Stichpunktezettel fürs Tutorium

Transkript

1 Stichpunktezettel fürs Tutorium Moritz und Dorian 11. November Kleiner Fermat Behauptung. Seien a, b N relativ prim und b eine Primzahl. Dann ist a b 1 = 1. Beweis. Wir definieren die Funktion f : (Z/b) (Z/b) mit f(x) = a x. Behauptung. Die Funktion f ist injektiv, d. h. x 1, x : (x 1 x f(x 1 ) f(x )) Beweis. Ansonsten x 1, x : (x 1 x f(x 1 ) = f(x )) Wähle solche x 1, x. Dann ist also a x 1 = a x b a x 1 a x = a (x 1 x ) Da a, b relativ prim sind, also b a, muss gelten b x 1 x, bzw. x 1 = x Also ist f injektiv. Behauptung. Die Funktion f ist surjektiv, d. h. y (Z/b), x (Z/b) : f(x) = y Beweis. Ansonsten y (Z/b), x (Z/b) : f(x) y Es gibt also b Zahlen, die in höchstens b 1 Schubfächer sortiert werden können. Dann erhält ein Schubfach zwei unterschiedliche Zahlen, also im Widerspruch zur Injektivität von f. x 1, x : (x 1 x f(x 1 ) = f(x )) 1

2 Die Funktion f permutiert demnach die Zahlen 1 bis b 1. Daher gilt f(1) f()... f(b 1) = 1... (b 1) weil die Multiplikation ganzer Zahlen kommutativ ist. Nach Definition von f ist also f(x) = a x f(1) f()... f(b 1) = (a 1) (a )... (a (b 1)) = a b (b 1)! = 1... (b 1) Weil b eine Primzahl ist und deshalb keine Nullteiler besitzt, folgt daraus a b 1 = 1 Benutzung des kleinen Satzes von Fermat zum Primzahltest Angenommen p ist eine Primzahl. Dann sagt der kleine Satz von Fermat, dass a {1,..., p 1} : a p 1 = 1 mod p Falls p keine Primzahl ist a {1,..., p 1} : a p 1 1 mod p z. B. ein beliebiger Teiler von p, der nicht 1 ist. Ein möglicher Algorithmus zum Testen von Primzahlen wäre also: Algorithm 1 Primzahltest nach Fermat 1. Wähle ein zufälliges a {... p }.. Falls a p 1 1 mod p: a) Ausgabe falsch b) sonst Ausgabe vielleicht Jede Iteration dieses Algorithmus hat eine naive Laufzeit von O(p), falls die Multiplikation ganzer Zahlen in O(1) geht. Er wird von der Exponentiation dominiert, es wäre also sinnvoll, diese zu beschleunigen. (dazu vielleicht das nächste Mal, falls Interesse besteht)

3 3 Fließkommadarstellung Die generelle Vorgehensweise zum Umrechnen einer Zahl d in Fließkommadarstellung mit einfacher Genauigkeit ist: 1. Vorzeichen von d betrachten. Ist die Zahl negativ, ist das erste Bit 1.. Exponent berechnen, indem log (d) berechnet wird. Mit dem Taschenrechner wäre das beispielsweise. Ohne Taschenrechner ist die nächstgrößere Potenz von ln(d) ln() zu suchen, die größer als d ist, um eins reduziert. 3. Zum Exponenten einen Bias von 17 addieren und die Binärdarstellung des Resultats ermitteln. 4. Zur Berechnung der Mantisse, d durch Exponent teilen. Die Zahl die dabei herauskommt hat garantiert eine 1 vor dem Komma (hidden Bit). 5. Die 1 abziehen und die Zahl mit 3 multiplizieren (3 ist die Anzahl der Bits der Mantisse). 6. Den Vorkommateil dieser Zahl in Binärdarstellung bringen. Die resultierende Fließkommadarstellung von d ist 1 Bit 8 Bit 3 Bit Vorzeichenbit Exponent Mantisse Beispiel. Fließkommadarstellung der Zahl 5.5 in einfacher Genauigkeit. 1. Die Zahl ist negativ, das Vorzeichenbit also = 3 ist die nächstgrößere Potenz, die größer als 5.5 ist. Der Exponent wäre also. 3. Der Exponent mit Bias ist + 17 = 19 = Die Mantisse errechnet sich zu 5.5/ = 5.5/4 = Davon 1 abgezogen und mit 3 multipliziert: ( ) 3 = = In Binärdarstellung: = = Damit ist die Lösung: Vorzeichen Exponent Mantisse 3

4 1 float inverse_sqrt(float x) { 3 union 4 { 5 float f; 6 unsigned long ul; 7 } y; 8 9 y.f = x; 10 y.ul = (0xBE6EB50C - y.ul) >> 1; 11 y.f = 0.5 * y.f * (3.0 - x * y.f * y.f); 1 13 return y.f; 14 } 4 Schnelle, inverse Quadratwurzel Die C-Funktion schätzt zu jeder Eingabe x die Zahl 1 x. Wie könnte sie funktionieren? Wie könnte man sie zu einem Algorithmus für Quadratwurzeln umformulieren? 4.1 Funktionsprinzip (grob) Die Grundidee des Algorithmus besteht darin, dass das Ziehen der Quadratwurzel einer Zahl äquivalent zum Halbieren des Exponenten dieser Zahl ist. Da die Eingabe im Fließkommaformat vorliegt, ist der Exponent bereits Bestandteil dieser Darstellung und müsste für eine Schätzung nur halbiert werden. Um eine Binärzahl zu halbieren, kann man ihre Repräsentation nach rechts shiften (zum Vergleich, ein Rechtsshift einer Zahl im Dezimalformat entspricht einer Division durch 10). Wenn man die magische Zahl in Zeile 10 für den Moment außer acht lässt, ist es genau das, was passiert. Diese Zahl wird notwendig, weil der Exponent noch über einen Bias verfügt. Ihre Binärdarstellung ist BE6EB50C 16 = = Wie man sieht ist diese Zahl nicht nur für die Korrektur des Bias gedacht sie ist aus numerischen Gründen so gewählt worden, damit die erste Schätzung der inversen Quadratwurzel so genau wie möglich ist. Im zweiten Schritt in Zeile 11 sieht man einen Newton-Schritt. x n+1 = x n f(x n) f (x n ) 4

5 Die inverse Quadratwurzel einer Zahl x ist die Nullstelle der Funktion f(y) = x 1 y der Ableitung f (y) = y 3. Eingesetzt y n+1 = y n x y n yn 3 = y n xy3 n y n = 3y n xy 3 n = 0.5 y n (3 xy n) Das entspricht also Zeile 11. (mehrfache Wiederholung dieser Zeile wird die Präzision des Ergebnisses weiter verbessern) 4. Umformulierung zu einem Quadratwurzelalgorithmus mit Es gilt x = x 0.5 = x 1 x 0.5 = x x Man muss das Ergebnis des inverse_sqrt Algorithmus also nur mit x multiplizieren. 5