Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen Thema: Faserprozesse

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1 Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen Thema: Faserprozesse Universität Ulm Degang Kong

2 Inhaltsverzeichnis 1. Ungerichtete Linienprozesse als Faserprozesse. Planare Faserprozesse.1 Grundlagen. Schnittpunktprozesse.3 Schätzung der Richtungsrose

3 . Planare Faserprozesse Beispiel: Poisson Geraden-Mosaik (PGM) 3

4 . Planare Faserprozesse { l1, l, l3,...} Sei eine Familie von Geraden im Dann ist das Maß gegeben durch ( B) h1 ( l B) l wobei - B ( ) - ist das 1-dimensionale Hausdorff Maß h 1 4

5 . Planare Faserprozesse Beispiel: - X { X1, X,...} ein stationärer Poisson Prozess auf mit Intensität - M U(0, ), i i Markierter PP ( X1, M1),( X, M)... x 1 x m 1 x 3 m m3 5

6 . Planare Faserprozesse Definition: Das gewichtete zufällige Maß ( BL) h( B l) l, ( l) L 1 wobei - () l (0, ] ist die Richtung von - ( ), B L (0, ] l 6

7 . Planare Faserprozesse Definition: L A Intensität von : für stationär gilt L ( ) ( ( )) Av B E B für alle B ( ) Intensitätsmaß von : v LA wobei - ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (0, ], heißt the rose of directions oder Richtungsrose 7

8 . Planare Faserprozesse Definition: L A Intensität von : für stationär gilt L ( ) ( ( )) Av B E B für alle B ( ) Intensitätsmaß von : v LA wobei - ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (0, ], heißt the rose of directions oder Richtungsrose 8

9 Inhaltsverzeichnis. Planare Faserprozesse.1 Grundlagen Fasern und Fasersysteme Faserprozess. Schnittpunktprozesse.3 Schätzung der Richtungsrose 9

10 . Planare Faserprozesse.1 Grundlagen Fasern und Fasersysteme Definition: Faser ist das Bild der Kurve () t ( 1(), t ()) t mit den Eigenschaften: :[0,1] ist einmal stetig differenzierbar '( t) '() 1 t '() t 0, t[0,1] ist injektiv kann auch als Maß gesehen werden: B 1 ( B) h( B) ( ( t)) ( '( t)) ( '( t)) dt für B ( ) 10

11 . Planare Faserprozesse.1 Grundlagen Fasern und Fasersysteme Definition: Faser ist das Bild der Kurve () t ( 1(), t ()) t mit den Eigenschaften: :[0,1] ist einmal stetig differenzierbar '( t) '() 1 t '() t 0, t[0,1] ist injektiv kann auch als Maß gesehen werden: B 1 ( B) h( B) ( ( t)) ( '( t)) ( '( t)) dt für B ( ) 11

12 . Planare Faserprozesse.1 Grundlagen Fasern und Fasersysteme Definition: (1) () Fasersystem {,,...} ist eine abgeschlossene Menge auf, lokal endlich () i ( j) mit ((0,1)) ((0,1)) falls i j ( B) das entsprechende Längemaß : () i ( B) ( B) ( i ) für B ( ) 1

13 . Planare Faserprozesse.1 Grundlagen Faserprozess Definition: Ein (planarer) Faserprozess : ist eine Zufallsvariable, d.h. eine messbare Abbildung vom Wahrscheinlichkeitsraum [,, P] nach[, ] wobei - ist die Familie von allen Fasersystemen im - ist die von den Mengen { : ( B) x} BB( ) kompakt, x erzeugte - Algebra ( B) bezeichnet auch das Längemaß ( B) h( B) für 1 B ( ) 13

14 . Planare Faserprozesse.1 Grundlagen Faserprozess Definition: Ein (planarer) Faserprozess : ist eine Zufallsvariable, d.h. eine messbare Abbildung vom Wahrscheinlichkeitsraum [,, P] nach[, ] wobei - ist die Familie von allen Fasersystemen im - ist die von den Mengen { : ( B) x} BB( ) kompakt, x erzeugte - Algebra ( B) bezeichnet auch das Längemaß ( B) h( B) für 1 B ( ) 14

15 . Planare Faserprozesse.1 Grundlagen Faserprozess Definition: Stationarität und Isotropie stationär, falls der verschobene Faserprozess die gleiche Verteilung wie besitzt, d.h. x wobei P( Y) P( Y x ) Y x { : Y} x für alle Y und alle x isotrop, falls sich die Verteilung nach der Drehung um den Ursprung nicht ändert 15

16 . Planare Faserprozesse.1 Grundlagen Faserprozess Definition: Intensität Intensitätsmaß: ( B) E( (B))=E h1( B) für B ( ) falls der Prozess stationär ist, dann gilt L v A 16

17 . Planare Faserprozesse.1 Grundlagen Faserprozess Definition: Gewichtetes zufälliges Maß mit ( BL) 1 L( w( x)) ( dx) B : ( ) ((0, ]) [0, ) für B L ( ), ((0, ]) wobei - wx ( ) (0, ] ist die Tangentenrichtung in x - ( BL) ist die Länge aller Fasern in B mit Richtung in L 17

18 . Planare Faserprozesse.1 Grundlagen Faserprozess () x (1) x () w( x ) (1) wx ( ) x1 Achse Tangentenrichtung wx ( ) 18

19 . Planare Faserprozesse.1 Grundlagen Faserprozess Intensitätsmaß von ( BL) E( ( BL)) für Falls stationär ist, dann gilt wobei ist die Richtungsrose, wird als Verteilung der Tangentenrichtung in einem typischen Punkt einer Faser bezeichnet. Bew. ( BL) L v ( B) ( L) A für B L ( ), ((0, ]) B L ( ), ((0, ]) 19

20 . Planare Faserprozesse.1 Grundlagen Faserprozess Intensitätsmaß von ( BL) E( ( BL)) für Falls stationär ist, dann gilt wobei ist die Richtungsrose, wird als Verteilung der Tangentenrichtung in einem typischen Punkt einer Faser bezeichnet. Bew. ( BL) L v ( B) ( L) A für B L ( ), ((0, ]) B L ( ), ((0, ]) 0

21 Inhaltsverzeichnis. Planare Faserprozesse.1 Grundlagen. Schnittpunktprozesse Schnitt mit Geraden Schnitt mit Fasersystemen.3 Schätzung der Richtungsrose 1

22 . Planare Faserprozesse. Schnittpunktprozesse mit Linien Sei ein stationärer Faserprozess mit Verteilung Intensität P L A Richtungsrose, mit ({ }) 1 eine feste vorgegebene Gerade e (hier: x1 Achse )

23 . Planare Faserprozesse. Schnittpunktprozesse mit Linien Sei {[ yn; w( yn)]} ein markierter Punktprozess, wobei alle Punkte yn e mit dem Schnittwinkel zur x1-achse wy ( n ) markiert sind. y y 1 y3 y4 y5 x1 Achse 3

24 . Planare Faserprozesse. Schnittpunktprozesse mit Linien Seien PL die Intensität des stationären Prozesses und H die Markenverteilung auf (0, ] dann gilt: P h(, z) H( d) dz L h(, z)sin ( d) dz L (0, ] A (0, ] wobei eine nicht-negative und messbare Funktion auf ist Bew. h (0, ] 4

25 . Planare Faserprozesse. Schnittpunktprozesse mit Linien Folgerung: für alle (0, ] gilt PH((0, ]) L sin ( d) L A (0, ] somit ist die Verteilungsfunktion F H ( ) H((0, ]) (0, ] (0, ] sin ( d) sin ( d) Bew. 5

26 . Planare Faserprozesse. Schnittpunktprozesse mit Fasersystem Sei ein stationärer Faserprozess mit Intensität L A Richtungsrose einem vorgegebenen nicht-zufälligen planaren Fasersystem mit der gesamten Länge L Hier wird der Schnittpunktprozess diskutiert. 6

27 . Planare Faserprozesse. Schnittpunktprozesse mit Fasersystem Die Winkelverteilung ist ein Maß auf (0, ],mit ( A) 1 für wobei w ( x) ist der Winkel der Fasertangenten von x Die gesamte Länge ( ) der Projektion von der Richtung h({ x : w ( x) A}) L L L ( ) #{ ( l y)} dy l A B((0, ]) wobei - l l ist eine Gerade mit Richtung und ist die Senkrechte zu l 7

28 . Planare Faserprozesse. Schnittpunktprozesse mit Fasersystem Die Winkelverteilung ist ein Maß auf (0, ],mit ( A) 1 für wobei w ( x) ist der Winkel der Fasertangenten von x Die gesamte Länge ( ) der Projektion von der Richtung h({ x : w ( x) A}) L L L ( ) #{ ( l y)} dy l A B((0, ]) wobei - l l ist eine Gerade mit Richtung und ist die Senkrechte zu l 8

29 . Planare Faserprozesse. Schnittpunktprozesse mit Fasersystem Beispiel: Falls ein Kreis mit Radius R ist, dann ist gleich verteilt auf (0, ] mit L ( ) L/ 9

30 Inhaltsverzeichnis. Planare Faserprozesse.1 Grundlagen. Schnittpunktprozesse.3 Schätzung der Richtungsrose 30

31 . Planare Faserprozesse.3 Schätzung der Richtungsrose Definition: Schnittpunktrose P () L mit der Dichte f P ( L ) Intensität des Punktprozesses der Schnittpunkte von mit einer Geraden mit Winkel zu e es gilt: P L ( ) L F ( ) A wobei - F ( ) sin( ) ( d) (0, ] 31

32 . Planare Faserprozesse.3 Schätzung der Richtungsrose Beispiel: i (1 i), i 0,1,,3 4 Anzahl der Schnittpunkte 3, 7, 7, 6 3

33 . Planare Faserprozesse.3 Schätzung der Richtungsrose Falls eine stetige Dichte besitzt, gilt für die Verteilung: Durch ableiten erhält man f 0 F ( ) f ( ) d ((0, ]) d P ( ) ( ) ( ) L PL LAf d 33

34 . Planare Faserprozesse.3 Schätzung der Richtungsrose Schätzer: F P d 1 dpl( ) ( ) L ( ) für 0 L d 0 P A ( ) ( ) #{ T W} L wobei - ( ) h, W- Beobachtungsfenster 1( T W) ( ) (kompakt), mit ein Testsystem von Linien mit dem Winkel zur x -Achse T 1 34

35 Literatur: [1]. D.Stoyan, W.S.Kendall, J.Mecke(1995) Stochastic Geometry and its Applications. J. Wiley & Sons, Chichester []. Prof. Dr. Volker Schmidt, Räumliche Statistik. Vorlesungsskript, WS 007/08, Universität Ulm [3]. V.Benes, J.Rataj (004), Stochastic Geometry: Selected Topics. Kluwer Academic, New York 35

36 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 36