Monte-Carlo-Methode. mit Pseudo- und Quasizufallszahlen

Transkript

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2 Gott würfelt nicht

3 Monte-Carlo-Methode mit Pseudo- und Quasizufallszahlen

4 Inhaltsverzeichnis Pseudo- und Quasizufallszahlen Monte-Carlo- Monte-Carlo-

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6 Monte-Carlo-Methode Bekannt nach Stadt Monte Carlo (wegen Casino) verwendet Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik benutzt Methode der statistischen Versuche Fähigkeit, komplexe Probleme näherungsweise zu lösen Schwierigkeitsgrad relativ gering Fähigkeiten: numerische Lösung von Problemen (Integrale, DGL, usw.) deterministisch von Systemen mit Unsicherheiten stochastisch Einsatzgebiete: Teilchenphysik Astrophysik Risikomanagement...

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8 Pseudozufallszahlen ϵ [0,1] zufällig durch Computer erzeugt linear kongruenter Generator: Bsp: 7 mod 2 = 1 weil: 7/2=3 Rest 1 I j = a I j 1 c mod m a, c, m ϵ ℤ Zufallszahl x j durch: x j =I j /m benötigt 3 ganzzahlige Konstanten: z. B. m=231 1, c=0, a=16807 und eine Saat: I 0 (Park Miller Generator)

9 Pseudozufallszahlen

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12 Quasizufallszahlen gleichförmig verteilte zahlentheoretische Punktfolgen nicht mehr unabhängig systematisch konstruiert Richtmyer-Generator: k-te Koordinate des i-ten Punkts: x ik = i p k mod 1 mit p k : k-te Primzahl n Zufallsgeneratoren der n Dimensionen voneinander unabhängig

13 Quasizufallszahlen

14 Beispiel: Berechnung von Pi erzeuge N tot Punkte mittels zwei Pseudozufallszahlen x 1 und x 2 ϵ [0,1] Zähle Punkte N ac innerhalb von Kreis (Radius 1) x 1 x Pi erhält man dann aus: N ac pi=4 N tot

15 pi=3,13 vgl. =3,14

16 Gitter, Pseudozufallszahlen oder Quasizufallszahlen? Pseudozufallszahlen Entscheidung durch Fehlerabschätzung: Koksma-Hlawka-Ungleichung für sfehler = Q N f If V f D P N Diskrepanz (Maß für Ungleichverteilung)

17 Gitter, Pseudozufallszahlen oder Quasizufallszahlen? Diskrepanz n N vol J klein für alle J

18 Gitter, Pseudozufallszahlen oder Quasizufallszahlen? Für Dimensionen s 20 : Quasizufallszahlen bessere Diskrepanz als Pseudozufallszahlen Für Dimensionen s 10 : Kleinere Diskrepanz kleinerer Fehler Vorteil von Quasizufallszahlen mit größeren s kleine N: Gitter so genau wie Quasizufallszahlen große N (ca. 2000): Gitter schlechtere Ergebnisse als Quasizufallszahlen Für s 4 : Gitter schlechter als Pseudozufallszahlen weiterer Nachteil von Gitter: Keine kontinuierliche Steigerung von N

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20 benötigt bei und gegeben: Homogen gesucht:, die einer Wahrscheinlichkeitsdichte folgen

21 Wegwerfmethode (von Neumann's Acceptance-Rejection Method) Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) Eingrenzung (Box zwischen x1, x2 und fmax) generiere Zufallszahl ϵ [x1,x2] generiere zweite Zufallszahl u ϵ [0,fmax] für u<f(x) wird x akzeptiert, ansonsten verworfen wiederhole Vorgang

22 Wegwerfmethode (von Neumann's Acceptance-Rejection Method) Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) Eingrenzung (Box zwischen x1, x2 und fmax) generiere Zufallszahl ϵ [x1,x2] generiere zweite Zufallszahl u ϵ [0,fmax] für u<f(x) wird x akzeptiert, ansonsten verworfen wiederhole Vorgang

23 Wegwerfmethode (von Neumann's Acceptance-Rejection Method) Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) Eingrenzung (Box zwischen x1, x2 und fmax) generiere Zufallszahl ϵ [x1,x2] generiere zweite Zufallszahl u ϵ [0,fmax] für u<f(x) wird x akzeptiert, ansonsten verworfen wiederhole Vorgang

24 Wegwerfmethode (von Neumann's Acceptance-Rejection Method) Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) Eingrenzung (Box zwischen x1, x2 und fmax) generiere Zufallszahl ϵ [x1,x2] generiere zweite Zufallszahl u ϵ [0,fmax] für u<f(x) wird x akzeptiert, ansonsten verworfen wiederhole Vorgang

25 Wegwerfmethode (von Neumann's Acceptance-Rejection Method) Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) Eingrenzung (Box zwischen x1, x2 und fmax) generiere Zufallszahl ϵ [x1,x2] generiere zweite Zufallszahl u ϵ [0,fmax] für u<f(x) wird x akzeptiert, ansonsten verworfen wiederhole Vorgang

26 Wegwerfmethode (von Neumann's Acceptance-Rejection Method) Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) Eingrenzung (Box zwischen x1, x2 und fmax) generiere Zufallszahl ϵ [x1,x2] generiere zweite Zufallszahl u ϵ [0,fmax] für u<f(x) wird x akzeptiert, ansonsten verworfen wiederhole Vorgang

27 Wegwerfmethode (von Neumann's Acceptance-Rejection Method) Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) Eingrenzung (Box zwischen x1, x2 und fmax) generiere Zufallszahl ϵ [x1,x2] generiere zweite Zufallszahl u ϵ [0,fmax] für u<f(x) wird x akzeptiert, ansonsten verworfen wiederhole Vorgang

28 Wegwerfmethode (von Neumann's Acceptance-Rejection Method) Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) Eingrenzung (Box zwischen x1, x2 und fmax) generiere Zufallszahl ϵ [x1,x2] generiere zweite Zufallszahl u ϵ [0,fmax] für u<f(x) wird x akzeptiert, ansonsten verworfen wiederhole Vorgang

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31 Variablentransformation gegeben: Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) u ϵ [0,1] mit g(u)=const. Methode: Transformiere u x: u x u g u ' du ' = f x ' dx ' u= F x u 1 F u = x u

32 Variablentransformation F 1 u = x u

33 Variablentransformation 1 F u = x u x Bsp: f x =e 1 x F x = 0 dx ' e x ' = e x 1 F u = ln 1 u = x u

34 Majorantenmethode (importance sampling) Kombination: Wegwerfmethode und Variablentransformation wähle m x f x alle x generiere, die m(x) folgen (Variablentransformation) generiere pro Zufallszahl x eine Zufallszahl u ϵ [0,m(x)] verwerfe mit u>f(x)

35 Majorantenmethode (importance sampling) Bsp: Planck-Verteilung

36 Majorantenmethode (importance sampling) Bsp: Planck-Verteilung

37 Monte-Carlo-

38 Monte-Carlo- xb I = x y x ' dx ' a mit y x ' 0 kann auf mehrere Dimensionen verallgemeinert werden

39 Primitive Wegwerfmethode erzeuge 2D- in Kasten zwischen x a, x b und y max Anzahl Punkte unterhalb y(x): N Anzahl aller Punkte: N 0 Fläche des Kastens: I0 N I I0 N0

40 Primitive Wegwerfmethode Unsicherheit durch Binomialverteilung: N N P N = N 0 N 1 N 0 N N0 Erfolgswahrscheinlichkeit N = N 0 1 I N 1 = = I N N I 1 = I N Verbesserung durch Erhöhung von N Verbesserung durch Erhöhung von N N0

41 Majorantenmethode finde Majorante m(x) zu y(x) erzeuge Punkte x', die Wahrscheinlichkeitsdichte m(x') folgen dann Wegwerfmethode: generiere zu jedem x ' ein y ' mit 0 y ' m x ' Anzahl der Punkte unterhalb y x' : N N I I0 N0 xb I 0 = x m x ' dx ' a

42 Wichtungsmethode xb I = x y x ' dx ' a mittle Funktionswerte mit zwischen x a und x b : 1 y = N N i=1 y x i I x b x a y entspricht herkömmlicher numerischer Unterschied: Stützstellen sind zufällig verteilt 1 y y x i y ² i N N 1 2 I y = I y

43 Wichtungsmethode Verbesserung durch Reduzierung der Schwankungen y 2 1 y x i y ² i N N 1

44 Vorteile der Monte-Carlo- bessere Konvergenz für s-dimensionale Integrale mit s 4 als bei herkömmlicher numerischer einfachere Behandlung der sgrenzen Genauigkeit kann kontinuierlich gesteigert werden Fehler leichter abschätzbar

45 Monte-Carlo-

46 Photomultiplier herausgeschlagene Elektronen folgen Poisson-Verteilung

47 Photomultiplier

48 Photomultiplier

49 Fragen? Diskussion