Ingenieurmathematik I Lernstandserhebung 2 24./

Transkript

1 Ingenieurmathematik I Lernstandserhebung 4./5..7 Bitte Namen, Vornamen und Matrikel-Nr. einsetzen. Name: Vorname: Matrikel-Nr.: Aufgabe: Note: Jede Aufgabe wird mit A (gut, B (ausreichend oder C (nicht ausreichend bewertet. Die Gesamtnote ergibt sich als Durchschnitt der Einzelnoten. Die Bearbeitungszeit beträgt 9 Minuten. Aufgabe : a Gegeben ist eine Gerade durch G = { y R 5 y + 4 } 5 y =. Berechnen Sie Vektoren x, r R, so dass sich die Gerade als G = {x + tr t R} schreiben läßt. b Gegeben sei eine Ebene durch E = y R + t + s. finden Sie n, n, n, d R mit n + n + n =, so dass sich die Ebene schreiben läßt als E = {y R n y + n y + n y = d}. c Ermitteln Sie den Abstand des Punktes (5,, 4 zur Ebene E. Lösung:

2 a Um die Vektoren x und r berechnen zu können, müssen wir zwei Punkte auf der Geraden kennen. Diese können wir berechnen, indem wir ein festes y wählen und den zugehörigen Werte für y ausrechnen, bzw. andersherum. Zuerst setzen wir y = anschließend y = y = y = y + = y = 5 = 5, =. Die Punkte (, 5 und (, liegen also auf der Geraden G. Nun können wir ( x = 5 und setzen und erhalten r = G = ( { ( 5 ( 5 = ( + t 5 ( 5 } t R. b Variante : Die Konstruktion folgt dem Beweis des entsprechenden Lemmas aus der Vorlesung. Hier ist x =, r =, q = Zunächst wird ein Vektor p, der senkrecht auf r und q steht, bestimmt: p r q r q ( p = p p = r q r q r q r q = ( = Den gesuchten Vektor n erhält man durch Normalisierung : n = p = p p + p + p. Schließlich ist noch d zu bestimmen: y, n = x + t r + s q, n = x, n + t r, n + s q, n = x, p = ( ( + + ( =

3 Also gilt: E = { } y R y + y y =. Variante : n, n und n bestimmen wir, indem wir drei Punkte auf der Ebene berechnen, sie in die Gleichung n y + n y + n y = d einsetzen und das Gleichungssystem aus den drei Gleichungen lösen. So erhalten wir Werte für n, n und n in Abhängigkeit von d. d können wir nun bestimmen, indem wir die gerade berechneten n, n und n in die Gleichung n + n + n = einsetzen. Anschließend lassen sich auch n, n und n ohne d schreiben. Die drei Punkte auf der Ebene berechnen wir, indem wir einmal r = s =, einmal r = und s = und einmal r = und s = setzen. r = s = : r = und s = : r = und s = : Es ergibt sich also folgendes Gleichungssystem = = = n = d n + n = d + n + 4n = d n = n = d d n = d n = d 4n = d Eingesetzt in n + n + n = ergibt d 4 + d + d 4 = d = d = ± 4

4 E = { n = d = = n = d = n = d = = y R y y + y = }. c Nach Herleitung aus der Vorlesung ist der Abstand für y = (5,, 4 gegeben durch n y d = = 5. Aufgabe : Man zeige, dass die vier Vektoren,,, eine Basis des R 4 bilden. Wie kann man den Vektor 5 als Linearkombination darstellen? Lösung: Es muss die lineare Unabhängigkeit nachgewiesen werden. α, β, γ, δ R so, dass α + β + γ + δ =. Es gilt dann also Seien dazu α + δ =, ( α + β =, ( β + γ + δ =, ( γ + δ =. (4 Der Vergleich von ( und (4 ergibt β =. Man erhält dann aus (, dass α = und aus (, dass δ = gelten. Schließlich folgt auch γ =. Für den zweiten Teil bestimmen wir α, β, γ, δ R so, dass α + β + γ + δ = 5.

5 Man erhält β + γ + δ = 5, (5 γ + δ =, ( und somit β =. Ferner α + δ =, (7 α + β =, (8 woraus man durch Einsetzen α = und δ = 8 erält. Schließlich folgt γ = 9, also + + ( = 5. Aufgabe : Sei α R, b = und A = 4. Geben Sie an, für α 5 5 welche Werte von α das lineare Gleichungssystem A x = b lösbar ist und bestimmen Sie die Lösungsmenge. Geben Sie auch an, um welches geometrische Objekt es sich bei der Lösungsmenge handelt. Lösung: Erweiterte Koeffizientenmatrix: α α 5 α Offenbar gibt es wegen der dritten Zeile nur eine Lösung, wenn α = ist. In diesem Fall setze x = r R beliebig. Dann ist x = ( 4 x = 5 r und { } x = x + x = + r. Die Lösungsmenge L = + r 5 r R ist eine Gerade im R.

6 Aufgabe 4: Anwendungsaufgabe: Flugbahnen dreier Flugzeuge (Quelle: Thomas Unkelbach, Die Flugbahnen zweier Flugzeuge A und B sind gegeben durch die Gleichungen g A : x = 7 + t und g B : x = + t Die Komponenten der Vektoren stehen für Maßzahlen von Streckenlängen in m bzw. von Geschwindigkeiten in m/sec, die Parameter t stehen für Maßzahlen von Zeiten in sec seit Beginn der Beobachtung. Der Koordinatenursprung ist der Ort des Towers am Flugplatz. a Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen von A und B schneiden, berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes und untersuchen Sie, ob die Flugzeuge A und B in diesem Punkt kollidieren würden. b Geben Sie die Gleichung für die Ebene an, in der beide Flugzeuge liegen. Ein weiteres Flugzeug C befand sich zum Zeitpunkt t = 5 im Punkt C = (5, 5, und zum Zeitpunkt t = 5 im Punkt C = (55, 45,. c Bestimmen Sie die Gleichung der Gerade g c, die die Flugbahn des Flugzeugs C beschreibt. Achten Sie dabei insbesondere darauf, dass auch in dieser Gleichung der Parameter t die Bedeutung einer Zeit in sec mit dem gleichen Nullpunkt der Zeit wie dieflugzeuge 4 A und B hat. (Kontrollergebnis: g c : x = + t 7 d Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Punkte, an denen sich die Flugzeuge B und C zum Zeitpunkt sec befinden. Es gibt einen Punkt am Boden, von dem aus die beiden Flugzeuge B und C zum Zeitpunkt sec an der gleichen Stelle zu sein scheinen. e Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes. Das Flugzeug A befindet sich gerade im Landeanflug. Die rechteckige Landebahn des Flughafens wird beschrieben durch die Gleichung 5 LB : x = 55 + b + l und die wichtigen Bedingungen b [, ] sowie l [, ]. f Zeigen Sie, dass Flugzeug A mittig auf der Landebahn aufsetzt.

7 Lösung: a t A = 8 und t B = liefert S = (8,, ; Die Flugzeuge kollidieren nicht, da die beiden Parameter verschieden sind, d.h. die beiden Flugzeuge zu unterschiedlichen Zeitpunkten im Schnittpunkt eintreffen. 8 b nach a z.b. E : x = + r c vgl. Kontrollergebnis + s d B ist zum Zeitpunkt t = sec am Ort (5, 4, und C am Ort (7, 8,. e Die Gerade durch diese beiden Punkte lässt sich durch die Gleichung g : x = t beschreiben. Schnitt dieser Geraden mit der xy-ebene liefert als gesuchten Punkt am Boden (, 5, f Schnitt der Geraden g A : x = 7 + t mit der Ebene LB : x = b + l liefert S = (4, 9, mit b = 5 und l =. Also landet das Flugzeug genau mittag auf der Landebahn.