Perkolation Zusammenhang mit RG
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- Calvin Sommer
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1 Perkolation Zusammenhang mit RG TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 1
2 Agenda 1.1 Einführung und Motivation 1.2 Grundlagen 2.1 Erzeugende Funktion 2.2 Perkolation in einer Dimension 2.3 Perkolation auf einem Cayley-Baum 3.1 RG hierarchisches Gitter 3.2 RG Dreiecksgitter TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 2
3 Einführung Was ist Perkolation? geometrisches Objekt ~> Gitter Wahrscheinlichkeit : Teilstück des Objekts existiert ~> besetzter Gitterpunkt (Besetzungsperkolation; Verbindungsperkolation) Untersuchung der entstehenden Strukturen ~> Clustergröße, Perkolationsschwelle Anwendungen? TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 3 [1]
4 Motivation Anwendbar auf viele chemische und physikalische Phänomene Eindringen einer Flüssigkeit in ein poröses Medium Ausbreitung eines Feuers Elektrische Leitfähigkeit zusammengesetzer Stoffe Sol-Gel Übergang... [2] TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 4
5 Grundlagen - Begriffe Besetzungswahrscheinlichkeit Clusterzahl Perkolationsschwelle Größenverteilung Skalierung: Anteil Cluster Größe Anordnungen ~> Kritischer Exponent ~> lattice Animals Wichtig: ohne unendlichen Cluster Anteil des unendlichen Clusters Ordnungsparameter Skalierung: ~> Kritischer Exponent TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 5
6 Grundlagen - weitere Größen Wkt. Knoten ist Teil eines -Clusters: Wkt. Knoten eines endlichen Clusters ist Teil eines -Clusters: Mittlere Anzahl Knoten in endlichen Clustern Skalierung: ~> Kritischer Exponent TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 6
![Kritischer Exponent [1] 19.07.](/docs-images/91/107279945/images/7-4.jpg "2017 TU Darmstadt Fachbereich")
7 Grundlagen - weitere Größen Radius eines -Clusters Fraktale Dimension des Clusters Korrelationslänge Skalierung: ~> Kritischer Exponent [1] TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 7
8 Grundlagen - Skalierungshypothese Allgemeines Problem: Exakte Bestimmung von Ansatz: Skalierungshypothese a priori unbekannt nahe und Kritische Exponenten durch ausdrückbar TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 8
9 Erzeugende Funktion Hilfsmittel zur Berechnung Gegeben über Moment der Ordnung von über Differenziation TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 9
10 Perkolation in einer Dimension Clustergrößenverteilung gegeben über Lösung exakt möglich Erzeugende Funktion ~> 0. Moment: Clusterzahl ~> 1. Moment: Ordnungsparameter Vergleich: ~> TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 10
11 Perkolation auf einem Cayley-Baum Jeder Knoten hat nächste Nachbarn Keine Schleifen Selbstähnlich Betrachte Verbindungsperkolation Bestimmung der Perkolationsschwelle Wähle Startpunkt, gehe nach außen Verbindungen existieren Statistische Unabhängigkeit der Schritte kein unendlicher Cluster Weitere Berechnungen möglich TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 11
12 Renormierungsgruppe hierarchisches Gitter Hierarchisches Diamantgitter unendlich viele nächste Nachbarn selbstähnlich exakte RG-Transformation selbst wenig physikalische Bedeutung ~> ähnelt RG-Transformation des quadratischen Bravais-Gitters [4] RG-Schritt invertiert Konstruktion TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 12
13 Renormierungsgruppe hierarchisches Gitter Mögliche Zustände und statistische Gewichte mit Drei Fixpunkte Fixpunkt bei Fixpunkt bei kritischer Fixpunkt TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 13
14 Renormierungsgruppe Dreiecksgitter Betrachte Besetzungsperkolation Mehrheitsprinzip-RG-Transformation Mögliche Zustände und statistische Gewichte Perkolationsschwelle Selbstähnlich exakt [4] TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 14
15 Renormierungsgruppe Dreiecksgitter Kritischer Exponent Theoriewert: gute Übereinstimmung nicht selbstverständlich verbunden nicht verbunden nicht verbunden verbunden TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 15
16 Quellen [1] Drossel, Barbara: Komplexe dynamische Systeme, Manuskript zur Vorlesung, Darmstadt, 2016 [2] eigene Arbeit R. J. Creswick, Horacio A. Farach, Charles P. Poole: Introduction to renormalization group methods in physics, John Wiley and Sons Ltd, New York (1992) R. J. Creswick, Horacio A. Farach, Charles P. Poole: Introduction to renormalization group methods in physics, John Wiley and Sons Ltd, New York (1992) überarbeitet TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 16
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