Ortskurvenerkennung. Christian Liedl, WS06/07 TUM

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1 Ortskurvenerkennung Christian Liedl, WS06/07 TUM

2 Überblick Was sind Ortskurven Beispiele spezieller Ortskurven Kurvenerkennung Voraussetzung Erster Ansatz Modellierung Beispiel: Identifikation Ortskurve Probleme

3 Was sind Ortskurven Konstruktionen mit Zirkel und Lineal in einem dynamischen Geometrieprogramm Konstruktion liegt in der euklidschen Ebene Elemente schneiden sich, Bsp.: Gerade mit Gerade oder Kreis und Gerade,... Punkte sind frei, halbfrei oder abhängig

4 Was sind Ortskurven Verfolgen eines abhängigen Punktes beim Bewegen eines halbfreien Punktes Man erhält diskrete Stützstellen Zur Darstellung macht Cinderella eine lineare Interpolation sehr vieler Stützstellen

5 Spezielle Kurven Betrachtung von drei speziellen Kurven Limaçon Watt-Kurve Epizykloide

6 Limaçon

7 Limaçon - Konstruktion Kreis um Punkt erzeugen und zwei Punkte auf Kreislinie legen Gerade durch die beiden Punkte auf der Kreislinie Neuen Kreis durch zwei Punkte festlegen Mittelpunkt des Kreises auf einen Schnittpunkt der Geraden mit dem ersten Kreis legen und Kreispunkt in den Mittelpunkt des alten Kreises platzieren Die Kreislinie des zweiten Kreises schneidet die Gerade außerhalb der Kreisfläche des ersten Kreises in einem Punkt ; dieser soll beobachtet werden Mittelpunkt des zweiten Kreises bewegt sich auf der Kreislinie des ersten Kreises

8 Watt-Kurve

9 Watt-Kurve - Konstruktion Zwei Kreise mit beliebigen Radien um jeweils einen Punkt Punkt auf den Kreisbogen eines Kreises setzen Um diesen Punkt wieder einen Kreis erzeugen so, dass die Kreislinie die beiden anderen Kreise jeweils in zwei Punkte schneidet Einen Schnittpunkt des dritten Kreises mit dem Kreis, auf dem nicht der Mittelpunkt des dritten Kreises liegt wählen Diesen Schnittpunkt mit dem Kreismittelpunkt des dritten Kreises verbinden und die Strecke halbieren Der Mittelpunkt dieser Strecke soll beobachtet werden, während sich der Mittelpunkt des dritten Kreise bewegt

10 Epizykloide Punkt P auf dem Umfang eines Kreises, der auf der Außenseite eines Kreises abrollt Gleichung: x ( R 0 y ( R 0 ( < t + R)cost + R)sin t < ) R R cos R R sin R R + R R t t

11 Epizykloide Konstruktion Beispiel: Innenkreis Radius 6, Umlaufender Kreis Radius Innenkreis mit erzeugen und weiteren Kreis als Straße um A Kreis mit beliebigen Radius und Mittelpunkt B auf Straße und zweiter Punkt C auf Straße Zweiten Schnittpunkt des Kreises und der Straße markieren Zwei weitere Kreise gleicher Radien mit Zirkel hinzufügen. Mittelpunkt ist jeweils der weitere Schnittpunkt der Kreislinie des vorherigen Kreises mit der Straße

12 Epizykloide Konstruktion Kreis um E hat Schnittpunkt F mit Straße, der mit A durch eine Gerade verbunden wird Zu dieser Geraden wird eine Parallele durch B erzeugt Um B umlaufenden Kreis konstruieren Schnittpunkt mit der Parallelen sei G und dieser der verfolgende Punkt Ortskurve mit B als sich bewegendes Element auf der Straße zeichnen

13 Epizykloide Konstruktion

14 Epizykloide Beispiele

15 Motivation Wir haben eine Ortskurve in einem dynamischen Geometrieprogramm konstruiert Bei Kurven vom Grad größer zwei kann man die Kurve nicht mehr so leicht schätzen Möchten gerne den Grad der Kurve und deren Gleichung mit dem Computer bestimmen

16 Voraussetzung Sehr genaue Daten der Stützstellen Punkte gegeben P{p,p,...,p m } Da nur Zirkel und Lineal Konstruktion in einer Ebene, ist die Ortskurve eine algebraische Kurve Z( f ) { x RP f ( x) 0}

17 Erster Ansatz Gesucht: Welche algebraische Kurve f(x) imalen Grades passt am besten zu Punkte P Methode: Sukzessive Gradannahme Kurve durch Punkte legen Alle Punkte Testen. Für jeden Punkt soll der euklidische Abstand zwischen Punkt p i und Kurve sehr klein, am besten 0, werden Es gilt, den mittleren quadratischen Abstand zu imieren m m i dist( p i, Z( f ))

18 Erster Ansatz Problem: Der Abstand muss iterativ berechnet werden für alle P Bestimmung des Grades sehr rechenaufwendig Lösung: bessere Methode finden um den Grad einer Ortskurve zu erkennen

19 Modellierung Seien alle Punkte und Kurven in homogene Koordinaten Kurve f in der Polynomfunktion in homogenen Koordinaten R ),, ( ) (,, k j i d k j i k j i z y x z y x f P z y x f Z

20 Modellierung Vorher: m m i dist( p, Z( i f )) Modellierung: m m i f ( p i ) Für die Minimumsentscheidung ist nicht relevant, m ebenso kann auch die Wurzel gezogen werden m i f ( p i ) Mit -Norm m f ( pi ) i f ( p i )

21 Modellierung Annahme Grad d bekannt, p i (x i,y i,z i ) Für jedes p i kann ein Polynom geschrieben werden ) (... ) (... ) ( ) ( P z y x x x z y x x p f Vorfaktor mit Polynome p f p f p f d i i d i d i d d d d i i i 0... ) ( d k d d d d x y x z x y x x p f

22 Modellierung Der Parametervektor ist unbekannt (0,...,0) wäre ein Minimum, jedoch nicht sinnvoll Skalieren des Parametervektors ändert nichts an der Problemstellung λ, λ R \{0} Parameterverktor soll

23 Modellierung Da die Daten in der Matrix P sehr genau sind, genügt es die Summe der euklidischen Abstände zu imieren P Wenn man mit der Definition der -Norm ausschreibt und wieder zusammenfasst kommt man auf: P T P T P

24 Modellierung A QDQ, D n diag( λ,..., λ ) Da gilt: T ergibt sich das Minimum über die Eigenwerte zu den Eigenvektoren von P T P T P u T T P T diag( λ,..., λ ) u i A λ T QDQ T Eigenwert ist genau dann Null, wenn Testgrad mit dem Grad der Ortskurve übereinstimmt und die Stützstellen exakt auf einer Kurve c mit deg(c)testgrad liegen Der Parametervektor der gesuchten Kurve ist dann

25 Beispiel: Identifikation Ortskurve Punkte-Menge gegeben Grad-Annahme, deg(f)0 Ortskurve ist kein Punkt Grad-Annahme, deg(f) Ortskurve auch keine Gerade

26 Beispiel: Identifikation Ortskurve Grad-Annahme, deg(f) λ σ ( P T P) λ λ 0,08 Grad-Annahme, deg(f)3 λ σ ( P T P) λ λ 4,4 0 6

27 Beispiel: Identifikation Ortskurve Grad-Annahme, deg(f)4 λ σ ( P T P) λ λ 3, 0 7 Grad 4 wird im Rahmen der Messgenauigkeit 0 >passt

28 Probleme Zu wenige Punkte der Ortskurve Schlechte Verteilung der Punkte Punkte zu ungenau Probleme mit Modell, wenn Punkte weiter vom Ursprung entfernt

29 Fragen?

30 Literaturnachweis [] Peter Lebmeir, Jürgen Richter-Gebert: Recognition of computationally constructed loci [] Ulrich Kortenkanm, Jürgen Richter-Gebert: Cinderella, interaktive Geometrie Software [3] Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung [4] d_dir/epihypocycloid.html