Technische Universität München Fakultät für Mathematik. Klausur. Geometriekalküle. Modul MA März 2018, 16:00 17:00 Uhr

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1 Technische Universität München Fakultät für Mathematik Klausur Geometriekalküle Modul MA März 2018, 16:00 17:00 Uhr Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert Musterlösung

2 Aufgabe 1. Kegelschnitt mit Parameter Gegeben sei folgende Kegelschnittmatrix M(α) RP 2, abhängig vom Parameter α R: 1 α 1 M(α) := α Bestimmen Sie die Werte für α, so dass M(α) jeweils: (a) degeneriert ist, (b) nicht degeneriert ist, und geben Sie jeweils die Werte für α an, so dass der Kegelschnitt eine Parabel, eine Hyperbel, eine Ellipse ist. Begründen Sie Ihre Antworten. Lösung: (a) Es gilt: det(m(α)) = 2a (0.5 Punkte). Diese Polynom hat die Nullstellen ± 1 2 (= ± 2 2 ). Also ist der Kegelschnitt für ± 1 2 degeneriert (0.5 Punkte). (b) Um den Typ des Kegelschnitts zu bestimmen bestimmen wir die Schnittpunkte mit l (0.5 Punkte). Da wir in den Geometriekalkülen noch nicht gelernt haben Geraden mit Kegelschnitten zu schneiden müssen wird dies zu Fuß, also algebraisch, lösen. Sei p = (x, y, 0) T ein beliebiger Fernpunkt des RP 2 (0.5 Punkte). Dann gilt: p T M(α)p = 2αxy + x 2 + y 2. (0.5 Punkte) Wenn man x festhält ist dies eine quadratische Gleichung in y. Die Lösung solch einer Gleichung lässt sich geschlossen hinschreiben (Mitternachtsformel, abc-formel, pq-formel,... ): ( y 1 = x α + ) ( (α 1) (α + 1), y 2 = x α ) (α 1) (α + 1) (0.5 Punkte) Das Signum der Diskriminante d := (α 1)(α +1) = α 2 1 ergibt die Anzahl der (reelen) Lösungen und damit die Anzahl der Schnittpunkte (0.5 Punkte): α = ±1 (d = 0): eine Lösung Parabel. (0.5 Punkte) α < 1 oder α > 1 (d > 0): zwei reele Lösungen Hyperbel. (0.5 Punkte) α ( 1, 1) (d < 0): zwei komplexe Lösungen Ellipse. (0.5 Punkte) 2

3 Aufgabe 2. Doppelverhältnis am Kreis Gegeben sei ein Kreis im CP 1 definiert durch die Punkte A, B und C CP 1 (siehe Skizze) und einen weiterer Punkt D CP 1. Betrachten Sie das Doppelverhältnis d := (A, B; C, D). B A C Wir bezeichnen mit Im(z) den Imaginärteil einer komplexen Zahl z. (a) Markieren Sie die Punkte D für die das Doppelverhältnis d jeweils folgende reelle Werte annimmt: d < 0, d (0, 1), d > 1, d = 0, d = 1 und d =. Begründen Sie Ihre Antworten. (b) Wir definieren die positive Seite S A,B,C eines (orientierten) Kreises durch A, B, C CP 1 als: S A,B,C := {p CP 1 Im((A, B; C, p)) > 0}. Zeigen Sie: eine projektive Transformation bildet die positive Seite eines Kreises auf die positive Seite des transformierten Kreises ab. (c) Betrachten Sie wieder das Doppelverhältnis d = (A, B; C, D). Markieren Sie je alle Punkte D, für die gilt, dass Im(d) > 0, Im(d) < 0. Begründen Sie Ihre Antworten. 3

4 Lösung: (a) Wann (A, B; C, D) die Werte 0, 1 oder annimmt wurde in der Vorlesung angegeben oder lässt sich sehr einfach aus der Definition ableiten. D = A d =, D = B d = 0, D = C d = 1. (1 Punkt, 0.5 Punkte bei 2/3 korrekten Antworten) Aus Stetigkeitsgründen ergibt sich somit für die Kreisbogenabschnitte: D AB d < 0, D BC d (0, 1), D CA d > 1. (1 Punkt, 0.5 Punkte bei 2/3 korrekten Antworten) (b) Doppelverhältnisse sind invariant unter projektiven Transformationen, also inbesondere auch das Signum des Imaginärteils des DV. (c) Wir wählen folgende projektive Transformation im CP 1 : ( ) ( ( A A 1 :=, B B i :=, C C 1 1) 1 := 1) Diese ist eindeutig (CP 1 reichen drei Punkte). Desweiteren erhält die gewählte Transformation die Orientierung des Kreises und somit wird das Innere des Kreises auf das Innere des transformierten Kreises abgebildet. Wir wählen nun D innerhalb und ˆD außerhalb des transformierten Kreises: ( ) ( ) 0 D =, 1 ˆD 2 =. 1 Berechnen wir nun die Doppelverhältnisse: (A, B ; C, D) = 1 i, (A, B ; C, ˆD) = 1 + i 3 Somit hat das Doppelverhältnis mit D einen negativen und das mit ˆD einen positiven Imaginärteil. Da nur auf dem transformierten Kreis selbst der Imaginärteil verschwindet und das Doppelverhältnis stetig ist folgt, dass alle Punkte innerhalb des transformierten Kreises einen negativen und außerhalb einen positiven Imaginärteil haben. Laut Aufgabenteil (b) bleibt diese Eigenschaft unter projektiven Transformationen erhalten und somit gilt das gleiche für den nicht-transformierten Kreis. 4

5 Aufgabe 3. Fixpunkte und Fixgeraden Gegeben sei folgende projektive Transformation im RP 2 : M = (a) Interpretieren Sie die Transformation, bezüglich der Standardeinbettung, geometrisch. (b) Bestimmen Sie alle (auch möglicherweise komplexe) Fixpunkte von M und begründen Sie Ihre Wahl. (c) Zeigen Sie, dass M T M Id 3 gilt, d.h. [M T M] = [Id 3 ]. (d) Bestimmen Sie alle (auch möglicherweise komplexe) Fixgeraden von M und begründen Sie Ihre Wahl. Lösung: (a) Es gilt cos π 4 sin π 4 0 M sin π 4 cos π Es handelt sich also um eine Drehung um den Ursprung (0.5 Punkte) um π 4 = 45 (0.5 Punkte). (b) Da M eine Rotation um (0, 0, 1) T darstellt ist dieser Punkt auch ein Fixpunkt (0.5 Punkte). Desweiteren ist eine Rotation einen orientierungserhaltende Ähnlichkeitstransformation, daher sind I (0.5 Punkte) und J (0.5 Punkte) weitere Fixpunkte. (c) Laut Vorlesung ist die gegebene Matrix eine Drehmatrix und als solche hat sie die gleiche Äquivalenzklasse wie eine orthogonalen Matrix. Alternativ: einfaches Nachrechnen. (d) Da M eine Drehung ist gilt insbesondere M 1 M T (0.5 Punkte), dies wurde im vorherigen Aufgabenteil auch nochmal explizit gezeigt: denn wenn M T M = Id 3 M T = M 1. Daher gilt, dass die Eigenvektoren von (M 1 ) T die gleichen sind wie von M und diese bestimmen die Fixgeraden. Daher haben die Fixgeraden die Äquivalenzklasse wie die Fixpunkte von M, nur interpretiert als Geraden. Alternativ auch die Angabe der Geraden: jeweils 0.5 Punkte. 5

6 Aufgabe 4. Mittelpunkt (a) Gegeben seien folgende Punkte des RP 1 : ( x X =, Y = 1) ( y 1), M = ( ) ( x + y 1, =. 2 0) Zeigen Sie, dass {X, Y } und {M, } in harmonischer Lage liegen. (b) Betrachten Sie nun allgemeine Punkte X, Y RP 2 in homogenen Koordinaten. Die Ferngerade l sei gegeben. Leiten Sie mit Hilfe eines geeigneten Doppelverhältnisses und Plückers µ eine Berechnungsvorschrift zur Bestimmung des Mittelpunktes M von X und Y her. Gehen Sie dazu wie folgt vor: Benutzen Sie folgenden Ansatz: M = λx + µy (λ, µ R). Wählen Sie einen geeigneten Fernpunkt P und betrachten Sie das Doppelverhältnis der Punkte {X, Y }, {M, P }. Bestimmen Sie λ und µ. Hinweis: Gehen Sie nicht von der Standardeinbettung aus! (c) Welche Spezialfälle deckt die in (b) hergeleitete Berechnungsvorschrift zur Bestimmung von M nicht ab? Lösung: (a) Wir berechnen das Doppelverhältnis (X, Y ; M, ): [ ] [ ] x x + y y 1 [ ] [ ] x y y 1 Nachvollziehbare Rechnung: 1 Punkt (X, Y ; M, ) = [ ] [ ] = x 1 y x + y [ ] [ ] = 1 x 1 y x (b) Wähle als Fernpunkt den Fernpunkt der Verbindungsgerade von X und Y : P = (X Y ) l (0.5 Punkte). Mit Teil (a) gilt dann: (X, Y ; M, P ) = 1 (0.5 Punkte). Mit dem Ansatz über Plückers µ gilt dann (für ein geeignetes L nicht inzident zu X Y ): Wir benutzen eine Schreibweise für A, B gesehen von L (A, B, L RP 2 ): [A, B] L := [L, A, B]. (X, Y ; M, P ) L = 1 [X, M] L[Y, P ] L [X, P ] L [Y, M] L = 1 [X, M] L [Y, P ] L = [X, P ] L [Y, M] L µ[x, Y ] L [Y, P ] L = λ[x, P ] L [Y, X] L [X, Y ] L (µ[y, P ] L λ[x, P ] L ) = 0 Damit der Ausdruck µ[y, P ] L λ[x, P ] L verschwindet ist λ = [Y, P ] L und µ = [X, P ] L eine passende Wahl (Rechnung und Wahl 2 Punkte). Also gilt für M M = [Y, P ] L X + [X, P ] L Y. (c) Der Ansatz funktioniert nicht wenn X = Y (die Verbindungsgerade von X und Y ist undefiniert) oder wenn beide Punkte auf der Ferngeraden liegen (P ist undefiniert). (Jeweils 0.5 Punkte) 6

7 Aufgabe 5. Dualisieren und Doppelverhältnis Gegeben sei der folgende Satz: Gegeben seien zwei verschiedenen Geraden g und h in der rellen projektiven Ebene RP 2 und ein Punkt Z, der weder auf g noch auf h liege. Vier paarweise verschiedene Geraden z 1, z 2, z 3, z 4 durch den Punkt Z schneiden die beiden Geraden g bzw. h in je vier Punkten G 1, G 2, G 3, G 4 bzw. H 1, H 2, H 3, H 4, und für die beiden Doppelverhältnisse (G 1, G 2 ; G 3, G 4 ) und (H 1, H 2 ; H 3, H 4 ) gilt: (G 1, G 2 ; G 3, G 4 ) = (H 1, H 2 ; H 3, H 4 ) (a) Fertigen Sie eine Skizze zu diesem Satz an. (b) Formulieren Sie den dualen Satz und skizzieren Sie diesen. (c) Beweisen Sie den (primalen) Satz. Hinweis: Wenn Sie einen Satz der Vorlesung oder Übung benutzen möchten, dann geben Sie diesen explizit an. Alleiniger Verweis auf die Vorlesung oder Übung ist nicht ausreichend. Lösung: (a) z 2 z 3 z 4 h z 1 H 1 G 1 H 2 H 3 H 4 G 2 G 3 G 4 g Z (b) Gegeben seien zwei verschiedene Punkte G und H in der reellen projektiven Ebene RP 2 und eine Gerade z, die weder durch G noch durch H gehe. Dann gilt: paarweise verschiedene Punkte Z 1, Z 2, Z 3, Z 4 auf der Geraden z haben je vier Verbindungsgeraden g 1, g 2, g 3, g 4 bzw. h 1, h 2, h 3, h 4 zu den beiden Punkten G bzw. H, und für die Doppelverhältnisse der Geraden (g 1, g 2 ; g 3, g 4 ) und (h 1, h 2 ; h 3, h 4 ) gilt: Skizze: (g 1, g 2 ; g 3, g 4 ) = (h 1, h 2 ; h 3, h 4 ) 7

8 h 3 h 2 h 1 h 4 H g 4 g 3 g 2 g 1 G z Z 4 Z 3 Z 2 Z 1 (c) Die Punkte H 1, H 2, H 3, H 4 gehen aus den Punkten G 1, G 2, G 3, G 4 durch Zentralprojektion der Geraden g auf die Gerade h mit Zentrum Z hervor. Die Zentralprojektion einer Geraden auf eine andere Gerade ist eine projektive Abbildung. Das Doppelverhältnis ist invariant unter projektiven Abbildungen. 8