n R i1 von n Zufallsvariablen X 1,, X n interessiert In Verallgemeinerung von Folie 282 zeigt man für den Erwartungswert leicht E X i EX i bzw E w i X i w i EX i i1 i1 Insbesondere gilt für das arithmetische Mittel aus X 1,, X n 1 E X i 1 EX i n n i1 i1 i1 i1 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 291 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 292

6 11 Summen von Zufallsvariablen Momente von Summen von Zufallsvariablen 111 In Verallgemeinerung von Folie 288 erhält man für die Varianz weiter Var X i CovX i, X j VarX i + CovX i, X j i1 bzw Var w i X i i1 i1 j1 i1 j1 i1 i1 i1 i1 w i w j CovX i, X j w 2 i VarX i + w 2 i,j {1,,n} i j n 1 VarX i + 2 i,j {1,,n} i j n 1 i VarX i + 2 i1 ji+1 i1 ji+1 CovX i, X j w i w j CovX i, X j w i w j CovX i, X j 11 Summen von Zufallsvariablen Momente von Summen von Zufallsvariablen 111 Sind X 1,, X n unkorreliert, so vereinfacht sich die Varianz der Summe wegen CovX i, X j 0 für i j offensichtlich zu Var X i VarX i bzw i1 Var w i X i i1 i1 i1 w 2 i VarX i Fasst man die Zufallsvariablen X 1,, X n im n-dimensionalen Zufallsvektor X X 1,, X n und die Gewichte w 1,, w n im Vektor w w 1,, w n R n zusammen, so lassen sich die Ergebnisse kürzer darstellen als E w i X i w EX bzw Var w i X i w VXw i1 i1 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 293 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie Summen von Zufallsvariablen Summen von Zufallsvariablen spezieller Verteilungen 112 Summen von Zufallsvariablen spezieller Verteilungen Sind die Zufallsvariablen X 1,, X n nicht nur unkorreliert, sondern sogar unabhängig, dann sind einige der erläuterten Verteilungsfamilien abgeschlossen gegenüber Summenbildungen Besitzen darüberhinaus alle n Zufallsvariablen X 1,, X n eakt dieselbe Verteilung, spricht man von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen gemäß folgender Definition: Definition 111 iid Zufallsvariablen Seien für n N Zufallsvariablen X 1,, X n über einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P gegeben mit Q X : P X1 P X2 P Xn, X 1,, X n stochastisch unabhängig Dann heißen die Zufallsvariablen X 1,, X n unabhängig identisch verteilt iid independent and identicall distributed gemäß Q X, in Zeichen: X i Q X uiv oder X i Q X für i {1,, n} 11 Summen von Zufallsvariablen Summen von Zufallsvariablen spezieller Verteilungen 112 Satz 112 Summen spezieller Zufallsvariablen Seien n N, X 1,, X n stochastisch unabhängige Zufallsvariablen und Gilt für i {1,, n} weiterhin Y : X X n X i 1 X i B1, p für ein p 0, 1, also insgesamt X i iid B1, p, so gilt Y Bn, p vgl Folie 232, 2 X i Bn i, p für n i N und ein p 0, 1, so gilt Y BN, p mit N : n n n n i1 n i, 3 X i Poisλ i für λ i R +, so gilt Y Poisλ mit λ : λ λ n n i1 λ i, 4 X i Nµ i, σi 2 für µ i R und σi 2 > 0, so gilt Y Nµ, σ 2 mit µ µ µ n n i1 µ i und σ 2 σ σ2 n n i1 σ2 i, 5 X i Nµ, σ 2 für ein µ R und ein σ 2 iid > 0, also insgesamt X i Nµ, σ 2, so gilt für X : 1 n X X n 1 n n i1 X i insbesondere X Nµ, σ2 n i1 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 295 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 29

7 11 Summen von Zufallsvariablen Grenzwertsätze für Summen von Zufallsvariablen 113 Der zentrale Grenzwertsatz Die Verteilung von Summen insbesondere unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen weist ein spezielles Grenzverhalten auf, wenn die Anzahl der summierten Zufallsvariablen wächst Dieses Grenzverhalten ist wesentlicher Grund für großes Anwendungspotenzial der Standard-Normalverteilung Betrachte im Folgenden für i N unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen X i mit EX i µ X R und VarX i σx 2 > 0 Gilt n für die Anzahl n der summierten Zufallsvariablen X i, gilt für die Summen Y n : n i1 X i offensichtlich VarY n n σx 2 und für µ X 0 auch EY n n µ X ±, eine Untersuchung der Verteilung von Y n für n ist also schwierig Stattdessen: Betrachtung der standardisierten Zufallsvariablen Z n : Y n n EY n VarYn i1 X i 1 n nµx n i1 X i µx n σ X n mit EZ n 0 und VarZ n 1 für alle n N Gemäß folgendem Satz konvergiert die Verteilung der Z n für n gegen eine Standardnormalverteilung: Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 297 σ X 11 Summen von Zufallsvariablen Grenzwertsätze für Summen von Zufallsvariablen 113 Satz 113 Zentraler Grenzwertsatz Es seien X i für i N unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit EX i µ X R und VarX i σx 2 > 0 Für n N seien die Summen Y n : n i1 X i bzw die standardisierten Summen bzw Mittelwerte Z n : Y n n EY n VarYn i1 X i 1 n nµx n i1 X i µx n σ X n von X 1,, X n definiert Dann gilt für die Verteilungsfunktionen F Zn der Zufallsvariablen Z n lim F Z n z F N0,1 z Φz für alle z R, n man sagt auch, die Folge Z n von Zufallsvariablen konvergiere in Verteilung gegen n die Standardnormalverteilung, in Zeichen Z n N0, 1 Mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes lassen sich insbesondere weitere schwächere oder speziellere Grenzwertsätze zeigen, Wahrscheinlichkeiten von Summen von iid Zufallsvariablen näherungsweise mit Hilfe der Standardnormalverteilung auswerten Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 298 σ X 11 Summen von Zufallsvariablen Grenzwertsätze für Summen von Zufallsvariablen 113 Das schwache Gesetz der großen Zahlen Eine direkte Folge von Satz 113 ist zum Beispiel das folgende Resultat: Satz 114 Schwaches Gesetz der großen Zahlen Es seien X i für i N unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit EX i µ X R Dann gilt: { } lim P 1 X n i µ X ε 0 für alle ε > 0 n i1 Das schwache Gesetz der großen Zahlen besagt also, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Mittelwert von n iid Zufallsvariablen betragsmäßig um mehr als eine vorgegebene kleine Konstante ε > 0 vom Erwartungswert der Zufallsvariablen abweicht, für n gegen Null geht Insbesondere konvergiert also die Folge der beobachteten relativen Häufigkeiten der Erfolge bei unabhängiger wiederholter Durchführung eines Bernoulli-Eperiments gegen die Erfolgswahrscheinlichkeit p Letztendlich ist dies auch eine Rechtfertigung für den häufigkeitsbasierten Wahrscheinlichkeitsbegriff! Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie Summen von Zufallsvariablen Grenzwertsätze für Summen von Zufallsvariablen 113 Veranschaulichung Schwaches Gesetz der großen Zahlen relative Häufigkeit des Auftretens der Zahl beim Würfeln rel Häufigkeit n Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 300

8 11 Summen von Zufallsvariablen Grenzwertsätze für Summen von Zufallsvariablen 113 Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace Erinnerung: siehe Satz 112, Folie 29 Summen iid bernoulliverteilter Zufallsvariablen sind binomialverteilt Die Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes 113 auf binomialverteilte Zufallsvariablen als Summen iid bernoulliverteilter Zufallsvariablen führt zur zumindest historisch wichtigen und beliebten Näherung von Binomialverteilungen durch Normalverteilungen Resultat ist auch als eigenständiger Grenzwertsatz bekannt: Satz 115 Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace Für n N und p 0, 1 sei Y n Bn, p Dann konvergieren die standardisierten Zufallsvariablen Z n : Y n np np1 p in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung, es gilt also lim F Z n z F N0,1 z Φz für alle z R n Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie Summen von Zufallsvariablen Grenzwertsätze für Summen von Zufallsvariablen 113 Anwendung der Grenzwertsätze für Näherungen Grenzwertsätze treffen nur Aussagen für n In praktischen Anwendungen wird verwendet, dass diese Aussagen für endliche, aber hinreichend große n, schon näherungsweise gelten Eine häufige verwendete Faustregel zur Anwendung des Grenzwertsatzes von de Moivre-Laplace ist zum Beispiel np1 p 9 Äquivalente! Anwendungsmöglichkeit der Grenzwertsätze für endliches n: Verwendung der NnµX, nσx 2 -Verteilung für Y n : X i oder i1 der N µ X, σ2 X -Verteilung für X n : 1 n n Yn 1 n X i oder der Standardnormalverteilung für Zn : Yn nµ X X n µ X n σ X n σ X mit µ X EX i und σx 2 VarX i statt der jeweiligen eakten Verteilung iid Gilt X i Nµ X, σx 2, stimmen die Näherungen sogar mit den eakten Verteilungen überein siehe Folie 29! Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 302 i1 11 Summen von Zufallsvariablen Grenzwertsätze für Summen von Zufallsvariablen 113 Beispiele I zur Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes 11 Summen von Zufallsvariablen Grenzwertsätze für Summen von Zufallsvariablen 113 Beispiele II zur Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes Für Y n Bn, p erhält man beispielsweise die Näherung z np P{Y n z} F Yn z F Nnp,np1 p z Φ np1 p oder gleichbedeutend { P{Y n z} P Y n np np1 p } { z np P Z n np1 p z np z np F N0,1 Φ np1 p np1 p } z np np1 p Gilt Y B5000, 02, so erhält man für die Wahrscheinlichkeit, dass Y Werte > 1000 und 1050 annimmt, näherungsweise P{1000 < Y 1050} F Y 1050 F Y Φ Φ Eakte Wahrscheinlichkeit: Φ177 Φ Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 303 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 304

9 11 Summen von Zufallsvariablen Grenzwertsätze für Summen von Zufallsvariablen 113 Beispiele III zur Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes 11 Summen von Zufallsvariablen Grenzwertsätze für Summen von Zufallsvariablen 113 Veranschaulichung des zentralen Grenzwertsatzes an der Verteilungsfunktion standardisierter Binomialverteilungen Bn, p mit p 03 iid Seien X i Pois5 für i {1,, 100} es gilt also EX i 5 und VarX i 5, sei Y : 100 i1 X i Dann gilt für das untere Quartil 025 von Y F Y 025 F N100 5, Φ ! und unter Verwendung von Φz 1 Φ z bzw Φ z 1 Φz weiter Φ ! Φ eaktes unteres Quartil unter Verwendung von Y Pois500: Fz N0,1 n10 n100 n z Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 305 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie Summen von Zufallsvariablen Grenzwertsätze für Summen von Zufallsvariablen 113 Veranschaulichung des zentralen Grenzwertsatzes an der Dichtefunktion standardisierter Summen von Eponentialverteilungen mit λ 2 11 Summen von Zufallsvariablen Grenzwertsätze für Summen von Zufallsvariablen 113 Veranschaulichung des zentralen Grenzwertsatzes an der Dichtefunktion standardisierter Summen von Unif20, 50-Verteilungen fz N0,1 n3 n5 n10 n50 n500 f N0,1 n3 n5 n z Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 307 Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung SS 2018 Folie 308