Technische Universität München Zentrum Mathematik

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1 Technische Universität München Zentrum Mathematik Prof Dr Dr Jürgen Richter-Gebert, Bernhard Werner Projective Geometry SS 7 www-mmatumde/projectivegeometryss7 Lösungen zu Aufgabenblatt 5 Juli 7 Aufgabe Konstruktionen mit, an und von Kreisen Für diese Aufgabe verwenden wir die -Notation aus dem Buch Geometriekalküle: Für drei Vektoren von Lie- Koordinaten a, b, c seien i a, b, c, für i,, die Lösungen des Gleichungssystems a, x b, x c, x x, x Im Folgenden können Sie jederzeit die Punkte und e im RP 4 als Hilfspunkte verwenden a Wiederholen Sie kurz, wie man in der Zeichenebene mit -Konstruktionen die Parallele zu einer Geraden l durch den Punkt P bestimmt b Kann man auch ein Lot von einem P auf eine Gerade l fällen, bzw das Lot in P errichten, falls P auf l liegt? Falls ja, wie? c Bestimmen Sie alle Kreise der Zeichenebene, deren Mittelpunkt auf der x-achse liegen und die die y-achse bei und schneiden a Die Parallele zu l durch P ist l, P, Das garantiert uns hierbei, dass das Ergebnis eine Gerade ist b Nehmen wir erst einmal an, dass P nicht auf l liegt Da wir mit den wenigen Ausgangsdaten nicht viel konstruieren können, bleibt uns eigentlich nur ein Weg: Mit P, l, berechnen wir die Parallele h zu l durch P Mit h, l, P bekommen wir einen Kreis k eigentlich zwei, der l und h berührt, und dabei h genau in P Mit ein bisschen geometrischem Überlegen sieht man, dass k die Gerade l im Lotfußpunkt P berühren muss Also können wir mit k, l, e diesen als Schnittpunkt bestimmen Und das Lot ist dann einfach P, P, Wenn jetzt P auf l liegt, müssen wir ein bisschen schummeln: Wir wählen einen Hilfspunkt Q, der nicht auf l liegt Das ist das Schummeln gewesen Dann bestimmen wir die Parallele h zu l durch Q via Q, l, Anschließend können wir mit Schritt von oben fortfahren Nur haben sich die Rollen von l und h vertauscht c Jeder solche Kreis schneidet die x-achse bei einem positiven Wert Wir können uns also dort einen beliebigen Punkt wählen und dann den Kreis durch diesen und die beiden gegebenen Punkte bestimmen Die Schnittpunkte haben die Lie-Koordinaten y ± ±

2 und ein beliebiger Punkt auf der positiven Hälfte der x-achse die Lie-Koordinaten + λ x λ λ λ Das LGS, das wir jetzt lösen müssen, um y +, y, x λ bestimmen zu können, hat dann die Matrix + λ λ λ Die Lösungsmenge ist k λ k k, k 5 R k 5 λ Damit ein beliebiger Vektor k aus ihr auf der Lie-Quadrik liegt, muss zusätzlich noch k, k gelten Das führt zur Gleichung k + λ 4λ k k 5 Wir lösen nach k 5 auf Erstens ist das einfacher Zweitens gibt dieser Wert ja gerade den Radius des Kreises an k ist hingegen Irgendetwas k 5 ± k λ + λ Den Ergebnisvektor dehomogeniseren wir abschließend noch, indem wir durch k teilen Das liefert den Lie- Koordinatenvektor λ λ, ± λ + λ aus dem wir direkt ablesen können: Schneidet ein Kreis, mit Mittelpunkt auf der x-achse, die y-achse bei ± und die positive x-achse bei λ, so muss sein Mittelpunkt bei x λ λ liegen und er hat den Radius r λ + λ Das Vorzeichen des Radius kann uns egal sein Der einzige Unterschied ist die Orientierung des Kreises Die Lage und die Schnitte mit den Koordinatenachsen sind davon unberührt Als kleine Probe kann man nun schaun, was passiert, wenn λ Dann sollte es der Einheitskreis sein Es ergeben sich die Werte x λ λ und r λ + λ Wenn man mag, kann man diese drei Werte Mittelpunkt, Radius und Schnitt mit der x-achse in beliebige Abhänigkeiten voneinander setzen und entsprechend auflösen Als kleine Hausaufgabe die Frage: Wenn ein solcher Kreis Radius r hat, wo liegt dann sein Mittelpunkt und wo schneidet er die x-achse? Hinweis: Man kann auch versuchen, das Ganze direkt und vorwärts zu rechnen Man startet mit einem beliebigen Kreisvektor k mit Mittelpunkt auf der x-achse und schneidet ihn mit der y-achse y via k, y, e Dann überlegt man sich, wie die Paramter von k gewählt werden müssen, damit die Lösungen gleich y ± sind Das ist aber signifikant aufwendiger

3 Aufgabe Gruppe der Lie-Transformationen Zeigen Sie, dass Lie-Transformationen also diejenigen projektiven Transformationen des RP 4, die die Lie-Quadrik L als Ganzes fest lassen eine Untergruppe von GL 5 R R\{} bildet Erst einmal sollte man sich klar machen, dass GL5R R\{} tatsächlich selbst eine Gruppe ist Das kann man leicht auf den Repräsentaten nachrechen oder man sieht, dass es der Quotient von GL 5 R nach {diagλ, λ, λ, λ, λ λ R} ist Lie-Transformationen T sind dadurch charakterisiert, dass T T LT L ist Dabei ist L diag,,,, die Matrix, die das Lie-Produkt, darstellt Jetzt rechnen wir einfach das Untergruppenkriterium nach Die Identität ist natürlich eine Lie-Transformation Es ist allein schon geometrisch klar, dass sie die Lie-Quadrik unberührt lässt so wie alles andere auch Zudem gilt I T 5 LI 5 L Seien T, S zwei Lie-Transformation Dann ist T S T L T S S T T T LT S S T T T LT S S T LS L Aufgabe 3 Transformation: Von Euklid und Möbius zu Lorentz und Lie a Gegeben sei die Möbius-Transformation M i i i Bestimmen Sie die durch M induzierte Lorentz-Transformation ΛM b Betrachten sie im R die Translation um einen beliebigen Vektor t Bestimmen Sie die zugehörige Lie-Transformation Versuchen sie hier, erstens, die entsprechende 5 5-Matrix so direkt wie möglich auszurechnen Zweitens, rechnen Sie das Ganze dann noch einmal, indem Sie die Translation erst als Möbius-Transformation schreiben und anschließend die zugehörige Lorentz-Transformation bestimmen a Die Lorentz-Koordianten t, z, x, y T kann man durch die Matrix t z x + iy X x iy t + z darstellen Die Möbius-Transformation wirkt dann auf dieser Matrix durch X MX M T Wenn wir das hier ausrechnen, erhalten wir MX M T t + x + it + iz ix + iy it iz + ix + + iy t y Nun muss man sich noch überlegen, wie man hieraus die Lorentz-Koordianten erhält Betrachtet man X sieht man, dass t X + X, z X X, x X + X, y i X X 3

4 gilt Wendet man diese Formeln nun auf unsere Ergebnismatrix an, bekommen wir die Bildkoordinaten: t 4t + x y, z x y, x t z x + y, y it iz + ix iy i Jetzt kann man die Einträge der Lorentz-Transformation einfach ablesen Man erhält ΛM b Möchte man die Lie-Transformation direkt bestimmen, überlegt man sich am besten, wie sie als Endomorphismus des R 5 wirkt Dafür brauchen wir fünf linear unabhängige Vektoren, von denen wir die Bilder bestimmen können Diese müssen alle auf der Lie-Quadrik liegen, da wir nur dort genau wissen, was die Transformation macht Um von vornherein die Chancen zu erhöhen, linear unabhängige Vektoren zu bekommen, suchen wir uns verschiedene Objekte sowohl Punkte, als auch Geraden und Kreise Und natürlich nehmen wir die einfachsten: Den Ursprung den Fernpunkt den Einheitskreis die x-achse und die y-achse u,, E, x y Aufgrund der vielen Nulleinträge kann man leicht nachrechnen, dass sie linear unabhängig sind Nun bestimmen wir ihre Bilder unter einer Translation um den Vektor t Wir erhalten + t u t t t y t x t x t y,, E t t x t y, t y x, t x y 4

5 Die gesuchte Matrix T ist dann eindeutig charakterisiert durch die Gleichung T u,, E, x, y u,, E, x, y Sprich, sie ist Für unsere Werte hier erhält man T u,, E, x, y u,, E, x, y + t t t x t y t t t x t y T t x t x t y t y Nun kann man den Weg über Möbius- und Lorentz-Transformationen gehen Eine Translation als Möbius-Transformation hat die Form b M mit b t x + it y Analog zu Teil a bekommen wir MX M T + b t + + b z + b + bx ib by bt + bz + x + iy bt + bz + x iy t + z Zusammen mit den Regeln b + b Reb und b b i Imb erhalten wir + b b Reb Imb ΛM b b Reb Imb Reb Reb Imb Imb Die zugehörige Lie-Transformation ist dann einfach ΛM Und da b t x + it y, ist das dieselbe Matrix wie oben schon bestimmt 5