1 Zufallszahlen jede Zahl gleichen Wahrscheinlichkeit Zufallszahlenfolge unabhängiger, identisch ver- teilter

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1 Zufallszahlen Zufallszahlen werden für viele Anwendungen im Computer benötigt. Hauptanwendungsgebiete sind die Simulation und die Statistik. Besonders bei der Programmierung von Spielen werden Zufallszahlen benötigt, um unterschiedliche, nicht vorhersagbare Spielverläufe zu realisieren. Aus mathematischer Sicht wird an Zufallszahlen die Bedingung gestellt, dass jede Zahl mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt. Daraus ergibt sich die Forderung, dass eine Zufallszahl immer an einen Bereich gebunden ist. Da häufig nicht nur eine Zufallszahl benötigt wird, sondern eine Folge von Zufallszahlen, so müssen an diese Folge weitere Forderungen gestellt werden. Als Zufallszahlenfolge wird jede Folge von Realisierungen unabhängiger, identisch verteilter Zufallsgrößen bezeichnet. Entsprechend dem Typ der Verteilung unterscheidet man stetige, diskrete, gleichverteilte, binomialverteilte, POISSONverteilte, normalverteilte, exponentialverteilte, gammaverteilte und empirisch verteilte Zufallszahlenfolgen. Man unterscheidet physikalische Zufallszahlengeneratoren und Pseudozufallszahlengeneratoren. Die physikalischen Zufallszahlengeneratoren nutzen physikalische Effekte zur Gewinnung von Zufallszahlen. Beispiele für derartige Generatoren sind Würfeln, Münzwurf und das Ziehen von Losen. Die ersten mit dem Computer gekoppelten physikalischen Generatoren nutzten eine radioaktive Strahlungsquelle (zufällige Impulse je Zeiteinheit) oder das Eigenrauschen einer Elektronenröhre (zufällige Spannung). Heute kann man mit elektronischen Bauelementen einfache und billige Generatoren bauen. In Computern wird häufig der Inhalt der Refresh-Register zum Bestimmen einer echten Zufallszahl genutzt. Der Vorteil der physikalischen Zufallszahlengeneratoren liegt in der Entlastung der CPU und dem damit verbundenen Geschwindigkeitsgewinn und der "echten" Zufälligkeit der gewonnenen Zufallszahlenfolge. Die Nachteile dieser Verfahren liegen im erhöhten apparativen Aufwand und der fehlenden Reproduzierbarkeit der Zufallszahlenfolge. Auf einem Computer gibt es keine Möglichkeit, echte Zufallszahlenfolgen mit Hilfe von Programmen zu erzeugen. Die zur Erzeugung von Zufallszahlen eingesetzten Algorithmen erzeugen Pseudo-Zufallszahlen. Pseudozufallszahlengeneratoren sind Instrumente zur determinierten (nicht zufälligen) Erzeugung von Zahlenfolgen mit den statistischen Eigenschaften von Zufallszahlenfolgen. Sie können durch Hardware (Schieberegister) oder Software realisiert sein. Viele Pseudozufallszahlengeneratoren erzeugen reproduzierbare Zufallszahlenfolgen. Eine erste Realisierung der Pseudozufallszahlenerzeugung bestand in der Nutzung der Dezimalziffern transzendenter Zahlen. Die Zahl PI wurde

2 873 mit 73, 96 mit und 986 mit E7 Dezimalstellen berechnet. Die statistische Analyse ergab, dass keine signifikanten Abweichungen von der Gleichverteilung auftraten. Da die Algorithmen zur Berechnung transzendenter Zahlen in der Regel sehr kompliziert sind, werden heute in der Praxis meist rekursive Zufallszahlengeneratoren benutzt. Zum Nachweis, dass eine Zufallszahlenfolge die gewünschten Eigenschaften hat, stehen verschiedene Testverfahren zur Verfügung. Der wichtigste Test ist der Chi-Quadrat-Test. Da von Zufallszahlengeneratoren häufig nur gleichverteilte Zufallszahlen erzeugt werden, sind Algorithmen zur Transformation in andere Verteilungen notwendig.. Erzeugung von Zufallszahlen Die in diesem Abschnitt betrachteten Zufallszahlengeneratoren sind rekursive Generatoren. Es wird die n-te Zahl aus den vorher bestimmten k Zahlen berechnet. z (n) := R(Z (n-),...,z (n-k) ) Häufig wird k= oder k= gewählt. Diese Zufallszahlengeneratoren sind in der Regel zyklisch. Von einer bestimmten Zahl an tritt eine davor stehende Teilfolge erneut auf. Daraus ergibt sich folgende Struktur: AAAAA AA.. zyklusfreies Anfangsstück.. nullter Zyklus.. erster Zyklus.. zweiter Zyklus Als brauchbarer Abschnitt wird das zyklusfreie Anfangsstück und der nullte Zyklus genutzt... Quadratmittengenerator/Quadratwurzelgenerator Diese Generatoren zählen zu den ältesten Implementationen von Zufallszahlengeneratoren. Das Grundprinzip dieses Generators besteht darin, dass eine Zufallszahl aus dem Quadrat oder der Quadratwurzel seines Vorgängers berechnet wird. Die neue Zufallszahl wird durch Herausschneiden der mittleren Stellen berechnet. function f_quadratmittengenerator( start:integer):integer; { Quadratmittengenerator } var zz : integer; zz := start * start; zz := zz mod ; zz := zz div ; f_quadratmittengenerator := zz; end; { of function f_quadratmittengenerator } Programm :Quadratmittengenerator

3 function f_quadratwurzelgenerator(start:real):real; { Quadratwurzelgenerator } var zz : double; zz := sqrt(start); zz := zz *; zz := int(zz); zz := zz / ; zz := frac(zz); f_quadratwurzelgenerator := zz; end; { of function f_quadratwurzelgenerator } Programm : Quadratwurzelgenerator.. Lineare Kongruenzverfahren Das heute am häufigsten angewendete Verfahren ist das lineare Kongruenzverfahren. Es wurde 95 von D. Lehmer vorgestellt und wird auch als Restmethode von Lehmer bezeichnet. Diese Generatoren arbeiten nach der folgenden Erzeugungsvorschrift: z (n) := a * z (n-) a k * z (n-k) mod M a i.. Konstante M.. Modul Aus Rechenzeitgründen werden in der Regel k= oder k= und ganzzahlige z(i) und M gewählt. Es gibt drei grundlegende Realisierungsformen für das lineare Kongruenzverfahren. Dies sind additive Generatoren, multiplikative Generatoren und Mischgeneratoren. Additive Generatoren Die additiven Generatoren arbeiten nach der Erzeugungsregel z (n) := z (n-) +.. z (n-k) mod M Diese Verfahren werden auch als Fibbonachiverfahren bezeichnet. Die Eigenschaften der erzeugten Folge hängen stark von den Startzahlen und vom gewählten Modul ab. Vorteilhaft bei den so erzeugten Folgen ist die relativ große Zykluslänge. Ein Nachteil dieses Verfahrens liegt in der Autokorrelation der Zufallszahlen. function f_genadd(z,z:real):real; { Fibbonacci-Generator } var zz : real; zz := z + z; zz := zz - int(zz); f_genadd:= zz; end; { of function f_genadd } Programm 3: Fibbonachigenerator

4 Multiplikative Generatoren Die multiplikativen Generatoren arbeiten nach der Erzeugungsregel z (n) := a * z (n-) mod M Vorteilhaft ist die gute Qualität der Zufallszahlen. Ein Nachteil dieses Verfahrens ist jedoch die relativ kurze Zykluslänge. function f_genmult(start,fakt:real;modul:integer):real; { multiplikativer Kongruenzgenerator } var zz : real; zz := fakt * start; zz := zz / modul; zz := zz - int(zz); zz := zz * modul; f_genmult := zz; end; { of function f_genmult } Programm 4: multiplikativer Kongruenzgenerator Mischgeneratoren Die Mischgeneratoren arbeiten nach der Erzeugungsregel z (n) := a * z (n-) + b mod M Dabei muss a > und b < sein. function f_gengem(start,fakt,sum:real;modul:integer):real; { gemischter Kongruenzgenerator } var zz : real; zz := fakt * start + sum; zz := zz / modul; zz := zz - int(zz); zz := zz * modul; f_gengem := zz; end; { of function f_gengem } Programm 5: Mischgenerator. Prüfung von Zufallszahlen Die Eigenschaften von Pseudozufallszahlen sind theoretisch meist wenig begründbar. Man benötigt daher experimentelle und statistische Untersuchungsmethoden. Es ist oft möglich zu ermitteln, dass eine Folge nicht zufällig ist, der Nachweis, dass eine Folge zufällig ist, lässt sich dagegen nur sehr schwer führen. Folgende Eigenschaften werden für Zufallszahlenfolgen häufig untersucht: Zykluslänge Prüfverfahren dienen der Bestimmung der Länge des zyklusfreien Anfangsstücks und des nullten Zyklus. Erwartungswert Der Mittelwert einer Zufallszahlenfolge liegt nahe beim Erwartungswert der entsprechenden Verteilung. Abweichungen zwischen beobachteten und theoretisch ermittelten Werten sind durch den Zufall erklärbar.

5 Verteilung Zur Prüfung der Verteilung von Pseudozufallszahlenfolgen nutzt man die aus der Statistik bekannten Anpassungstests. Oft wird der Chi-Quadrat-Anpassungstest benutzt. Man teilt den Wertebereich der Zufallsgröße Z in Klassen K(i) und bestimmt die Klassenhäufigkeiten h(i). Chi-Quadrat wird um so größer, je stärker die Abweichung zwischen beobachteter und theoretischer Verteilung ist. Wenn die Prüfgröße Chi-Quadrat einen Grenzwert überschreitet, so verwirft man die Hypothese der Übereinstimmung beider Verteilungen. Serientest Nach einer beliebigen Regel werden die zu prüfenden Zufallszahlen auf und abgebildet. Es entstehen Serien (Folgen von oder ). Ihre Anzahl und Länge sind Zufallsgrößen bekannter Verteilung. Sie werden getestet. Extremwerte Für Teilfolgen werden Extremwerte bestimmt. Ihre Verteilung wird mit der theoretisch bekannten Verteilung verglichen. Abstandsquadrate Je 4 Zahlen werden als Koordinaten von Punkten im Einheitsquadrat interpretiert. Theoretische und beobachtete Verteilung werden verglichen. Pokertest Die Standardfolge wird in eine Folge gleichverteilter diskreter Zufallszahlen transformiert. Daraus werden Quintupel gebildet. Wie beim Poker unterscheidet man * BUST abcde * PAIR aabcd * TWO PAIRS aabbc * THREE OF A KIND aaabc * FULL HAND aaaab * FLUSH aaaaa.3 Transformation von Zufallszahlen Zufallszahlenfolgen mit beliebiger Verteilung erzeugt man meist aus Standardfolgen durch Transformation..3. Direkte Transformation Z sei eine in (,) gleichverteilte Zufallsgröße. Die Zufallsgröße X sei eine Lösung der Gleichung F(x) = Z, in der F(x) eine beliebige Verteilungsfunktion bezeichnet. Dann hat X die Verteilungsfunktion F(x). Daraus folgt: z(i) sei eine gleichverteilte Zufallszahlenfolge. F(x) sei eine beliebige Verteilungsfunktion. G(x) sei die Umkehrfunktion von F. Dann ist die Folge G(z(i)) eine Zufallszahlenfolge mit der Verteilungsfunktion F(x)..3. Spezielle Verfahren Für häufig auftretende Verteilungen wurden spezielle Transformationsverfahren entwickelt. Als Beispiele werden zwei Verfahren zur Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen vorgestellt.

6 Nach einem zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Summe unabhängiger Zufallsgrößen mit gleicher Verteilung asymptotisch normalverteilt. Bereits die Summe von 6 gleichverteilten Zufallsgrößen ist für viele Anwendungen als Ersatz einer Normalverteilung brauchbar. Zweites Verfahren zur Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen: z und z seien im Intervall (,) gleichverteilte Zufallszahlen. Dann sind x =SQRT(- * LN(z) * COS ( * PI * z) und y =SQRT(- * LN(z) * SIN ( * PI * z) n() - normalverteilt..4 Anwendung von Zufallszahlen - die Monte-Carlo-Methode Ein Monte-Carlo-Experiment dient der Schätzung eines unbekannten Wertes mit Hilfe von Zufallszahlen. Die Monte-Carlo-Simulation ist eine Methode zur Lösung numerischmathematischer Probleme. Sie ist etwa 95 entstanden und gehört zu den historischen Wurzeln der Simulationstechnik. Die Monte-Carlo-Methode war eine der ersten Ideen zur Nutzung der gerade entstandenen Computer. Nur so war die Erzeugung der in großen Mengen benötigten Zufallszahlen möglich. John von Neumann gilt als ein Begründer dieser Methode.

7 Programmbeispiel: Monte-Carlo-Simulation Integral als Häufigkeit zufälliger Punkte in einem Gebiet des Einheitsquadrates Es sei f(x) eine im Intervall (,) definierte integrierbare Funktion, deren Werte der Bedingung <= f(x) <= genügen. Um das Integral x = f ( x) dx näherungsweise zu bestimmen, bildet man im Quadrat <= x<=, <y< gleichverteilte Punkte P i = {x i,y i } (i=,,...,n). K sei die Anzahl derjenigen P i, die unterhalb von f(x) liegen. Dann ist K/N ein Näherungswert für das Integral I. Es ist ein Programm aufzustellen, in dem unter Verwendung von Pseudozufallszahlen die Näherungswerte der Integrale I = sin( x ) dx und I = Π x e zu berechnen sind. Einzulesen ist die Anzahl N der zu erzeugenden zufälligen Punkte (empfohlen wird N>=), zu drucken ist mit geeigneten textlichen Hinweisen die Anzahl N der zufälligen Punkte, die Anzahl K derjenigen Punkte, deren y-koordinate kleiner als sin(x) ist, der Näherungswert von I, die Anzahl K derjenigen Punkte, deren y-koordinate x kleiner als e ist, Π der Näherungswert von I, ein Vergleich der Näherungswerte mit anderweitig bekannten genauen Werten. Der Verlauf der Berechnung ist graphisch darzustellen.