Seminar stochastische Geometrie. 25. Januar Faserprozesse im R 2. Simona Renner. Faserprozesse. Kenngrößen Intensität Richtungsrose

Transkript

1 Seminar stochastische Geometrie 25. Januar 2010

2 Contents

3

4 Definitionen Faser: glatte Kurve endlicher Länge in der Ebene Faser γ ist das Bild der Kurve γ(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t)) mit (i) γ : [0, 1] R 2 ist einmal stetig differenzierbar (ii) γ (t) 2 = γ 1 (t) 2 + γ 2 (t) 2 > 0 für alle t (iii) die Abbildung γ ist injektiv

5 Definitionen Doppeldeutige Verwendung von γ: γ steht auch für das Maß γ(b) = h 1 (γ B) = B (γ(t)) γ 1 (t)2 + γ 2 (t)2 dt für B B(R 2 ) Länge der Faser γ, die in B liegt.

6 Definitionen Fasersysteme φ: abgeschlossene Teilmenge des R 2 Für Fasern γ (i) φ := i=1 γ (i) Für eine kompakte Menge K R 2 K γ (i) nur für endlich viele i γ (i) ((0, 1)) γ (j) ((0, 1)) = falls i j

7 Definitionen Doppeldeutige Verwendung von φ: Längenmaß: φ(b) = γ (i) (B) = für B B(R 2 ) γ (i) φ γ (i) φ h 1 (γ (i) B) Gesamtlänge aller Fasern von φ, die in B liegen.

8 Eigenschaften von Fasersystemen Fasersystem φ kann enthalten die Definition des Fasersystem φ ist nicht eindeutig

9 Eigenschaften von Fasersystemen Fasersystem φ kann enthalten die Definition des Fasersystem φ ist nicht eindeutig Maß φ nur abhängig von der Vereinigung aller Fasern

10 Eigenschaften von Fasersystemen Fasersystem φ kann enthalten die Definition des Fasersystem φ ist nicht eindeutig Maß φ nur abhängig von der Vereinigung aller Fasern

11 Definitionen Φ: D Familie aller Fasersysteme, mit σ-algebra D, erzeugt von Mengen der Form { φ D : φ(b) < x } x R und B B(R 2 ) eine kompakte Menge Φ Zufallsvariable mit Werten in [D, D], also messbare Abbildung aus [Ω, A, P] nach [D, D].

12 Definitionen Φ bezeichnet auch das zugehörige zufällige Längenmaß Die Verteilung P des s Φ ist definiert durch P(D) = P ( {ω : Φ(ω) D } ) für D D

13 reale Beobachtungen Störungszonen von Erdbeben

14 Boolesches Modell {x 1, x 2,...} (Keime) stationärer Poissonsprozess mit λ Ξ 1, Ξ 2,... (Kerne) Folge von i.i.d. zufälligen kompakten Mengen konstruiertes Boolesches Modell Ξ = (Ξ n + x n ) n=1 Falls die Kerne Kurven sind, ergibt sich ein Faserprozess.

15 Boolesches Modell simuliertes Boolesches Modell

16 Stationarität und Isotropie Faserprozess Φ stationär: P(Y ) = P(Y x ) für alle Y in D und alle x in R 2 mit Y x = {ϕ D : ϕ x Y }. Faserprozess Φ isotrop: Verteilung bleibt bei Rotationen um den Ursprung gleich

17 smaß Λ eines s: Λ(B) = E [Φ(B)] = E h 1 (γ B) γ Φ für B B(R 2 )

18 Für stationäres Φ gilt Λ = L A ν 2 mit Konstante 0 L A der von Φ.

19 /Richtungsverteilung In Punkt x definiert man eine Tangente an den Faserprozess bildet Winkel w(x) mit x 1 -Achse Bsp.:

20 /Richtungsverteilung Zufallsmaß Ψ: Ψ(B L) = mit B B(R 2 ) und L B((0, π]) B 1 L (w(x)) Φ(dx) Ψ(B L) Gesamtlänge aller Faserteile von Φ die in B liegen und eine Tangentenrichtung haben, die in L liegt.

21 /Richtungsverteilung Λ Ψ smaß von Ψ: Λ Ψ (B L) = E [Ψ(B L)]. Wenn Φ stationär, kann Λ Ψ geschrieben werden als: Λ Ψ (B L) = L A ν 2 (B)R(L) R ist eine Verteilung auf B((0, π]) die sogenannte.

22 /Richtungsverteilung

23 Φ stationärer Faserprozess mit Verteilung P, L A und R mit R((0, π]) = 1 Betrachte von Φ mit x 1 -Achse, mit x 1 -Achse bezeichnet als e Prozess Φ e ist ein Punktprozess auf e markiert durch die Winkel in den n Ψ = {[y n ; w(y n )]} ist der markierte Punktprozess R und L A aus Verteilung von Ψ

24 P L von Ψ H Markenverteilung auf (0, π]: Verteilung der Schnittwinkel eines typischen s von Ψ = Φ e Zusammenhang zwischen von Ψ und Φ P L h(z, α) H(dα) dz R (0,π] = L A R (0,π] h(z, α) sin(α)r(dα) dz (1) h ist eine nichtnegative und messbare Funktion auf R (0, π]

25 berechnen Verwendung von h(z, α) = 1 [0,1] (z) in (1) liefert P L = L A (0,π] sin(α)r(dα). (2) Verwendung von h(z, α) = 1 [0,1] (z)1 (0,β] (α) für ein β (0, π] in (1) liefert P L H((0, β]) = L A sin(α)r(dα). (3) (0,β]

26 berechnen Kombination der beiden letzten Formeln ergibt die Verteilungsfunktion F H für die Markenverteilung H als (0,β] F H (β) = H((0, β]) = sin(α)r(dα) (0,π] sin(α)r(dα) für 0 < β π

27 berechnen Sei R({π}) = 0 dann lassen sich aus (3) die von Φ aus denen von Ψ bestimmen: R((0, β]) = P L (sin(α)) 1 H(dα) L A setzt man β = π ergibt sich L A = P L (0,π] (0,β] (sin(α)) 1 H(dα)

28 Schnittpunktrose Schnittpunktrose P L ( ) P L (β) des Punktprozesses der von Φ mit einer Geraden mit Winkel β zu e Unter Verwendung von (2) ergibt sich P L (β) = L A sin(α β) R(dα) (0,π]

29 Schnittpunktrose Falls R eine stetige Dichte f R hat kann man die letzte Gleichung differenzieren und erhält d 2 dβ 2 P L(β) + P L (β) = 2L A f R (β) (4)

30 Annahmen zur Schätzung Daten: Realisierung des stationären s Φ Beobachtungen erfolgen in einem kompakten Beobachtungsfenster W

31 Schätzung der Φ(W ) Gesamtlänge aller Fasern in W erwartungstreuer für L A gegeben durch ˆL A = Φ(W ) ν 2 (W ) = h 1(Φ W ) ν 2 (W )

32 Schätzung der Für Φ isotrop ist R die Gleichverteilung auf (0, π]. Dann folgt aus (2) die Gleichung L A = π 2 P L T W ein Testsystem von Linien liefert den ˆL i A = π#{t Φ} 2h 1 (T ) mit h 1 (T ) die Gesamtlänge des Liniensystems

33 Schätzung der Formel (4) liefert Verwende F R (β) = 1 ( dpl (β) β ) + P L (α)dα 2L A dβ 0 ˆP L (β) = #{T (β) Φ} h 1 (T (β) ) mit T (β) W Testsystem von Linien, das mit x 1 -Achse den Winkel β einschließt

34 Schätzung der Dies ergibt den ˆF R (β) = 1 2L A ( ) dˆp L (β) β + ˆP L (α)dα dβ 0 dˆp L (β)/dβ ist eine numerische Ableitung von ˆP L (β) Methode ist sehr anfällig für Messfehler

35 Schätzung der alternative Methode: T W Testsystem von Kreisen mit Radius R 1 1 #(Φ T ) (α1,α 2 ](w(x)) x Φ T für R((α 1, α 2 ]), hier ist w(x) die Richtung der Fasertangente in x

36 Schmidt, V. (2008), Räumliche Statistik (Vorlesungsskript) Stoyan, D., Kendall, W.S., Mecke, J. (1995): Stochastic Geometry and its Applications, Wiley

37 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!