Monte-Carlo-Verfahren nach GUM Supplement 1. Gerd Wübbeler Physikalisch-Technische Bundesanstalt

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1 Monte-Carlo-Verfahren nach GUM Supplement 1 Gerd Wübbeler Physikalisch-Technische Bundesanstalt 1

2 Inhalt Wahrscheinlichkeitsverteilungen Monte-Carlo Verfahren Beispiele Adaptive Monte-Carlo Verfahren

3 Warum GUM S1? Schätzwerte Unsicherheiten Modell Schätzwert Unsicherheit GUM x1, u( x1) x, u( x) x3, u( x3) Y f ( X1, X, X 3) y y, u( y) u ( y) f ( x 1,, x N ) i N 1 f x i u ( x ) i Einschränkungen seitens des GUM Linearität des Modells Annahmen über Verteilungen GUM S1 3

4 Bayessche Datenanalyse Wahrscheinlichkeitsdichte PDF Messdaten PDF Unsicherheit Modell weitere Information Schätzwert (Messergebnis) Messgröße Quantitative Beschreibung der Kenntnis über die Messgröße via PDF Numerische Berechnung der PDF mittels Monte Carlo Verfahren 4

5 GUM S1: Fortpflanzung von Verteilungen PDFs der Eingangsgrößen Modell Transformation von Zufallsvariablen Berechnungsmethode: Monte-Carlo Methode (MCM) - i.i.d. Samples aus der Verteilung (PDF) der Messgröße - Anwendbar in vielen Fällen (nichtlineare Modelle) 5

6 Festlegung von Verteilungen Information PDF Messwerte aus Gauss-Verteilung Skalierte und verschobene t-verteilung mit n 1 Freiheitsgraden x 1,, x n 1 p( x1,, xn) tn 1 s / n s / x n x 1 n n x i i 1 s 1 n 1 n i 1 ( x i x) t-verteilung n=4 6

7 Festlegung von Verteilungen Information PDF a x b Gleichverteilung über [a,b] xˆ, u( xˆ) Gauss-Verteilung xˆ u( xˆ) xˆ xˆ u( xˆ ) Tabelle 1 im GUM S1 7

8 Festlegung von Verteilungen GUM Supplement 1 (008) 8

9 GUM S1 : Fortpflanzung von Verteilungen g Y ( ) g ( ξ) [ f X ( ξ)] dξ Lineare Näherung der Modell-Funktion f ( ξ) f ( x) ( ξ x) T ( f ( x)) GUM-Formeln 9

10 Monte-Carlo Methode Ziehungen Y X 1 X X3 M=1e5; x1=5+randn(m,1); x=1+rand(m,1)+rand(m,1); x3=1+rand(m,1); y=x1.*x.*x3; hist(y,100); 10

11 Ergebnis der MCM Vertrauensintervall PDF Unsicherheit Schätzwert (Messergebnis) Messgröße 11

12 Vergleich: GUM - GUM S1 Modell Schätzwerte Unsicherheiten Y X 1 X x 1 x 1 u( x1 ) u( x ) 1 Gauss-Verteilungen (unkorreliert) Überdeckungsintervalle (95%) GUM GUM S1 Schätzwert Unsicherheit Resultate von GUM und GUM S1 können unterschiedlich sein GUM S1 im Zweifelsfall verbindliche MU Methode 1

13 Vergleich: GUM - GUM S1 mit Korrelation Modell Schätzwerte Unsicherheiten Y X 1 X x 1 x 1 u( x1 ) u( x ) Gauss-Verteilungen (korreliert) Überdeckungsintervalle (95%) GUM GUM S1 Schätzwert Unsicherheit Resultate von GUM und GUM S1 können unterschiedlich sein GUM S1 im Zweifelsfall verbindliche MU Methode 13

14 Vergleich: GUM - GUM S1 Digitalmultimeter Modell Schätzwerte Unsicherheiten R U / I 1 V und A Gleichverteilungen V, A (unkorreliert) Monte-Carlo Methode (MCM) 14

15 Adaptive Monte-Carlo Verfahren Monte-Carlo Resultate weisen i.a. zufällige Schwankungen auf Spezifikation der Genauigkeit der Ergebnisse notwendig Adaptive Monte-Carlo Verfahren Ziel Durchführen der MCM bis eine gewählte Genauigkeit mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit erreicht ist (mit möglichst wenigen Ziehungen) 15

16 Adaptive Monte-Carlo Verfahren X i i ~ N(0,1) 16

17 Adaptive Monte-Carlo Verfahren X i ~ N(0,1) Gesucht Abbruchkriterium zum Erreichen einer spezifizierten Genauigkeit 17

18 Alternatives Adaptives Verfahren Adaptives Verfahren nach GUM S1 (7.9) nicht optimal Zweistufiges Schema nach Stein Spezifizierte Genauigkeit beweisbar 18

19 Fazit: Chancen und Risiken + MCM flexibles Werkzeug zur Berechnung von Messunsicherheiten, insbes. für nichtlineare Modelle und beliebige Verteilungen + GUM S1 im Zweifelsfall verbindliche MU Methode + GUM als Spezialfall enthalten (Linearisierung) - Monte-Carlo Ergebnisse selbst unsicher - Messunsicherheitsbudget erfordert zusätzliche Berechnungen - Weitergabe von Verteilungen nicht geregelt 19