9. Übung zur Linearen Algebra I -

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1 9. Übung zur Linearen lgebra I - Lösungen Kommentare an Hannes.Klarner@FU-erlin.de FU erlin. WS ufgabe 33 Sei ϕ : X X eine lineare bbildung, dim(x) = n und ϕ n = 0, ϕ n 1 0. (i) Zu Zeigen: x X, sodaß := {x, ϕ(x),..., ϕ n 1 (x)} eine asis von X ist. (ii) estimme die ϕ zugeordnete Matrix bzgl.. (iii) estimme Rg(ϕ) und eine asis von Ker(ϕ). Lösung Zu (i): Da die Dimension von X bekannt ist und # = dim(x) muss nur noch gezeigt werden, daß ein x X existiert, sodaß die Menge linear unabhängig ist. Was sollten wir von x fordern? Zumindest sollte k 0 : ϕ k (x) 0 gelten, da jede Menge, die den 0 Vektor enthält sofort linear abhängig ist. Damit wählen wir x aus: ϕ n 1 0 x : ϕ n 1 (x) 0. ehauptung: mit solch einem x ist linear unabhängig. eweis: Sei eine beliebige Linearkombination der 0 mit Vektoren aus gegeben. λ 1 x + λ 2 ϕ(x) + + λ n ϕ n 1 (x) = 0 Das einzige Weg etwas aus dieser Gleichung herleiten zu können ist die ilder der Hintereinanderschaltungen von ϕ beider Seiten zu betrachten. Sinnvoll ist ϕ n 1 zu nehmen: ϕ n 1 (λ 1 x + λ 2 ϕ(x) + + λ n ϕ n 1 (x)) = ϕ n 1 (0) = 0 Da ϕ und somit ϕ k für jedes k linear ist folgt: λ 1 ϕ n 1 (x) + λ 2 ϕ n (x) + + λ n ϕ 2n 2 (x) = 0 Für alle linearen bbildung gilt 0 0. Da ϕ n (x) = 0 fallen alle bis auf einen Summanden weg: λ 1 ϕ n 1 (x)+λ 2 ϕ n (x) + + λ n ϕ 2n 2 (x) = 0 λ 1 ϕ n 1 (x) = 0 ϕ n 1 (x) 0 λ 1 = 0 1

2 Wir haben also mit Hilfe der Eigenschaften von ϕ gefolgert, daß für eine beliebige Linearkombination gelten muß λ 1 = 0. Wir machen also eine Induktion über k mit der ussage λ 1 = = λ k = 0. Im Induktionsschritt wenden wir ϕ n k auf die restliche Linearkombination an λ k ϕ k 1 (x)+λ k+1 ϕ k (x)+ +λ n ϕ n 1 (x) = 0 ϕ n k ( ) λ k ϕ n 1 (x) = 0 λ k = 0 Das beweist die ehauptung. lle Koeffizienten sind gleich 0 und folglich linear unabhängig. Zu (ii): Es gilt die ilder der asiselmente b i = ϕ i 1 (x), 1 i n als Linearkombinationen aus darzustellen (beachte, ϕ 0 := Id X ) ϕ(b 1 ) = ϕ(x) = b 2 (0, 1,..., 0) ϕ(b 2 ) = ϕ(ϕ(x)) = ϕ 2 (x) = b 3 (0, 0, 1,..., 0).. ϕ(b n ) = ϕ(ϕ n 1 (x)) = ϕ n (x) = 0 (0,..., 0) Nach der Definition der zugeordneten Matrix gibt der Index des asiselements auf der linken Seite jeder Gleichung die Spalteposition des Koordinatenvektors in der Matrix an. Die ϕ zugeordnete Matrix ist: ϕ Zu (iii): Sobald man die einer linearen bbildung ϕ zugeordnete Matrix M gefunden hat, bestimmt man den Rang der bbildung am esten mit Hilfe dieses Satzes: Rg(ϕ) = Rg(M). Im speziellen hat die in (ii) bestimmte Matrix den Rang n 1, denn (sieht man zwar auf einen lick, aber trotzdem:) alle ausser der ersten Zeile gehören zur kanonischen asis des K n und sind deswegen linear unabhängig. Mit dem Dimensionssatz für lineare bbildungen ϕ, nämlich Def ϕ+rg ϕ = dim X, folgert man, daß Def ϕ = n (n 1) = 1. Die asis des Kerns hat daher die Länge 1. Da ϕ(b n ) = ϕ(ϕ n 1 (x)) = 0 und ϕ n 1 (x) 0 ist b n eine asis für Ker(ϕ). 2

3 ufgabe 34 Es seien V, W zwei R-VR, = {b 1, b 2, b 3 } eine asis von V und = {a 1, a 2, a 3 } eine asis von W. Man zeige: (i) Es existiert genau eine lineare bb. ϕ : V W mit ϕ(2b 1 2b 2 + b 3 ) = a 1 + a 2 ϕ(b 1 2b 2 + b 3 ) = 2a 1 ϕ(b 2 b 3 ) = a 1 + a 2 (ii) Man bestimme die ϕ zugeordnete Matrix bzgl. der asen und. Lösung Zu (i): Zum Verständnis der Lösung ist der Satz über die lineare Fortsetzung (Satz 2, Seite 44 im Skript) nützlich. Um eine lineare bbildung ϕ : V W zu konstruieren, reicht es ildvektoren der asiselemente einer beliebigen asis von V festzulegen. Die ildvektoren können beliebig gewählt werden und die bbildung ist dann eindeutig. Falls {2b 1 2b 2 +b 3, b 1 2b 2 +b 3, b 2 b 3 } eine asis ist, ist die ehauptung in (i) also gezeigt. Das prüfen wir mit dem Standardverfahren der Matrix der Zeilenvektoren der Koordinaten bzgl : Die drei Zeilen sind linear unabhängig, die betrachteten Vektoren daher eine asis und die ϕ wegen Satz 2 eindeutig bestimmt. Zu (ii): Gesucht sind Koordinaten der Vektoren ϕ(b 1 ), ϕ(b 2 ), ϕ(b 3 ) bzgl.. Da ϕ linear ist gilt: 2ϕ(b 1 ) 2ϕ(b 2 ) + ϕ(b 3 ) = a 1 + a 2 ϕ(b 1 ) 2ϕ(b 2 ) + ϕ(b 3 ) = 2a 1 ϕ(b 2 ) ϕ(b 3 ) = a 1 + a 2 Wir betrachten die Gleichung als ein LGS mit den Unbekannten ϕ(b 1 ), ϕ(b 2 ), ϕ(b 3 ), daß es zu lösen gilt: a 1 + a 2 2a a 1 + a 2 2a a 1 + a a 1 + a a 1 a 2 2a a 1 + a a 1 a a a 1 + a a 1 a a 1 + a a 1 3

4 Das heißt ϕ(b 1 ) = a 1 + a 2 ϕ(b 2 ) = 2a 1 ϕ(b 3 ) = a 1 a 2 Laut Definition der einer linearen bbildung ϕ zugeordneten Matrix C, ϕ C geben die Indizes der Elemente aus die Spalten von C an. Daher: ufgabe 35 ϕ Es sei eine asis des R-VR R 3, b 1 (1, 1, 1), b 2 ( 1, 2, 1), b 3 (1, 1, 2) (i) Man zeige, daß := {b 1, b 2, b 3 } eine asis des R-VR R 3 ist. (ii) Wie lautet die Matrix der asistransformation von nach? (iii) Wie lautet die Matrix der asistransformation von nach? (iv) Der linearen bbildung ϕ : R 3 R 3 sei bzgl. die Matrix Lösung zugeordnet. Wie lautet die ϕ zugeordnete Matrix bzgl.? Zu (i): Dieser Schritt ist nicht sehr interessant, aber notwendig für (ii) und (iii): Die Zeilen sind linear unabhängig, deswegen ist eine asis. Zu (ii): Die Matrix der asistransformation von nach findet man, indem die Elemente aus durch Linearkombinationen aus dargestellt werden. Dabei gibt laut Definition der Index eines Elements aus die Zeile des Koordinatentupels in der Matrix an. Hier ist nichts zu rechnen, die Koordinaten von bzgl. sind schon gegeben und müssen nur noch als Matrix aufgefaßt werden. Die Matrix der asistransformation von nach lautet:

5 Zu (iii): Ähnlich der Methode in 34 (ii) kann man diese ufgabe als zu lösendes LGS verstehen. Gegeben ist b 1 = a 1 + a 2 + a 3 b 2 = a 1 2a 2 a 3 b 3 = a 1 + a 2 + 2a 3 Wir wollen nach a 1, a 2, a 3 auflösen: b b b b 1 + b b b 1 + b b 1 + b 2 b b 1 b b 1 + b 3 Die Koordinaten von a 1, a 2, a 3 werden als Zeilen der Matrix der asistransformation aufgefaßt. Die Matrix der asistransformation von nach lautet also Zu (iv): Um die Matrix zu finden verwenden wir die Gleichung zur Änderung einer linearen bbildung bei asiswechsel. Zur Wiederholung: Seien M die Matrix der asistransformation von nach ϕ P, die ϕ bzgl. zugeordnete Matrix Dann gilt die Gleichung lso: P = P = M t P M t = M t = = ufgabe 36 Die Spur einer n n Matrix = (a ij ) ist die Summe ihrer Hauptdiagonalelemente: Spur() = i=1 Man zeige: Für zwei n n Matrizen, gilt: Spur( ) = Spur( ) a ii 5

6 Lösung Laut Definition der Matrixmultiplikation gilt: = ( n k=1 a ikb kj ). lso ist Spur() = i=1 k=1 a ik b ki n i,k=1 a ik b ki In der folgenden Summe vertausche man die ezeichnungen der Laufvariablen i und k: Spur() = k=1 i=1 b ki a ik = b ki a ik = i,k=1 a ik b ki i,k=1 Damit ist die ehauptung gezeigt. Für endliche Summen ändert die Reihenfolge der Terme nichts am Ergebnis, deshalb dürfen mehrere Summationszeichen hintereinander immer zu einem zusammengefaßt werden. Z..: k=1 s= 3 r=0 1 (k 2 (1 s) + r) = 1 k 12, 3 s 40, 0 r 1 (k 2 (1 s) + r) 6