TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik
|
|
- Wilhelmine Lange
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 TEHNISHE UNIVERSITÄT MÜNHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert, Martin von Gagern Geometriekalküle WS 00/ Lösungen u ufgabenblatt (0. Oktober 00) Präsenaufgaben ufgabe. Dualität. Gegeben seien die folgenden drei iome. (i) Zwei Geraden schneiden sich in genau einem Punkt. (ii) Durch wei Punkte geht genau eine Gerade. (iii) Es gibt vier paarweise verschiedene Punkte,,, D, so dass keine drei von ihnen auf einer Geraden liegen. Zeigen Sie, dass wenn die drei iome vorausgesett werden, der folgende Sat gilt: Es gibt vier paarweise verschiedene Geraden a, b, c, d, so dass sich keine drei von ihnen in einem Punkt schneiden. Lösung: In diesem eweis seien,,, D die vier Punkte aus iom (iii). Das Symbol stellt die Operation join, also die Verbindungsgerade weier Punkte dar, das Symbol entsprechend die Operation meet, also den Schnittpunkt weier Geraden. ehauptung: die folgenden vier Geraden erfüllen die im Sat angegebenen edingungen. a = b = c = D d = D eweis: Eisten: Nach iom (ii) eistieren die angegebenen Geraden, und sind eindeutig festgelegt. Paarweise verschieden: ngenommen, wei Geraden seien identisch. Dann folgt daraus sofort, dass mindestens drei der Punkte,,, D auf dieser Geraden liegen müssten. Das ist ein Widerspruch u iom (iii). lso sind die Geraden paarweise verschieden. Keine drei schneiden sich in einem Punkt: ngenommen, dass drei der Geraden durch einen Punkt gehen. Ohne eschränkung der llgemeinheit seien dies die Geraden a, b und c. Die Geraden a und b haben nach ihrer Definition den Punkt gemeinsam, und nach iom (i) keine weiteren gemeinsamen Punkte. nalog haben b und c genau Punkt gemeinsam. Da und nach iom (iii) verschieden sind, gibt es keinen gemeinsamen Punkt, durch den alle drei Geraden verlaufen.
2 Keine drei schneiden sich in einem Punkt (lternative): Statt sich o..d.. auf drei Geraden u konentrieren, kann man auch systematisch alle Schnittpunkte untersuchen. Wir bestimmen unächst alle sechs Schnittpunkte a b, a c, a d, b c, b d und c d dieser vier Geraden. a b = ( ) ( ) = wegen auf a und auf b (nach Definition) und Schnittpunkt eindeutig nach iom (i). Mit analogem rgument gilt a D a d = ( ) (D ) = c b c = ( ) ( D) = c d = ( D) (D ) = D P b d Die beiden übrigen Schnittpunkte seien mit P und P beeichnet. P a c = ( ) ( D) = P Skie ur Illustration b d = ( ) (D ) = P Nun ist noch u eigen, dass alle diese sechs Schnittpunkte voneinander verschieden sind.,,, D untereinander verschieden: Die Punkte,,, D sind nach iom (iii) voneinander verschieden. P, verschieden von,,, D: ngenommen der Punkt P sei mit einem dieser vier Punkte identisch. Ohne eschränkung der llgemeinheit können wir annehmen, dass er mit dem Punkt identisch sei, also P =. Da P nach Definition auf c liegt, hätte man damit drei Punkte,, D auf der Geraden c. Das ist ein Widerspruch u iom (iii). Daher ist der Punkt P mit keinem der vier Punkte,,, D identisch. Ein analoges rgument gilt für P. P verschieden von P : ngenommen P = P. Dann läge dieser Punkt nach Definition von P auf a und gleicheitig nach Definition von P auf d. Die Verbindungsgerade dieses Punktes mit dem Punkt wäre nach iom (ii) eindeutig. lso müssten die Geraden a und d identisch sein. Dies ist ein Widerspruch ur oben bewiesenen Tatsache, dass die Geraden verschieden voneinander sind. lso muss P verschieden von P sein. Somit sind alle sechs Schnittpunkte voneinander verschieden. Daher können sich keine drei der vier Geraden in einem Punkt schneiden, da die paarweisen Schnittpunkte dieser drei Geraden verschieden voneinander sind.
3 ufgabe. ndere Einbettung. Nun sei die euklidische Ebene im R nicht kanonisch auf = eingebettet, sondern so, dass sie durch die Punkte = (, 0, 0) T, = (0,, 0) T und = (0, 0, ) T des R verläuft. Rechts finden Sie eine Draufsicht auf die eingebettete Ebene. a) Skiieren Sie die Lage der Ebene in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. b) Zeichnen Sie die Punkte mit den folgenden homogenen Koordinaten in diese Draufsicht ein: p = (,, 0) T p = (,, ) T p = (, 0, ) T p = (,, ) T p 5 = (, 6, 7) T c) Geben Sie die homogenen Koordinaten der Ferngerade dieser Einbettung an. Lösung: a) Um die Ebene u skiieren, eichnet man ein dreidimensionales Koordinatensystem und verbindet die drei angegebenen Punkte. Die so erhaltenen Linien kenneichnen ugleich die Schnitte der eingebetteten Ebene mit den von den Koordinatenachsen aufgespannten Ebenen, also der (, y)-ebene, der (, )-Ebene und der (y, )- Ebene. y b) Die Ebene im R durch die Punkte, und erfüllt die Gleichung + y + =. Um einen Punkt in diese Ebene einueichnen, müssen also seine homogenen Koordinaten so skaliert werden, dass diese Gleichung erfüllt ist. Die sich so ergebenden drei Koordinaten seien mit a, b und c beeichnet. y = ( + y + ) +y+ y +y+ +y+ a := b := c := +y+ y +y+ +y+ Somit ergibt sich für die Punkte aus der ngabe: p = = p = = p = 0 = p = = p 5 = 6 = 7 7
4 Die so gefundenen Punkte in der eingebetteten Ebene muss man jett noch richtig in die Zeichenebene eintragen. Zum besseren Verständnis unterscheidet diese Erklärung wischen den dreidimensionalen Einheitsvektoren,,, wie sie in der ngabe vorgegeben sind, und ihren weidimensionalen ildern, und, wie man sie in der Zeichenebene sehen kann. Da die einelnen Einträge der umgeformten Vektoren sich u addieren, kann man sie auch als baryentrische Koordinaten des gesuchten Punktes auffassen. Wenn man die kartesischen Koordinaten der ilder, und in der Ebene R hätte, könnte man die Koordinaten der gewünschten Punkte als a + b + c errechnen. Will man sich den Umweg über das kartesische Koordinatensystem sparen, kann man auch direkt in Dreieckskoordinaten denken. Dabei stellen alle u paralellen Geraden diejenigen Linien dar, die die gleiche c-koordinate haben. ei selbst ist diese Koordinate 0, da sich alle Punkte auf der Geraden allein als Linearkombination aus und ergeben. ei ist diese Koordinate und die anderen beiden Koordinaten hingegen 0. Werte wischen 0 und sind dawischen auf Parallelen u in gleichmäßigen bständen verteilt. Gleiches gilt für die anderen Koordinaten. In der Skie ist dieses Verfahren für den Punkt p illustriert. a = p 5 p p p c = p b = c) Die Ferngerade entspricht dem weidimensionalen Untervektorraum des R, der mit der eingebetteten Ebene keine gemeinsamen Punkte hat, also parallel u dieser Verläuft. Repräsentiert wird dieser Untervektorraum durch seinen Normalenvektor. Das ist in diesem Fall der Vektor (,, ) T. Die Ferngerade entspricht im Dreidimensionalen also dem durch + y + = 0 beschriebenen Untervektorraum. ufgabe. Parallelogramm. Gegeben seien die homogenen Koordinaten der Punkte, und. Zusammen mit einem vierten Punkt D bilden diese ein Parallelogramm D, wobei die Ecke D der Ecke gegenüber liegt. Geben Sie eine Formel an, mit der die homogenen Koordinaten des Punktes D ausgerechnet werden können. a b d D c
5 Lösung: P d D a b c Q Homogene Koordinaten von Verbindungsgeraden lassen sich einfach über das Kreuprodukt der homogenen Koordinaten von wei Punkten bestimmen. So ist die Gerade a, die mit verbindet, wie folgt ausurechnen: a = Parallele Geraden schneiden sich im Unendlichen. Der ugehörige Fernpunkt lässt sich als Schnitt einer Geraden mit der Geraden im Unendlichen ermitteln. Für die Gerade a sei dies der Punkt P : P = a l Die Gerade c durch und parallel u a ist jett gegeben als Verbindungsgerade dieses Fernpunktes P mit dem Punkt : c = P Die Verbindungsgerade b von und, ihr Fernpunkt Q sowie die Parallele d durch sind analog u bestimmen: Damit ergibt sich D als Schnitt weier Geraden: Das führt abschließend u folgender Formel: b = Q = b l d = Q D = c d D = ((( ) l ) ) ((( ) l ) ) = ( ) 0 0 ( ) 0 0 5
6 Hausaufgaben ufgabe. Koordinatenachsen. estimmen Sie homogene Koordinaten für die - und y-chse sowie den Koordinatenursprung der Zeichenebene. Verwenden Sie die Standardeinbettung mit =. Lösung: Der Koordinatenursprung hat die weidimensionalen Koordinaten (0, 0) T (0, 0, ) T (oder ein vielfaches davon). und somit die homogenen Koordinaten Die -chse erfüllt die Gleichung y = 0 oder ausführlicher 0 + y +0 = 0. Sie hat daher die homogenen Koordinaten (0,, 0) T. nalog hat die y-chse die homogenen Koordinaten (, 0, 0) T. ufgabe 5. Homogene Koordinaten. Zeichnen Sie die folgenden Objekte in die rechts abgebildete gewöhnlichen (, y)-ebene (eingebettet in den R auf = ) ein. a) Punkte mit homogenen Koordinaten: 7 p = p = 5 0 p = 0 p = 0 b) Geraden mit homogenen Koordinaten: l = l = 6 l 5 = l = 6 l = 0 l 6 = 0 Lösung: a) Um die Punkte in die Ebene eineichnen u können, müssen sie dehomogenisiert werden. Dau werden ihre homogenen Koordinaten wie folgt umgeformt: y = y Im Einelnen ergeben sich so: p =, p = 0 0, p = nschließend kann die dritte Koordinate weggelassen werden. Der Punkt p befindet sich im Unendlichen und ist daher nicht direkt einueichnen. Obiger nsat hätte eine Division durch Null ur Folge. Lediglich die Richtung, in die er liegt, kann man durch einen Pfeil andeuten. 6
7 b) Um die Geraden in R u bestimmen, gibt es verschiedene nsäte. Man kann etwa für Vektoren (a, b, c) die ugehörige Gleichung a + by + c = 0 aufstellen und durch scharf hinschauen wei Punkte finden, die diese Gleichung erfüllen und somit die Gerade definieren. So sieht man etwa, dass l die Gleichungen = 0 sowie = 0 erfüllt und daher die Verbindungsgerade von (, 0) T mit (, ) T sein muss. lternativ kann man die Gerade auch durch Kreuprodukte mit wei beliebigen anderen, nicht parallelen Geraden schneiden, um so wei Punkte auf der Geraden u erhalten. Schneidet man etwa die Gerade l mit der - und der y-chse, so erhält man: 0 = Die gesuchte Gerade ergibt sich wieder als Verbindung dieser Punkte. 0 0 = 6 0 Die Gerade l 5 ist die Gerade im Unendlichen. Sie lässt sich nicht korrekt in die Skie eineichnen. Will man sie dennoch veranschaulichen, kann man die Skie verbiegen, um das Unendliche auch noch drauf u quetschen. p p p l l p l 5 p l l l 6 l l l p p p l 6 p l Skie als Lösung der ufgabe Verbogene Skie mit Unendlichkeit ur besseren Vorstellung ufgabe 6. Projektives Konstruieren. Gegeben sei die folgende (unvollständige) Photographie vom Umriss eines Schachbretts. Zeichnen Sie die Felder des Schachbretts perspektivisch richtig ein. enuten Sie dau die Tatsache, dass eine solche (Zentral-)Projektion Kollinearitäten erhält: Punkte, die in der Ebene des Schachbretts auf einer Gerade liegen, liegen auch auf dieser bbildung auf einer Geraden. 7
8 Lösung: Zur Lösung dieser ufgabe muss man sich nur auf die grundlegenden Eigenschaften projektiver Geometrie besinnen: Projektive Transformationen bilden Geraden auf Geraden ab. Schnittpunkte von Geraden bleiben unter projektiven Transformationen erhalten. Euklidisch parallele Geraden schneiden sich im Unendlichen. Sich gegenüberliegende Seiten des Schachbretts sind natürlich parallel. Ihre jeweiligen Schnittpunkte im Unendlichen werden unter der gewählten Perspektive (die praktisch eine projektive Transformation darstellt) sichtbar. Die so bestimmten Schnittpunkte werden im untenstehenden ild mit und beeichnet. Da der Schnitt von Geraden erhalten bleibt, lässt sich durch den Schnittpunkt der beiden Diagonalen der perspektivisch richtige Mittelpunkt M des Schachbretts bestimmen. Die Gerade durch M bw. M teilen dann das Schachbrett perspektivisch richtig in obere und untere bw. rechte und linke Spielbretthälfte ein, da sie Linien entsprechen, die parallel um Rand verlaufen. Wiederholte nwendung dieses Verfahrens bringt weitere Unterteilungen und somit schließlich das perspektivisch richtig geeichnete Schachbrett. M 8
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik
TEHNISHE UNIVERSITÄT MÜNHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert, Martin von Gagern Geometriekalküle WS / Lösungen u ufgabenblatt (9. Oktober ) Präsenaufgaben ufgabe. Dualität. Gegeben
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik
Technische Universität München Zentrum Mathematik Michael Strobel Geometriekalküle WS 217/18 http://www-m1.ma.tum.de/geometriekalkuelews1718 Lösungen zu Aufgabenblatt 7 (29. Februar 217) Aufgabe 1. Abstand
MehrProjektive Geometrie 2
Technische Universität München Fakultät für Mathematik Klausur Projektive Geometrie 2 Modul M3204 7. ugust 2017, 11 12 Uhr Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert Musterlösung ufgabe 1. Diagramme mit Kegelschnitten
MehrGeometriekalküle. Rechnen mit projektiver Geometrie. Michael Schmid. 3. März Berufliche Oberschule Rosenheim
Geometriekalküle Rechnen mit projektiver Geometrie Michael Schmid Berufliche Oberschule Rosenheim 3. März 2016 Michael Schmid (BOS Rosenheim) Geometriekalküle 3. März 2016 1 / 34 1 Axiomatische Grundlagen
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik
TEHNISHE UNIVERSITÄT MÜNHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert, Martin von Gagern Geometriekalküle WS 00/ Lösungen zu Aufgabenblatt 5 (5. Dezember 00) Präsenzaufgaben Aufgabe 6. Kegelschnitte
MehrLandeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg
Landeswettbewerb athematik aden-württemberg Lösungsvorschläge für die ufgaben der Runde 006/00 ufgabe us Streichhölzern wird wie in der bbildung ein (6 3) Rechteckgitter gelegt Für die ganze Figur sind
MehrAbitur 2010 Mathematik LK Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik LK Geometrie V Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des R der Punkt A( ) und die Menge der Punkte B k ( k) mit k R. Die Punkte
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik
Technische Universität München Zentrum Mathematik Prof Dr Dr Jürgen Richter-Gebert, Bernhard Werner Projective Geometry SS 7 www-mmatumde/projectivegeometryss7 Lösungen zu Aufgabenblatt 5 Juli 7 Aufgabe
MehrAbitur 2016 Mathematik Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik Geometrie V Betrachtet wird der abgebildete Würfel A B C D E F G H. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik
Aufgabe. Objekte im Raum Technische Universität München Zentrum Mathematik rof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert, Bernhard Werner rojective Geometry (SS 07) www-m0.ma.tum.de/rojectivegeometryss7 Lösungen
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik
Aufgabe 50. Projektivspiegelung TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert, Martin von Gagern Projektive Geometrie WS 2010/11 Lösungen zu Aufgabenblatt 12 (24.
Mehr3D-Transformationen. Kapitel Translation Skalierung
Kapitel 3 3D-Transformationen Wie im weidimensionalen Fall, werden die Definitionspunkte der Objekte als Spaltenvektoren mit homogener Koordinate geschrieben. Die notwendigen Transformationen werden wieder
Mehr1 Grundlagen der analytischen Geometrie
M. Pester 3 Grundlagen der analtischen Geometrie. Punkte, Vektoren, Geraden, Ebenen Einsat rechnerischer Methoden für die Behandlung geometrischer Beiehungen. Punkten werden Zahlentupel (Koordinaten) ugeordnet.
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Klausuren Jahrgangsstufe 11, 1. Halbjahr
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Klausuren Jahrgangsstufe 11, 1. Halbjahr Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de SCHOOL-SCOUT Klausuren Jahrgangsstufe
MehrTechnische Universität München Fakultät für Mathematik. Klausur. Geometriekalküle. Modul MA März 2018, 16:00 17:00 Uhr
Technische Universität München Fakultät für Mathematik Klausur Geometriekalküle Modul MA2203 1. März 2018, 16:00 17:00 Uhr Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert Musterlösung Aufgabe 1. Kegelschnitt mit Parameter
MehrTechnische Universität München Fakultät für Mathematik. Klausur. Geometriekalküle. Modul MA März 2017, 08:30 09:30 Uhr
Technische Universität München Fakultät für Mathematik Klausur Geometriekalküle Modul MA2203 2. März 207, 08:30 09:30 Uhr Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert Musterlösung Aufgabe. Wahr oder Falsch Entscheiden
MehrMerkhilfe Vektorrechnung
Merkhilfe Vektorrechnung 1. Was ist ein Vektor? 2. Verbindungsvektor AB =? 3. Punkte A und B, Gerade g Punkte A, B und C, Ebene E 4. Mitte M der Strecke AB OM =? a 1 a = a 2, b 1 b = b 2 a 3 b 3 5. Betrag
MehrArchimedische Spirale 3
ufgabenblatt-rchimedische Spirale +Lösungen.doc rchimedische Spirale ufgabe Gegeben sind der ol und zwei unkte und wie in der Zeichnung, die olarachse soll durch gehen. y cm 0 - - - - - - - 8 9 - - cm
MehrProseminar Einführung in die Mathematik 1 WS 2010/11 2. Dezember 2010 Lösungen
Proseminar Einführung in die Mathematik 1 WS 1/11. Deember 1 Lösungen 46) Wie kann man nach Wahl eines Nullpunktes die Zeichenebene in natürlicher Weise als Vektorraum betrachten? Skriptum Kapitel 4, Par.
MehrAbitur 2013 Mathematik Geometrie V
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur 1 Mathematik Geometrie V Teilaufgabe b ( BE) Ein auf einer horizontalen Fläche stehendes Kunstwerk besitzt einen Grundkörper aus massiven Beton, der die
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I (Wintersemester 3/4) Aufgabenblatt (9. Januar
Mehr13 Lösen von Gleichungssystemen
Vorkurs Mathematik 2 3 LÖSEN VON GLEICHUNGSSYSTEMEN 3 Lösen von Gleichungssystemen Zu Beginn des Kurses haben wir folgendes Gleichungssystem gelöst: 2 + 3y = 5 () + 2y = 4 (2) In diesem Beispiel haben
MehrAufgabe A6/13. Aufgabe A7/13. Aufgabe A6/14
Aufgabe A6/ Gegeben sind die Ebene 4 : Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab und : 8. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden. (Quelle Abitur BW Aufgabe 6) Aufgabe A7/ Gegeben sind
Mehr9. Landeswettbewerb Mathematik Bayern
9 Landeswettbewerb Mathematik aern ufgaben und Lösungsbeispiele Runde 006/00 ufgabe us Streichhölzern wird wie in der bbildung ein (6 3) Rechteckgitter gelegt ür die ganze igur sind 6² 3² Streichhölzer
MehrRechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene
Rechnen mit 1. im Koordinatensystem 1.1. Freie in der Ebene 1) Definition Ein Vektor... Zwei sind gleich, wenn... 2) Das ebene Koordinatensystem Wir legen den Koordinatenursprung fest, ferner zwei zueinander
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 24 Unter den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik versteht man (1) die Quadratur des Kreises, (2) die Dreiteilung
Mehr4 Ein wenig analytische Geometrie. 4.1 Einige Grundgebilde der projektiven Geometrie Geraden in homogenen Koordinaten
4 Ein wenig analytische Geometrie 4.1 Einige Grundgebilde der projektiven Geometrie 4.1.1 Geraden in homogenen Koordinaten (a) Im Raum/Ebene in Parameterform Siehe Figur-4-1-1-a (ohne X g = P Q) P ( p),
MehrAbitur 2011 G8 Abitur Mathematik Geometrie V
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 211 G8 Abitur Mathematik Geometrie V In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 6 ), B( 8 6 6) und C( 8 6) gegeben. Teilaufgabe 1a (8
Mehr2. Isometrien oder Kongruenzabbildungen
6 2. Isometrien oder Kongruenzabbildungen 2.1 Einführende Überlegungen Kongruente Figuren sind deckungsgleiche Figuren. Eine Figur wird so bewegt, dass sie mit einer anderen Figur zur Deckung gebracht
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik
Technische Universität München Zentrum Mathematik Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert, Bernhard Werner Projektive Geometrie SS 6 www-m.ma.tum.de/projektivegeometriess6 Lösungen zu Aufgabenblatt (6-6-3
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK Projektive Geometrie (Sommersemester 2005) Lösungen zu Aufgabenblatt 4 (25. Mai 2005) Präsenzaufgaben
MehrStädtewettbewerb Frühjahr 2012 Lösungsvorschläge
Städtewettbewerb Frühjahr 01 Lösungsvorschläge Hamburg. März 01 [Version 7. pril 01] M Mittelstufe ufgabe M.1 (3 P.). Ein Schatz ist unter einem Feld eines 8 8-retts vergraben. Unter jedem anderen Feld
MehrAbitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Geometrie VI
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur G8 Musterabitur Mathematik Geometrie VI In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Würfel W der Kantenlänge gegeben. Die Eckpunkte G ( ) und D ( ) legen
MehrGeometrie in der Ebene und im Raum
KAPITEL Geometrie in der Ebene und im Raum. Koordinaten Wir beschreiben nach einer Idee von René Descartes (596 650) jeden Punkt in der Ebene durch ein Paar reeller Zahlen. Die Menge der Paare reeller
MehrDie Abbildung (x 1 ;x 2 ) 7! (x 1 ;x 2 ; 1) ist eine Einbettung von R 2 in P 2 (als Mengen). Punkte mit z 6= 0 sind endliche" Punkte mit inhomogenen K
Kapitel IV Projektive Geometrie In diesem Kapitel wird eine kurze Einführung in die projektive Geometrie gegeben. Es sollen unendlich ferne Punkte mit Hilfe von homogene Koordinaten eingeführt werden und
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik
Technische Universität München Zentrum Mathematik Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert, Bernhard Werner Projektive Geometrie SS 2016 www-m10.ma.tum.de/projektivegeometriess16 Lösungen zu Aufgabenblatt 11
MehrLagebeziehung zweier Geraden GTR
Lagebeiehung weier Geraden GTR Es bestehen folgende Möglichkeiten. Die Geraden. schneiden sich oder sind. windschief,. identisch,. parallel und nicht identisch. Gegeben sind die beiden Geraden g: = ( )
MehrElemente der Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2015 Elemente der Algebra Vorlesung 25 Auch Albrecht Dürer hatte Spaß an der Quadratur des Kreises Unter den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik versteht
Mehr(Quelle Landungsbildungsserver BW) (Quelle Landungsbildungsserver BW)
Aufgabe M01 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem 7 2 2 3 5 4 4 7 Aufgabe M02 14 Stellen Sie den Vektor 5 als Linearkombination der drei Vektoren 7 0 1 5 1, 3 und 2 dar. 3 7 2 Aufgabe M03 0 2 Gegeben
MehrAbitur 2017 Mathematik Geometrie VI
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur 7 Mathematik Geometrie VI Gegeben sind die beiden bezüglich der x x 3 -Ebene symmetrisch liegenden Punkte A( 3 ) und B( 3 ) sowie der Punkt C( ). Teilaufgabe
MehrAufgabe A7/08 Die Ebene geht durch die Punkte 1,5 0 0,!0 3 0 und " Untersuchen
Aufgabe A6/08 Gegeben sind die zwei parallelen Gerade und durch 2 3 1 6 : 9 4, : 2 8;, 4 1 5 2 Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden. (Quelle Abitur BW 2008 Aufgabe 6) Aufgabe A7/08 Die Ebene geht
MehrAnalytische Geometrie II
Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor
MehrKlausur zum Modul 2 im SS 2004 und Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2004
Klausur zum Modul im SS 004 und Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 004 PO neu PO alt Name, Vorname... Matr.Nr.... Semester-nzahl im SS 004:... Studiengang G/H/R... Tutor/in:... ufg.1 ufg, ufg.3
MehrAbitur 2010 Mathematik GK Geometrie VI
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik GK Geometrie VI In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung O sind die Punkte A( ), B( ) und die Gerade g : x = O A + λ, λ R, gegeben.
MehrÜbung Elementarmathematik im WS 2012/13. Lösung zum Klausurvorbereitung IV
Technische Universität Chemnitz Fakultät für Mathematik Dr. Uwe Streit Jan Blechschmidt Aufgabenkomplex 7 - Vektoren Übung Elementarmathematik im WS 202/3 Lösung zum Klausurvorbereitung IV. (5 Punkte -
Mehr4. Parallelität ohne Metrik
4. Parallelität ohne Metrik In der Euklidischen Geometrie wird nicht gemessen. as hat zwei Gründe. Erstens, gab es bei den Griechen noch kein entwickeltes Stellenwertsystem. Zweitens, haben sie ja schon
MehrPhilipp-Melanchthon-Gymnasium Bautzen Lk Mathematik Kl. 11. Schwerpunkt: Aufgaben ohne HM Abitur Sachsen
Übungen zur Analytischen Abitur 00 Die Punkte A( 0), B( 0) und C(5 0) sind Eckpunkte eines Rechtecks ABCD. Der Punkt S ist die Spitze einer geraden Pyramide mit dem Rechteck ABCD als Grundfläche und der
MehrVektorrechnung Einführung
Vektorrechnung Einführung In der Phsik treten häufig Größen wie Kraft und Geschwindigkeit auf, die sich nicht nur durch eine Zahl erfassen lassen. Sie besiten neben einem bestimmten etrag noch eine Richtung
Mehr5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen. 5.1 Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap. 3.2) 5.2: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene
5 5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen 5. Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap..) 5.: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene Beispiel: : x + y + 4z - 4 = g = P(6, -, )Q(, 6, 4) geometrisch:
MehrVektorrechnung Einführung
Vektorrechnung Einführung In der Phsik treten häufig Größen wie Kraft und Geschwindigkeit auf, die sich nicht nur durch eine Zahl erfassen lassen. Sie besiten neben einem bestimmten etrag noch eine Richtung
MehrElemente der Mathematik - Sommer 2016
Elemente der Mathematik - Sommer 2016 Prof. Dr. Matthias Lesch, Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 9 ufgabe 31 (6 Punkte). Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal alle Dreiecke mit folgenden ngaben: (a)
MehrA Vektorrechnung. B Geraden und Ebenen
A Vektorrechnung Seite 1 Lineare Gleichungssysteme... 4 2 Gauß-Algorithmus... 6 3 Vektoren... 10 4 Vektorberechnungen und Vektorlängen... 12 5 Linearkombination und Einheitsvektor... 16 6 Lineare Abhängigkeit
MehrPflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg
Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz wwwmathe-aufgabencom September 6 Abituraufgaben (Haupttermin) Aufgabe
MehrDas Wichtigste auf einen Blick
Das Wichtigste auf einen Blick Zusammenfassung Geometrie.Parameterform einer Geraden Eine Gerade ist wie auch in der Analysis durch zwei Punkte A, B im Raum eindeutig bestimmt einer der beiden Punkte,
MehrInhaltsverzeichnis Bausteine Analytische Geometrie
Graf-Zeppelin-Gmnasium Bausteine Analtische Geometrie Inhaltsvereichnis Bausteine Analtische Geometrie Umgang mit Vektoren1 Länge von Vektoren1 Winkel φ wischen wei Vektoren1 Normale u wei (linear unabhängigen)
MehrAus folgt: 1; 3 Eingesetzt in : $$$$$ #! * 1 + ; # $$$$$$$ # $$$$$ 2 $$$$$! * 3 Der Bildpunkt hat die Koordinaten
Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab Lösung A6/ Wir stellen die gegebene Normalengleichung von in die Koordinatengleichung um und bilden. Im Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik
Technische Universität München Zentrum Mathematik Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert, ernhard Werner Projektive Geometrie SS 26 www-m.ma.tum.de/projektivegeometriess6 Lösungen zu Aufgabenblatt 3 (26-4-28)
MehrGruppenarbeit: Lagebeziehungen Gruppe A
Gruppe A Hier soll die Lage von Geraden im Koordinatensystem untersucht werden. Bearbeiten Sie folgende Fragen (am besten mit Hilfe von Skizzen): 1) Wie kann man überprüfen, ob eine gegebene Gerade durch
Mehr5A. Von der Perspektive zu den projektiven Ebenen.
5A. Von der Perspektive zu den projektiven Ebenen. Neben der Euklidischen Geometrie, wie sie im Buch von Euklid niedergelegt und wie wir sie im vorigen Abschnitt behandelt haben, gibt es noch weitere Geometrien.
Mehr3D-Transformationen. Kapitel Translation Skalierung
Kapitel 13 3D-Transformationen Wie im weidimensionalen Fall, werden die Definitionspunkte der Objekte als Spaltenvektoren mit homogener Koordinate geschrieben. Die notwendigen Transformationen werden wieder
Mehr5. Geraden und Ebenen im Raum 5.1. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
5 Geraden und Ebenen im Raum 5 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren Definition: Die Vektoren a,a,,a n heißen linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination
MehrAnalytische Geometrie I
Analytische Geometrie I Rainer Hauser Januar 202 Einleitung. Geometrie und Algebra Geometrie und Algebra sind historisch zwei unabhängige Teilgebiete der Mathematik und werden bis heute von Laien weitgehend
MehrÜbungsklausur zur Vorlesung Lineare Algebra und Analytische Geometrie I
Humboldt-Universität zu Berlin.0.08. Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II, Institut für Mathematik A. Filler Übungsklausur zur Vorlesung Lineare Algebra und Analytische Geometrie I Bitte lösen
MehrHTW MST Mathematik 1. Vektorrechnung. Zu Aufgabe 1. Zu Aufgabe Lösungen zu Übungsblatt 5. Lösung: Lösung: = 39
Vektorrechnung Zu Aufgabe 1 Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die Vektoren 1 a =, b =, 3 1 c = 6 1 aufgespannt wird! Zu Aufgabe Berechnen Sie das Volumen des durch folgende 3 Vektoren
MehrMathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010
Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 8 18. Mai 2010 Kapitel 8. Vektoren (Fortsetzung) Lineare Unabhängigkeit (Fortsetzung) Basis und Dimension Definition 80. (Lineare (Un-)Abhängigkeit)
MehrA c. C a. C b. P A b. A B c. B a. Über Parallelen zu Dreiecksseiten Darij Grinberg
Über Parallelen zu Dreiecksseiten Darij Grinberg c a b P b c Fig. 1 Wir werden zuerst zeigen (Fig. 1): Satz 1: Sei P ein Punkt in der Ebene eines Dreiecks : Die Parallele zu der Geraden durch den Punkt
MehrH. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen
H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Themen des Pflichtteils... Analysis Von der Gleichung
Mehreingesetzt in die Ebenengleichung
25 5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen 5.1 Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap. 3.2) 5.2: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene Beispiel: ε: 2x + 3y + 4z - 24 = 0 g = P(6, -2, 2)Q(0,
MehrÜbungen 4 Gerade, Ebene - Kurze Aufgaben Ebene: Spurpunkte, Spurgerade, Achsenabschnittsform Gerade, Ebene U04 Übungen 4 - Seite 1 (von 5)
Übungen Gerade, Ebene - Kurze Aufgaben ) Gesucht ist Normalenform einer Ebene, die den Punkt P( ) enthält und auf der x- Achse senkrecht steht. ) Gegeben ist die Ebene E: x ( Gesucht ist der Winkel zwischen
Mehr14 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE. x y
4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE 4 Projektionen 4. Parallelprojektion (a) Senkrechte Projektion auf eine Koordinatenebene Wir wählen als Projektionsebene die Ebene, d. h. in den Beeichnungen
Mehr6. Analytische Geometrie : Geraden in der Ebene
M 6. Analtische Geometrie : Geraden in der Ebene 6.. Vektorielle Geradengleichung Eine Gerade ist durch einen Punkt A und einen Richtungsvektor r eindeutig bestimmt. Durch die Einführung eines Parameters
MehrAbiturprüfung Mathematik 200 Baden-Württemberg (ohne CAS) Wahlteil Aufgaben Analytische Geometrie II, 2 Gegeben sind der Punkt A(,/6/,) sowie die Gerade g: x = 0 + t. a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt
Mehr9. Übung zur Linearen Algebra I -
9. Übung zur Linearen lgebra I - Lösungen Kommentare an Hannes.Klarner@FU-erlin.de FU erlin. WS 2009-10. ufgabe 33 Sei ϕ : X X eine lineare bbildung, dim(x) = n und ϕ n = 0, ϕ n 1 0. (i) Zu Zeigen: x X,
MehrGrundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt
MehrAlgebra 3.
Algebra 3 www.schulmathe.npage.de Aufgaben 1. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 3), B( ) sowie für jedes a (a R) ein Punkt P a (a a a) gegeben. a) Zeigen Sie, dass alle Punkte
MehrAufgabe 1 Zwei Kreise und k mit gleichem Radius schneiden sich in den Punkten A und B. Der Kreis um A
1997 Runde ufgabe 1 Zwei Kreise und k mit gleichem Radius schneiden sich in den Punkten und Der Kreis um k1 k 1 durch schneidet zum zweiten Mal in einem Punkt Zeige, dass die Gerade () Tangente an den
MehrZusammenfassung der Analytischen Geometrie
Zusammenfassung der Analytischen Geometrie 1. Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation, Linearkombinationen) 1. Gegeben sind die Punkte A(2-6 ) und B(-1 14-4), 4 4 sowie die Vektoren
Mehr4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS /..-7.. Aufgabe G (Geraden im R ) Bestimmen
Mehr2. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 11 Saison 1962/1963 Aufgaben und Lösungen
2. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 11 Saison 1962/1963 ufgaben und Lösungen 1 OJM 2. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 11 ufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit egründungen
MehrMathematische Probleme, SS 2019 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/12 17:03:16 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.53 2019/04/12 17:03:16 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.1 Rechtwinklige Dreiecke Wir beschäftigen uns gerade mit den primitiven pythagoräischen Tripeln. Haben wir ein solches Tripel, also teilerfremde
Mehr12 Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Seite 1 von Der Abstand eines Punktes von einer Geraden
12 Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Seite 1 von 5 12 Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Die Bestimmung des Abstands eines Punktes von einer Geraden gehört zu den zentralen Problemen
MehrAufgaben zu Lagebeziehungen Gerade-Ebene und Ebene-Ebene
Aufgaben zu Lagebeziehungen Gerade-Ebene und Ebene-Ebene. Im sind die Punkte A(/-4/7), B(-/4/-), die Ebene E:x x +x 5 sowie die Geradenschar (Abitur BI) gegeben.. Die Gerade h AB schneidet die Ebene E
Mehr2. Kongruenzsätze (SWS und SSS) ohne Parallelen.
2. Kongruenzsätze (SWS und SSS) ohne Parallelen. In diesem Kapitel beginnen wir mit der systematischen ufstellung der Euklidischen Geometrie wie man sie in [Euklid, Elemente] findet. ls erstes Lehrstück
MehrFOS 1994, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Analytische Geometrie, Aufgabengruppe B I
FOS 994, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Aufgabenstellung In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( ), B(3 ) und C( ) gegeben, sowie die Punkte D a (a a a + ) mit a R..
MehrMathematik LK 12 M1, 3. KA LA I / Analytische Geometrie Lösung
Mathematik LK M,. KA LA I / Analytische Geometrie Lösung 6..7 Aufgabe : Rechnen mit Vektoren Berechne... und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich. Falls der Term keinen gültigen Ausdruck darstellt,
MehrÜbungsaufgaben zu Kapitel 1 und 2
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Wintersemester 8/9 Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. B. Jung Übungsaufgaben zu Kapitel und Aufgabe : Vereinfachen Sie die folgenden komplexen Ausdrücke
MehrGleiche Vorgehensweise wie beim Einheitsvektor in der Ebene (also wie bei 2D).Beispiel:
VEKTOREN Vektoren im Raum (3D) Länge/Betrag eines räumlichen Vektors Um die Länge eines räumlichen Vektors zu bestimmen, berechnen wir dessen Betrag. Auch hier rechnet man genauso wie bei einem zweidimensionalen
Mehrx = r cos ', y = r sin ',wobei 0 6 r 6 2, z = z und somit
zu c). Ü erechnen Sie das Volumen und die Masse des Körpers aus Ü.; Der Körper aus Aufgabe Ü.; ist begrenzt durch die Flächen mit den Gleichungen z, + y und y z mit z >. Für die Dichte gelte (; y; z) +
MehrLk Mathematik 12 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.1
Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.. Die Grundäche eines Spielplatzes liegt in der x - -Ebene. Auf ihm steht eine innen begehbare, senkrechte, quadratische Pyramide aus Holz mit den Eckpunkten
Mehrb 1 b 2 b 3 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
1. Rechnen mit Vektoren Skalarprodukt a b = a b cosα = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 b a 1. Betrag = Länge eines Vektors: a = a a = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 2. Winkel zwischen 2 Vektoren:
Mehrentspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
MehrAbituraufgaben bis 2018 Baden-Württemberg. Geraden, Ebenen, Abstand
Abituraufgaben bis 8 Baden-Württemberg Geraden, Ebenen, Abstand allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com August 8 Aufgabe : (Abiturprüfung 8) Gegeben sind die Ebenen E: xx x
MehrVektorrechnung. 10. August Inhaltsverzeichnis. 1 Vektoren 2. 2 Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3. 3 Geometrie der Vektoren 5
Vektorrechnung 0. August 07 Inhaltsverzeichnis Vektoren Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3 3 Geometrie der Vektoren 5 4 Das Kreuzprodukt 9 Vektoren Die reellen Zahlen R können wir uns als eine
Mehr