TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I Wintersemester 3/4) Aufgabenblatt 4. Februar 4) Präsenzaufgaben Aufgabe 84. Kreuzen Sie an. Welche der folgenden Aussagen sind für alle Vektoren a, b R 3 wahr? a, b = b, a. a b = b a. a, b a. a b b. deta, b, a b) >. a,b a b + a b a,b a b =. + a b =. LÖSUNG: a, b = b, a. [Das Skalarprodukt ist symmetrisch.] a b = b a. [Hier gilt eigentlich a b = b a.] a, b a. [Macht überhaupt keinen Sinn]. a b b. [a b steht orthogonal zu a und zu b.] deta, b, a b) >. [Stimmt nur, wenn a und b nicht kollinear.] a,b a b + a b =. [s.u.] a,b a b + a b =. [cos + sin =.] Aufgabe 8. Die Hesse komme. Gegeben seien im R 3 die vier Punkte p =, p =, p 3 = Sei H die Ebene im R 3, welche die drei Punkte p, p, p 3 enthält. 7, p 4 = a.) Bestimmen Sie die Normalenvektorform HESSE-Normalform) der Ebene H. b.) Bestimmen Sie mit Hilfe von Teilaufgabe a.) den Abstand des Punktes p 4 von der Ebene H. c.) Liegen der Koordinatenursprung,, ) und der Punkt p 4 bezüglich der Ebene H im selben Halbraum des R 3 auf der selben Seite)? 3 6. LÖSUNG: a.) Zur Bestimmung der HESSE-Normalform dieser Ebene H benötigen wir einen Punkt von H, z.b. p und einen Normalenvektor n von H. n ist z.b. das Kreuzprodukt zweier nicht linear abhängiger, zur Ebene H paralleler Vektoren, wegen??) z.b. p p und p 3 p. Damit berechnet sich n zu n = p p ) p 3 p ) = 7 = = 9.

2 Die Ebene H ist dann H = {x n, x p ) = }, also H : 9, x x x 3 9, = ) H : x + 9x + x 3 4 =. Die HESSE-Form von H ergibt sich aus ) via Division durch die mit geeignetem Vorzeichen + oder versehene) Norm n von n. Offenbar ist n = 3 4 3, damit ist n = n, n = = 3 =. Die HESSE-Form der Ebene H lautet dann H : ) x + 9x + x 3 4) = 4x + 3x + x 3 ) 3 = ) Warum wurde hier durch dividiert? b.) Der orientierte) Abstand dh, p 4 ) des Punktes p 4 von der Ebene H berechnet sich durch Einsetzten der Koordinaten von p 4 in die linke Seite der HESSE-Form ) von H aus Teilaufgabe a.) zu dh, p 4 ) = 4x + 3x + x 3 ) 3 = 4 3 = 3. c.) Für den orientierten) Abstand dh, p 4 ) des Ursprungs,, ) von der Ebene H erhält man analog zu Teilaufgabe b.) den Wert d H,,, ) ) = 3. Da dh, p 4 ) und d H,,, ) ) offenbar verschiedene Vorzeichen besitzten, liegen,, ) und p 4 auf verschiedenen Seiten des R 3 bezüglich der Ebene H.

3 Aufgabe 86. Melancholie anno 4. Auf dem Bild sehen Sie den Kupferstich Melancholie von Albrecht Du rer aus dem Jahre 4. Die beiden Engel mu ssten gar nicht so melancholisch schauen, denn hinter ihnen befindet sich eine nette mathematische Spielerei, die wir nur zur besseren Lesbarkeit digital hervorgehoben haben: ein magisches Quadrat!.) Was ist das Magische an dem Quadrat? a a a3.) Eine reelle 3 3-Matrix a a a3 heißt magisches Quadrat, falls alle Zeilensummen, alle Spaltena3 a3 a33 summen und die beiden Diagonalsummen a + a + a33 und a3 + a + a3 miteinander u bereinstimmen. a.) Man zeige, daß die Menge M aller magischen Quadrate ein Untervektorraum von R3 3 ist. b.) Man zeige, daß die drei Matrizen,, eine Basis von M bilden. c.) Besonders magisch: Wie viele Mo glichkeiten gibt es, die Zahlen,,..., 9 in einem magischen Quadrat anzuordnen? L O SUNG :.) Es gilt Zeilensumme = Spaltensumme = Diagonalensumme.

4 .) a.) Die Menge der magischen Quadrate ist die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems: a + a + a 3 a a a 3 = a 3 + a 3 + a 33 a a a 3 = a + a + a 3 a a a 3 = a + a + a 3 a a a 3 = a 3 + a 3 + a 33 a a a 3 = a + a + a 33 a a a 3 = a 3 + a + a 3 a a a 3 = Daraus folgt unmittelbar, daß es ein Untervektorraum von R 3 3 ist. b.) Wir müssen zeigen, daß die drei Matrizen linear unabhängig sind und daß man mit ihnen jedes magische Quadrat linear kombinieren kann. Lineare Unabhängigkeit: Es seien α, α, α 3 R. Angenommen es gilt α + α + α 3 = Das ist äquivalent zu α + α α α + α 3 α α 3 α α α 3 α α + α + α 3 = α + α 3 α + α α 3 α α Durch komponentenweises Vergleichen, erhalten wir α = Position, )), α = Position, ) und α 3 = Position, )). Erzeugendensystem: Es sei die Matrix a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 ein magisches Quadrat mit Zeilen/Spalten/Diagonalen-Summe s. Dann ist a a a 3 a a a 3 = a +a a ) +a 3 a ), a 3 a 3 a 33 wie man sich leicht überlegt: Es ist z.b. a +a a ) = a, oder a a a )+a 3 a ) = a + a 3 a = s a 3 a = a. Die anderen sieben Fälle gehen analog. c.) Da alle Zeilensummen miteinander übereinstimmen und die Gesamtsumme = 4 ist, muß die Zeilensumme jeweils 4/3 = sein. In der Mitte des magischen Quadrates steht immer die, da in a + a a ) + a 3 a ) die Zeilensumme der mittleren Zeile = a a a ) a 3 a ) + a + a + a a ) + a 3 a ) = 3a ist. Die Zahlen 7, 8 und 9 dürfen nicht gemeinsam in einer Zeile/Spalte/Diagonale stehen, weil sonst die zugehörige Zeilen/Spalten/Diagonalensumme größer als wäre. Wenn man die Symmetrieeigenschaften des magischen Quadrates berücksichtigt die Symmetriegruppe des magischen Quadrates ist isomorph zur Symmetriegruppe des Quadrates, hat also insbesondere 8 Elemente), gibt es nur zwei verschiedene Fälle, die berücksichtigt werden müssen.. Fall: 9 steht auf einer Eckposition ohne Einschränkung beachte die Symmetrie) auf der Position, )). Dann ist:

5 9 Ohne Einschränkung Symmetrie) können wir annehmen, daß die 8 auf der Position 3, ) steht. Dann erhalten wir ein ungültiges magisches Quadrat: 9? 6 8. Fall: 9 steht nicht auf einer Eckposition ohne Einschränkung Symmetrie) auf der Position, )). Dann ist: 9 Ohne Einschränkung Symmetrie) können wir annehmen, daß die 8 auf der Position, ) oder auf der Position 3, 3) steht. Im ersten Unterfall erhalten wir wieder ein ungültiges magisches Quadrat: 3 8 9? 7 Im zweiten Unterfall, funktioniert es endlich: Also ist das magische Quadrat bis auf die Symmetrie eindeutig und es gibt insgesamt 8 verschiedene magische Quadrate mit den Zahlen,,..., 9.