Geometrie in der Ebene und im Raum

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1 KAPITEL Geometrie in der Ebene und im Raum. Koordinaten Wir beschreiben nach einer Idee von René Descartes ( ) jeden Punkt in der Ebene durch ein Paar reeller Zahlen. Die Menge der Paare reeller Zahlen küren wir mit oder 2 ab. x y x und y. Für das Paar x y schreiben wir auch x, y. Aus der folgenden Skie ist ersichtlich, wie wir jeden Punkt durch ein Zahlenpaar (seine kartesischen Koordinaten) beschreiben x x y y Vektoren 2.. Addition von Vektoren. Wo liegt der Punkt C im Parallelogramm ABCD, dessen Punkte A, B und D durch gegeben sind? A, B 7 2, D Unterlagen ur Vorlesung Algebra von Erhard Aichinger, Peter Mayr. Alle Rechte vorbehalten

2 2. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM C? D 3 4 B 7 2 A Um von A nach B u kommen, müssen wir 6 nach rechts und nach oben gehen. AB Wenn wir von D starten und um 6 nach rechts und nach oben gehen, landen wir bei C. C D AB Wir bemerken, dass wir ein Paar reeller Zahlen, wie etwa 6, verwenden, um wei verschiedene Dinge u beschreiben: Den Punkt, der um 6 Längeneinheiten rechts und um Längeneinheit über dem Punkt 0 0 liegt. Den Weg (Vektor) von nach 7 2. DEFINITION.. Für Vektoren a a 2, b b 2 in 2 definieren wir a a 2 b b 2 a b a 2 b 2.

3 3. DIE LÄNGE EINES VEKTORS 3 a b b a b a In Mathematica werden Vektoren als Listen dargestellt. In[]:= a, In[2]:= b 7, 2 In[3]:= d 3, 4 In[4]:= ab b a Out[4]= 6, In[5]:= c d ab Out[5]= 9, 5 Wir lösen folgendes Beispiel: 3. Die Länge eines Vektors Herr A geht von 3 2 aus Einheit in Richtung Südosten. Wo landet er? Richtung Südosten heißt in Richtung. Allerdings hat die Länge Daher hat v 2 die Länge und eigt auch in Richtung Südosten. Herr A landet also im Punkt Z, den wir uns mit Z ausrechnen.

4 4. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM Wir überlegen uns jett, wie lange der Vektor a b ist. Das heißt, wir wollen wissen, wie lange in einem Dreieck, in dem die Seiten mit den Längen a und b einen rechten Winkel einschließen, die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ist. Vergessen wir kur unsere klassische Bildung, und eichnen wir ein Quadrat mit Seitenlänge ab. Wir unterteilen jede der vier Quadratseiten in ein Stück der Länge a und ein Stück der Länge b und verbinden die 4 Teilungspunkte. Das innere jett eingeeichnete Viereck ist ein Quadrat, da alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind. a b b a Fläche ab b 2 Fläche x 2 a x a b Das innere Viereck und die vier rechtwinkeligen Dreiecke ergeben usammen die Fläche des großen Quadrats mit der Seitenlänge a b, also gilt Das heißt also x 2 4 a b 2 a b2. x 2 2 a b a 2 2 a b b 2, x 2 a 2 b 2. Mit diesem Zusammenhang, dem Sat des Pythagoras (Pythagoras von Samos, 6. Jh. v. Chr), können wir die Länge x des Vektors a b ausrechnen.

5 4. DER WINKEL ZWISCHEN ZWEI VEKTOREN 5 DEFINITION.2. Wir küren die Länge (oder Norm) des Vektors a b mit a b ab. Es gilt dann a b a 2 b Der Winkel wischen wei Vektoren Bevor wir den Winkel, den wei Vektoren einschliessen, berechnen, erinnern wir an einige Grundlagen der Trigonometrie 4.. Winkel. Winkel misst man nicht nur in Grad ( ), sondern auch in Radiant (rad). Dabei wird der Winkel durch die Länge des ugehörigen Bogens am Einheitskreis, dem Kreis mit Radius, angegeben. Α Länge des Bogens Dabei entsprechen 80 dem Winkel Π rad. Demufolge ist Π rad, und rad 4.2. Winkelfunktionen. P2Π 3 cos20 sin20 sin20 20 cos20

6 6. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM Gegeben ist ein Winkel x. Der auf dem Kreis mit Mittelpunkt 0 0 und Radius liegende Punkt P x hat dann die Koordinaten cosx sinx. Nach dem Sat des Pythagoras gilt für jeden Winkel x: sinx 2 cosx 2. In einem rechtwinkeligen Dreieck heißt die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite auch Hypotenuse, die beiden dem rechten Winkel anliegenden Seiten heißen Katheten. C c cosα c sinα Α A c B ÜBUNGSAUFGABEN.3. () Ein Kletterer kann Wände mit einer Neigung von maximal 65 besteigen. Schafft er eine Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche von 784 m 2 und einer Höhe von 40 m? 4.3. Der Cosinussat. Wir wollen folgendes Problem lösen: Gegeben: Seitenlängen a, b eines Dreiecks und der eingeschlossene Winkel Γ. Gesucht: fehlende Seitenlänge c. C Γ b a Α Β A c B Wir betrachten unächst den Fall Γ 90, Α 90. Wir eichnen in ein solches Dreieck die Höhe auf B und erhalten aus dem Sat des Pythagoras: c 2 b a cosγ 2 a sinγ 2,

7 4. DER WINKEL ZWISCHEN ZWEI VEKTOREN 7 also c 2 b 2 2 a b cosγ a 2 sinγ 2 a 2 cosγ 2 c 2 b 2 2 a b cosγ a 2 sinγ 2 cosγ 2 c 2 b 2 2 a b cosγ a 2 c 2 a 2 b 2 2 a b cosγ. Für den Fall Γ 90 und Α > 90 sowie für den Fall Γ > 90 eichnen wir ebenfalls die Höhe auf B und erhalten ebenfalls die Gleichung: c 2 a cosγ b 2 a sinγ 2. Mit den selben Umformungen in allen 3 Fällen haben wir insgesamt folgenden Sat bewiesen: SATZ.4 (Cosinussat). Wir beeichnen die Längen der Seiten eines Dreiecks mit a, b, c, und wir beeichnen den der Seite mit Länge c gegenüber liegenden Winkel mit Γ. Dann gilt c 2 a 2 b 2 2 a b cosγ. Man findet mit dem Cosinussat Γ, wenn a, b und c gegeben sind. Zu jedem k, gibt es genau ein x 0, Π, sodass cosk c Der Winkel wischen wei Vektoren. Wir berechnen den Winkel, den die Vektoren a a a 2 und b b b 2 miteinander einschließen. Dau nehmen wir an, dass keiner der beiden Vektoren der Nullvektor ist. a b b a φ Für den eingeschlossenen Winkel φ gilt nach dem Cosinussat: a 2 b 2 2 a b cosφ b a 2.

8 8. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM Diese Formel können wir vereinfachen: 2 a b cosφ a 2 b 2 b a 2 2 a b cosφ a 2 a2 2 b2 b2 2 b a 2 b 2 a a b cosφ a 2 a2 2 b2 b2 2 b2 2 a b a2 b2 2 2 a 2 b 2 a2 2 2 a b cosφ 2 a b 2 a 2 b 2 a b cosφ a b a 2 b 2. Wir erhalten cosφ a b a 2 b 2 a b. Die Zahl a b a 2 b 2 beeichnet man als das Skalarprodukt von a und b, und man kürt es mit a, b ab. Die Winkelformel heißt jett: Außerdem gilt für jeden Vektor a In[6]:= 3, 4.5, 2 Out[6]= 7 a, b a a 2, b b 2 a b a 2 b 2. cosφ In[7]:= Laenge v_ Sqrt v.v In[8]:= Laenge 2, 3 Out[8]= 3 a, b a b. a, a a 2. Die Vektoren a und b stehen aufeinander normal, wenn a, b 0. Damit erhält man, dass (wenn a b 0 0 ) der Vektor a b mit den Vektoren a b und b a einen rechten Winkel einschließt. ÜBUNGSAUFGABEN.5. () Von einem gleichschenkeligen Dreieck sind wei Basiseckpunkte 2 3 und 4 bekannt. Ergänen Sie diese Punkte mit einer Spite, sodaß das entstehende Dreieck die Höhe 5 besitt. Wie viele verschiedene Lösungen gibt es? (Sie brauchen nur eine wirklich ausurechnen.) (2) Berechnen Sie den Cosinus des Winkels wischen x und y für x 3 2, y 6 4. (3) Berechnen Sie jeweils den Winkel wischen folgenden beiden Vektoren. Geben Sie die Ergebnisse in Grad und in Radiant an! (a) a 3 2, b 3 2. (b) a 3 4, b 4 3. (c) a 3 4, b 6 8. (d) a 3 4, b 9 2. (4) Zeigen Sie, dass das Skalarprodukt im 2 folgende Eigenschaften erfüllt: (a) a b, a b a, a 2a, b b, b.

9 5. GERADEN IN DER EBENE 9 (b) a b, a b a, a b, b. (5) Verwenden Sie das Skalarprodukt, um folgenden geometrischen Sat u beweisen. In einem Parallelogramm mit Seitenlängen a, b, und Diagonalenlängen e, f gilt: 2 a 2 b 2 e 2 f Geraden in der Ebene Wir überlegen uns, wie man Geraden in der Ebene beschreiben kann. 5.. Geraden, die durch einen Punkt und eine Richtung gegeben sind. r P P 2 3, r 3. Die Gerade g ist die Menge aller Punkte, die man erreicht, indem man von P ein Stück in Richtung r geht. g P Λ r Λ. Lies: g ist gleich der Menge aller Punkte P Λ mal r, wobei Λ eine reelle Zahl ist. Mit den Zahlen für P und r: oder, anders geschrieben, Man kann g auch so schreiben: g 2 3 Λ 3 Λ, g 23 3Λ Λ Λ. g x y 2 es gibt Λ, sodass x y 2 3 Λ 3. Lies: g ist gleich der Menge aller Punkte x y in hoch 2, für die es ein Λ in den reellen Zahlen gibt, sodass x y gleich 2 3 Λ mal 3 ist. Diese Darstellung von g durch Punkt und Richtungsvektor heißt Parameterdarstellung der Gerade g. Man schreibt oft kur: g x y 2 3 Λ 3

10 0. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM oder Wir überprüfen, ob der Punkt 4 5 reelle Zahl Λ gibt, sodass 4 5 gleich 2 3 die Gleichungen g X 2 3 Λ 3. auf der Geraden g liegt. Er liegt auf g, falls es eine Λ Λ 5 3 Λ II ist. Wir suchen also ein Λ, das erfüllt. Aus der Gleichung I erhalten wir Λ 2; da auch gilt, ist Λ 2 eine Lösung des Gleichungssystems. Daher liegt der Punkt 4 5 auf g; wir schreiben dafür 4 5 g Geraden, die durch eine Gleichung gegeben sind. Wir haben im letten Beispiel überprüft, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt. Dabei war die Gerade in Parameterform gegeben. Zur Überprüfung war es notwendig, festustellen, ob es einen Wert für den Parameter Λ gibt, der uns genau den getesteten Punkt liefert. Wir mussten also für jeden Punkt ein Gleichungssystem (mit wei Gleichungen und einer Variable) lösen. Wir testen nun wieder, ob x y auf der Geraden g liegt, die durch gegeben ist. g X 2 3 Λ 3 I P 2 3 x y n Anstatt u fragen, ob x y auf g liegt, fragen wir, ob x y 2 3 normal auf n steht. Das ist nämlich genau für die Punkte x y auf g der Fall. Zunächst finden wir den Vektor n. Auf den Vektor a b steht immer der Vektor b a normal, denn das Skalarprodukt a b, b a ergibt a b a b 0. Also finden wir n durch n 3.

11 Nun überprüfen wir, ob x y GERADEN IN DER EBENE normal auf 3 steht. Das gilt genau dann, wenn x2 y3, 0. Wir rechnen das Skalarprodukt aus und erhalten 3 x 3 y 0. Ein Punkt x y liegt also genau dann auf der Geraden, wenn x 3 y 0 ist. Wir können also jett viel einfacher überprüfen, ob ein Punkt auf der Geraden g liegt. Wir berechnen x 3 y. Ist das 0, so liegt der Punkt auf der Geraden, und sonst nicht. Außerdem können wir die Gerade jett kürer angeben durch g x y 2 x 3 y (lies: g ist gleich der Menge aller x y in hoch 2, für die x 3 y gleich ist. ) Das kürt man auch u g x 3 y ab. x 3 y heißt Gleichung der Geraden, diese Darstellung der Geraden Gleichungsform oder impliite Darstellung der Geraden Verwandlung wischen Gleichungs- und Parameterform Verwandlung von parametrisierter in impliite Darstellung. Wir verwandeln g X 2 3 Λ 3 in g x 3 y so, wie das in obigem Beispiel erklärt worden ist Verwandlung von impliiter in parametrisierte Form. Wir verwandeln g 5 x 2 y in parametrisierte Form. Dau seten wir y t und rechnen uns aus diesem y das x aus. Wir erhalten x 2 t. Somit ist für jedes t der Punkt t 5 5 t ein Geradenpunkt. Die Gerade hat also die parametrisierte Darstellung g X 5 0 t 2 5. Eine andere Darstellung derselben Geraden ist g X 5 0 t 2 5, oder g X 2 t Speialfall: Wir verwandeln g y in Parameterform. Dau seten wir x t, und rechnen uns dann y aus. Das ist aber immer. Für jedes t ist also t ein Geradenpunkt. Die Gerade hat die parametrisierte Darstellung ÜBUNGSAUFGABEN.6. g X 0 t 0. () Geben Sie die Gerade durch die Punkte 3 2 und 3 3 in Parameterform und in impliiter Form an! (2) Bestimmen Sie jeweils eine Parameterform (= Punkt-Richtungs-Form) folgender Geraden.

12 2. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM (a) 3 x 4 y 7. (b) x. (c) y 4. (3) Bestimmen Sie eine Gleichung, deren Lösungsmenge die Gerade X 3 6 Λ 2 ist. (4) Bestimmen Sie die impliite Darstellung jener Geraden, die parallel ur Geraden g mit g X 2 t 3 4 sind und von dieser Abstand 0 haben. (5) Ein Radfahrer startet im Punkt 2 3 und fährt auf den Punkt 8 0 u. Ein Fußgänger startet im Punkt 4 3 und geht auf den Punkt 0 4 u. In welchem Punkt schneiden sich die Wege der beiden? (6) Ein Radfahrer im Punkt 3 3 und ein Fußgänger im Punkt 9 5 bewegen sich aufeinander u, der Radfahrer mit 20 km/h, der Fußgänger mit 5 km/h. Wann und wo treffen die beiden einander? (7) Vom Quadrat ABCD haben wir folgende Angaben: A 2. B liegt auf der Geraden g B X 2 Λ 4 3. Die Seitenlänge des Quadrats ist 0. Die Eckpunkte sind gegen den Uhreigersinn mit A, B, C, D beschriftet. Berechnen Sie die Koordinaten des Eckpunktes C! (8) Vom Quadrat ABCD haben wir folgende Angaben: A 2. B liegt auf der Geraden g B X 2 Λ 3 4. Die Seitenlänge des Quadrats ist 5. Die Eckpunkte sind gegen den Uhreigersinn mit A, B, C, D beschriftet. Berechnen Sie die Koordinaten des Eckpunktes C! (9) Zeigen Sie, dass sich die Schwerlinien des Dreiecks ABC mit A 2, B 5 und C 3 5 in einem Punkt schneiden, und berechnen Sie diesen Schnittpunkt. (0) Berechnen Sie den Umkreismittelpunkt U u u 2 des Dreiecks ABC mit A 2, B 5 und C 3 5, indem Sie die Bedingung, dass U gleich weit von A, B und C entfernt ist, in Gleichungen in den Variablen u und u 2 umwandeln. Verwenden Sie ur Lösung der auftretenden Gleichungen den Mathematica-Befehl Solve. () Berechnen Sie den Durchschnitt der Geraden h und j, wobei und (2) Bestimmen Sie die Schnittmenge der Geraden und h X 2 t 2 5 j 0 x 4 y 0. g X 3 4 t 2 g 2 2 x 4 y 22. (3) Bestimmen Sie den Cosinus des Schnittwinkels der Geraden und g X 0 4 t 3 4 g 2 2 x 5 y 22.

13 6. VEKTOREN IM n 3 6. Vektoren im n Bisher haben wir uns auf die Geometrie in der Ebene beschränkt. Analog kann man den Raum mit Tripeln reeller Zahlen, also mit Elementen aus 3, koordinatisieren. Die Konvention ist es, die Richtungen der Koordinatenachsen wie in folgender Skie u wählen. y x Hält man Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand so, dass sie paarweise im rechten Winkel aufeinander stehen, dann eigen sie jeweils in die Richtung der positiven x-achse, y-achse und -Achse. Wir definieren die Operationen, die im 2 hilfreich waren, allgemein für wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist. n x x x,, x n, n DEFINITION.7. Seien a a, b b in n. Wir definieren: a n b n () a b a b. a n b n (2) Λa Λa für Λ. Λa n (3) a, b a b a n b n (Skalarprodukt). (4) a a, a (Länge). (5) Der Winkel φ wischen a und b ist gegeben durch cosφ a, b a b. 6.. Das Kreuprodukt in 3. Wir beginnen mit einer vorerst unmotivierten Definition und eigen dann einige ihrer nütliche Eigenschaften. DEFINITION.8. Der Vektor a a 2 b b 2 a2b3a3b2 a 3 b 3 a b 3 a 3 b a b 2 a 2 b

14 4. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM ist das Kreuprodukt von a a 2 und b b 2 in 3. a 3 b 3 Für a a a 2 und b b b 2 in 3 gilt: a 3 b 3 () a b ist normal auf a und auf b. Beweis. Es gilt a b, a a 2 b 3 a 3 b 2 a a b 3 a 3 b a 2 a b 2 a 2 b a 3 0. (2) a b ist die Fläche des Parallelogramms, das von den Vektoren a und b aufgespannt wird. Beweis. b h φ a Wir erhalten für die Höhe h auf a und für den Flächeninhalt Somit gilt h b sinφ F a h a b sinφ. F 2 a 2 b 2 sinφ 2, a 2 b 2 cosφ 2, a 2 b 2 a, b 2. Einseten von a a 2 für a und b b 2 für b ergibt jett a 3 b 3 F 2 a b 2. Durch diese beiden Bedingungen an Richtung und Länge ist der Vektor a b fast schon eindeutig bestimmt. Zusätlich gilt: Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung a, der Zeigefinger in Richtung b, und ist der Mittelfinger normal auf a und b, dann eigt er in die Richtung von a b.

15 7. GERADEN UND EBENEN IM RAUM 5 In[9]:= Kreuprodukta_, a2_, a3_, b_, b2_, b3_ a2 b3 a3 b2, a b3 a3 b, a b2 a2 b In[0]:= Kreuprodukt, 2, 3, 0, 2, Out[0]= 4,, 2 7. Geraden und Ebenen im Raum 7.. Parameterdarstellung einer Geraden. Genau wie im 2 lässt sich eine Gerade im 3 durch eine Parameterdarstellung mit einem Punkt und einem Richtungsvektor angeben. Zum Beispiel, g x y 2 3 Λ. 3 r P 7.2. Parameterdarstellung einer Ebene. Wie kann man die Ebene e beschreiben, die die drei Punkte P 2 3, Q 3 2 2, und R enthält?

16 6. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM R n P Q Die Ebene e ist die Menge aller Punkte, die man erreicht, indem man etwa von P aus ein Stück in Richtung auf den Punkt Q und ein Stück in Richtung auf den Punkt R u geht. e P Λ PQ Μ das heisst, die Punkte der Ebene sind von der Form PR Λ, Μ, e x y 2 3 Λ Μ Eine Ebene lässt sich also durch einen Punkt und 2 Richtungsvektoren beschreiben Impliite Darstellung einer Ebene. Es sei e die Ebene durch den Punkt 2, die normal auf den Vektor n 3 ist. Wir nennen n den Normalvektor von 4 2 e. Die Ebene e ist die Menge aller Punkte x y, sodass der Vektor x y 2 4 normal auf n ist, also x y 2 4, n 0. Einseten der Werte ergibt die impliite Darstellung der Ebene, e x y 3 x 3y 2 9. Ein Normalvektor von e lässt sich direkt aus den Koeffiienten der Ebenengleichung ablesen.

17 7. GERADEN UND EBENEN IM RAUM Verwandlung von Parameterdarstellung in impliite Darstellung. Wir verwandeln e x y 2 3 Λ Μ in impliite Form Dau suchen wir uerst einen Vektor n, der auf beide Richtungsvektoren der Ebene normal ist. Dann ist n auf die gane Ebene normal. Wir beschreiben 2 Möglichkeiten einen solchen Normalvektor u finden: () Wir suchen n n n 2 n 3 so, dass 3, n 0 und 2 3, n 0. Das heisst, wir müssen das lineare Gleichungssystem n n 2 3n 3 0 2n n 2 3n 3 0 lösen. Klarerweise ist n n 2 n 3 0 eine Lösung, aber wir wollen einen Vektor n, der nicht der Nullvektor ist. Wie man alle Lösungen eines linearen Gleichungssystems findet, werden wir im nächsten Kapitel sehen. (2) Alternativ finden wir n auch als Kreuprodukt der beiden Richtungsvektoren. n Der Vektor n ist normal auf die Ebene. Ein Punkt x y liegt also genau dann in e, wenn der Vektor x y 2 3 normal auf n ist. Wir berechnen und erhalten x y 2 3, n 0 6x 9y 38. Somit hat die Ebene e die impliite Darstellung e x y 3 6x 9y Verwandlung von impliiter Darstellung in Parameterdarstellung. Wir verwandeln e x 3y 2 9 in parametrisierte Form. Wir beschreiben die Lösungsmenge der Gleichung, indem wir Μ und y Λ seten und dann x durch Λ und Μ ausdrücken. Wir erhalten x 9 3Λ 2Μ. Somit liegt für alle Werte Λ, Μ der Punkt 93Λ2Μ Λ in der Ebene. Die Ebene hat also die parametrisierte Darstellung Μ e x y Λ 3 0 Μ 2 0.

18 8. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM 7.4. Impliite Darstellung einer Geraden. Offenbar kann man eine Gerade im Raum nicht durch eine einige lineare Gleichung in x, y, beschreiben. Solche Gleichungen beschreiben nämlich Ebenen im Raum. Jede Gerade kann man aber impliit als Schnitt weier Ebenen, d.h., als Lösungsmenge von 2 linearen Gleichungen beschreiben. Beispielsweise ist g x y 3 2x y 3, x 4y 2 3. die Gerade, die sowohl in der Ebene mit der Gleichung 2x y 3 als auch in der Ebene mit der Gleichung x 4y 2 3 liegt. Zwei Ebenen im Raum, die nicht parallel sind, schneiden sich immer in einer Geraden. Parallele Ebenen erkennt man daran, dass ihre Normalvektoren in dieselbe Richtung eigen. Also sind etwa 2x y 3 und 4x 2y 6 3 parallel Verwandlung von Parameterdarstellung in impliite Darstellung. Wir verwandeln g x y 2 3 Λ 3 in impliite Form. Dau suchen wir 2 Ebenen, die die Gerade enthalten. Liegt g in einer Ebene mit Normalvektor n, dann ist n normal auf den Richtungsvektor der 3 Geraden. Zusätlich liegt der Punkt 2 3 in der Ebene. Auf einen Vektor a b c sind beispielsweise a b, 0 c 0 a und 0 c normal. Wir wählen b n und n als Vektoren, die im rechten Winkel auf stehen. Damit 3 liegt g in den Ebenen durch den Punkt 2 3, die normal auf n bw. n 2 sind. Die Gerade ist also der Durchschnitt der beiden Ebenen Wir haben e x y 5, und e 2 3x 7. g x y 3 x y 5, 3x Verwandlung von impliiter Darstellung in Parameterdarstellung. Um eine Parameterdarstellung von g x y 3 2x y 3, x 4y 2 3 u erhalten, lösen wir das lineare Gleichungssystem 2x y 3, x 4y 2 3. Eine Methode dafür werden wir im nächsten Kapitel vorstellen.