Statistische Verfahren zur Berechnung von Sicherheitszonen aus kartierten Bombentrichtern

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1 Statistische Verfahren zur Berechnung von Sicherheitszonen aus kartierten Bombentrichtern Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 4. Dezember 2009

2 Überblick Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 2/33

3 Auch mehr als 60 Jahre nach Ende des zweiten Weltkrieges stellen Bombenblindgänger noch immer eine Gefahr dar: häufige Bombenfunde bei Bauarbeiten (2008 alleine in Bayern 121 Spreng- und Splitterbomben), die teilweise Evakuierungen von Wohnhäusern und Sperrung von Straßen oder Bahnlinien nötig machen vereinzelt schwere Unfälle durch Detonationen Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 3/33

4 Konsequenz: systematische Suche in Risikogebieten vor Beginn von Bauarbeiten Anhand von Luftbildern können die Lokationen der detonierten Sprengbomben bestimmt werden. Hierzu stellte die Oberfinanzdirektion Hannover drei typische zur Verfügung. Ziel der Analyse: Ausweisung von Sicherheitszonen, außerhalb derer mit hoher Sicherheit keine Blindgänger auftreten, mit Hilfe von Koordinaten der Explosionstrichter detonierter Sprengbomben Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 4/33

5 Datensatz 7 y Koordinate [m] x Koordinate [m] Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 5/33

6 Datensatz 8 y Koordinate [m] x Koordinate [m] Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 6/33

7 Datensatz 9 y Koordinate [m] x Koordinate [m] Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 7/33

8 Methode 1 Methode 2 Methode 3 Methode 1: Verwendung eines vorgegebenen Radius Kreis mit einem fest vorgegebenen Radius um alle Ereignispunkte Bestimmung des Abstandes zum nächsten Ereignis für jeden Punkt in der betrachteten Region Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 8/33

9 Methode 1 Methode 1 Methode 2 Methode 3 Die Sicherheitszone besteht aus allen Punkten, für die der Abstand zum nächsten Ereignis kleiner ist als der vorgegebene Radius, was der Vereinigung aller Kreise entspricht. Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 9/33

10 Methode 1 Methode 2 Methode 3 Methode 2: Verwendung eines aus der Verteilung des Nächste-Nachbarn-Abstandes bestimmten Radius Kreise um alle Ereignispunkte werden zu einer Sicherheitszone vereinigt. Radius: empirisches Quantil der Verteilung des Nächste-Nachbarn-Abstandes Beispiel 7 Beispiel 8 Beispiel 9 D(r) D(r) D(r) Entfernung (Radius r) in m Entfernung (Radius r) in m Entfernung (Radius r) in m Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 10/33

11 Methode 2 Methode 1 Methode 2 Methode 3 Ansonsten entspricht das Vorgehen dem Vorgehen bei Methode 1. Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 11/33

12 Methode 1 Methode 2 Methode 3 Methode 3: Konstruktion basierend auf der Intensitätsfunktion des Punktprozesses Punktprozess- (Illian et al. (2008), Møller & Waagepetersen (2007)): Beobachtungsfenster W räumlicher Punktprozess X (Lokationen aller Bomben) ausgedünnte Version Y des Prozesses beobachtet Blindgängerprozess Z = X \Y Annahme: Blindgängerwahrscheinlichkeit q homogen über W Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 12/33

13 Methode 3 Methode 1 Methode 2 Methode 3 Annahme: Prozess Y inhomogener Poisson-Punktprozesses mit Intensitätsfunktion λ(s) Für gegebenen Schwellenwert c > 0 kann eine Sicherheitszone R c auf folgende Art konstruiert werden: R c = {s W : λ(s) c}. Frage: Wie ist c zu bestimmen, damit ein gewisses Sicherheitsniveau erreicht wird? Für die Lokation eines einzelnen Punktes x in A W gilt: P(x A) = A λ(u)du Λ(A) = λ(u)du Λ(W ) W Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 13/33

14 Methode 3 Methode 1 Methode 2 Methode 3 Für die Anzahl der Blindgänger N Z (W ) gilt (Hunter & Griffiths, 1978): N Z (W ) NegBin(N Y (W ) + 1, 1 q) Versuch Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 14/33

15 Methode 3 Methode 1 Methode 2 Methode 3 Seien n z Punkte unabhängig voneinander in W zu platzieren. Anzahl von Punkten in einer Region A W : ( N(A) n z Bin n z, Λ(A) ) Λ(W ) Somit Anzahl von Punkten außerhalb der Sicherheitszone: ( N(W \R c ) n z Bin n z, Λ(W \R ) c) Λ(W ) Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 15/33

16 Methode 3 Methode 1 Methode 2 Methode 3 Betrachte die Wahrscheinlichkeit, dass für n z Punkte in W mindestens einer in W \R c liegt: P(N(W \R c ) > 0 n z ) = 1 P(N(W \R c ) = 0 n z ) = 1 P(N(R c ) = n z n z ) ( ) nz Λ(Rc ) = 1 Λ(W ) Damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass mindestens ein Punkt des Blindgänger-Prozesses Z außerhalb der Sicherheitsregion liegt: P(N(W \R c ) > 0) = P(N(W \R c ) > 0 n z ) P(N Z (W ) = n z ) n z =0 Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 16/33

17 Methode 3 Methode 1 Methode 2 Methode 3 Vorgabe einer sehr hohen Sicherheitswahrscheinlichkeit der Sicherheitszone R c P(N Z (W \R c ) = 0) = 1 P(N Z (W \R c ) > 0) > 1 α, wobei 0 α 1 die Sicherheitstoleranz angibt. Bestimmung eines Schwellenwertes c, so dass arg max c 0 { P(N Z (W \R c ) > 0) α damit die Fläche der Region möglichst klein ist. }, Die Sicherheitszone ist dann durch das so bestimmte c festgelegt. Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 17/33

18 Methode 3 Methode 1 Methode 2 Methode 3 In einem ersten Schritt wird mittels Kerndichteschätzung eine Schätzung der Intensitätsfunktion vorgenommen. Dazu muss die Bandweite geeignet gewählt werden. Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 18/33

19 Methode 3 Methode 1 Methode 2 Methode 3 Im zweiten Schritt wird dann der Cutoff-Wert c numerisch so bestimmt, dass P(N Z (W \R c ) > 0) α gerade erfüllt ist. Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 19/33

20 Aufbau der Simulation I Aufbau der Simulation Quantilsbasierte Methode Punktprozess-Methode Vergrößerung des Beobachtungsfensters um 15 m je 100 Iterationen: Ausdünnen des beobachteten Punktmusters mittels bernoulliverteilter Zufallszahlen (mit Blindgängerwahrscheinlichkeit q) Bestimmung der Sicherheitszonen auf Basis des ausgedünnten Prozesses Dabei wurden mehrere Parameter variiert: zwei verschiedene Werte für die Blindgängerwahrscheinlichkeit q vier verschiedene Cutoff-Werte für Radius bzw. Quantil zwei verschiedene Werte für die Sicherheitstoleranz α automatisch durch Kreuzvalidierung bestimmte Bandweite (Silverman, 1992) sowie das Doppelte und das Dreifache dieses Wertes Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 20/33

21 Aufbau der Simulation II Aufbau der Simulation Quantilsbasierte Methode Punktprozess-Methode Beurteilung der Sicherheitszonen: Bestimmung der Fläche Bestimmung des Anteils der übersehenen Blindgängern an allen Blindgängern Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 21/33

22 Quantilsbasierte Methode Aufbau der Simulation Quantilsbasierte Methode Punktprozess-Methode Verwendung von Information aus den Daten durch Festlegung des Radius über Quantil des Nächste-Nachbarn-Abstandes relativ gute Eigenschaften in den drei Simulationsbeispielen Es werden hauptsächlich solche Blindgänger übersehen, die weit von allen anderen Ereignissen entfernt liegen. Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 22/33

23 Aufbau der Simulation Quantilsbasierte Methode Punktprozess-Methode Quantilsbasierte Methode Datensatz 7 Fläche der Sicherheitszone Anteil der übersehenen an allen Blindgängern 90% 95% 99% 99.9% 99% mit q=0.15 Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 23/33

24 Quantilsbasierte Methode Aufbau der Simulation Quantilsbasierte Methode Punktprozess-Methode Bei kleinem Stichprobenumfang (Beispieldatensatz 8) problematisch: stark schwankende Fläche der Sicherheitszonen bei höherer Blindgängerwahrscheinlichkeit q = 0.15 (ganz rechts). Fläche der Sicherheitszone 2.0e e e e e e+07 90% 95% 99% 99,9% 99% Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 24/33

25 Punktprozess-Methode Aufbau der Simulation Quantilsbasierte Methode Punktprozess-Methode Nutzung der Information aus den Daten zur Festlegung der Sicherheitszone Es werden fast ausschließlich solche Blindgänger übersehen, die weit von allen anderen Ereignissen entfernt liegen. Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 25/33

26 Punktprozess-Methode Aufbau der Simulation Quantilsbasierte Methode Punktprozess-Methode Datensatz 8 Anteil der übersehenen an allen Blindgängern α=1e 05, einf. BW zehnfaches α doppelte Bandweite dreifache Bandweite α=1e 05, einf. BW, q=0.15 4e+06 6e+06 8e+06 1e+07 Fläche der Sicherheitszone Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 26/33

27 Punktprozess-Methode Aufbau der Simulation Quantilsbasierte Methode Punktprozess-Methode mögliche Verbesserung des Verfahrens durch genauere Betrachtung der Bandweite (Bestimmung der optimalen Bandweite im Sinne einer bei gleichem Anteil übersehener Blindgänger möglichst kleinen Sicherheitszone) Schätzung der Blindgängerwahrscheinlichkeit anhand von Daten über bekannte Blindgänger und Kovariablen wie Bodenbeschaffenheit oder Bebauung an Stelle einer Homogenitätsannahme Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 27/33

28 Zusammenfassung Zusammenfassung Ausblick Verwendung eines festen Radius als generelles Vorgehen nicht geeignet Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 28/33

29 Zusammenfassung Zusammenfassung Ausblick Verwendung eines festen Radius als generelles Vorgehen nicht geeignet Entscheidung zwischen der quantilsbasierten Methode und der Punktprozess-Methode anhand der erhaltenen Anteile der übersehenen Blindgänger und der Flächen der Sicherheitszonen schwierig (Vergleich in zwei Dimensionen), entwickelte Analyseverfahren jedoch ausbaufähig Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 28/33

30 Zusammenfassung Zusammenfassung Ausblick Verwendung eines festen Radius als generelles Vorgehen nicht geeignet Entscheidung zwischen der quantilsbasierten Methode und der Punktprozess-Methode anhand der erhaltenen Anteile der übersehenen Blindgänger und der Flächen der Sicherheitszonen schwierig (Vergleich in zwei Dimensionen), entwickelte Analyseverfahren jedoch ausbaufähig Analysen und Aussagen zur Zeit auf Vergleich von drei Beispieldatensätzen beschränkt Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 28/33

31 Zusammenfassung Zusammenfassung Ausblick Verwendung eines festen Radius als generelles Vorgehen nicht geeignet Entscheidung zwischen der quantilsbasierten Methode und der Punktprozess-Methode anhand der erhaltenen Anteile der übersehenen Blindgänger und der Flächen der Sicherheitszonen schwierig (Vergleich in zwei Dimensionen), entwickelte Analyseverfahren jedoch ausbaufähig Analysen und Aussagen zur Zeit auf Vergleich von drei Beispieldatensätzen beschränkt erstellte R-Programme zur Berechnung und quantitativen Analyse der Sicherheitszonen leicht auf andere Daten anwendbar; umfassenderer und direkter Vergleich der quantilsbasierten Methode und der Punktprozess-Methode möglich Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 28/33

32 Zusammenfassung Ausblick Zusammenfassung 0e+00 2e+07 4e+07 6e+07 8e Datensatz 9 Fläche der Sicherheitszone Anteil der übersehenen an allen Blindgängern Methode 1 Methode 2 Methode 3 Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 29/33

33 Zusammenfassung Zusammenfassung Ausblick Quantitative Analyse dreier Methoden zur Bestimmung von Sicherheitszonen aus kartierten Bombentrichtern Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 30/33

34 Zusammenfassung Zusammenfassung Ausblick Quantitative Analyse dreier Methoden zur Bestimmung von Sicherheitszonen aus kartierten Bombentrichtern Neuentwicklung eines auf einem Punktprozess-Ansatz aus der räumlichen Statistik basierenden Verfahrens Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 30/33

35 Zusammenfassung Zusammenfassung Ausblick Quantitative Analyse dreier Methoden zur Bestimmung von Sicherheitszonen aus kartierten Bombentrichtern Neuentwicklung eines auf einem Punktprozess-Ansatz aus der räumlichen Statistik basierenden Verfahrens Entwicklung eines simulationsbasierten Verfahrens zur statistischen Risikoabschätzung von Sicherheitszonen Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 30/33

36 Ausblick Zusammenfassung Ausblick Simulation als allgemein anwendbares Prinzip zur Risikoabschätzung Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 31/33

37 Ausblick Zusammenfassung Ausblick Simulation als allgemein anwendbares Prinzip zur Risikoabschätzung Kalibrierung des Verfahrens nötig Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 31/33

38 Ausblick Zusammenfassung Ausblick Simulation als allgemein anwendbares Prinzip zur Risikoabschätzung Kalibrierung des Verfahrens nötig extreme Ausreißer problematisch Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 31/33

39 Ausblick Zusammenfassung Ausblick Simulation als allgemein anwendbares Prinzip zur Risikoabschätzung Kalibrierung des Verfahrens nötig extreme Ausreißer problematisch Größe der Kandidatenflächen Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 31/33

40 Ausblick Zusammenfassung Ausblick Simulation als allgemein anwendbares Prinzip zur Risikoabschätzung Kalibrierung des Verfahrens nötig extreme Ausreißer problematisch Größe der Kandidatenflächen Modellierung als mögliches weiteres Vorgehen Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 31/33

41 Literaturverzeichnis Zusammenfassung Ausblick Baddeley, A., Møller, J. & Waagepetersen, R. (2000). Non- and semi-parametric estimation of interaction in inhomogeneous point patterns. Statistica Neerlandica 54, Hunter, A. J. & Griffiths, H. J. (1978). Bayesian Approach to Estimation of Insect Population Size. Technometrics Vol. 20, No. 3 (Aug., 1978), Illian, J., Penttinen, H., Stoyan, H. & Stoyan, D. (2008). Statistical analysis and modelling of spatial point patterns, Wiley, Chichester, West Sussex, Eng. Møller, J. & Waagepetersen, R. P. (2007). Modern Statistics for Spatial Point Processes. Scandinavian Journal of Statistics 34 (4), Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 32/33

42 Literaturverzeichnis Zusammenfassung Ausblick Silverman, Bernard W. (1992). Density estimation for statistics and data analysis, Chapman & Hall, London. R Development Core Team (2009). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN , URL: A. Baddeley and R. Turner (2005). Spatstat: an R package for analyzing spatial point patterns. Journal of Statistical Software 12 (6), ISSN: , URL: Monia Mahling, Michael Höhle, Helmut Küchenhoff 33/33