Markov-Prozesse. Markov-Prozesse. Franziskus Diwo. Literatur: Ronald A. Howard: Dynamic Programming and Markov Processes
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- Achim Steinmann
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1 Markov-Prozesse Franziskus Diwo Literatur: Ronald A. Howard: Dynamic Programming and Markov Processes
2 Gliederung Was ist ein Markov-Prozess? 2 Zustandswahrscheinlichkeiten 3 Z-Transformation 4 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten
3 Was ist ein Markov-Prozess? Was ist ein Markov-Prozess? mathematisches Modell zur Untersuchung komplexer Systeme Kernbegriffe: Zustand eines Systems: Ein System befindet sich in einem Zustand, wenn es komplett mit Variablenwerten, die diesen Zustand definieren, beschrieben werden kann. Zustandswechsel: Ein Zustandswechsel findet dann statt, wenn sich die systembeschreibenden Variablen von Werten des einen Zustands zu Werten des anderen Zustands ändern.
4 Was ist ein Markov-Prozess? Beispiel: Frosch im Seerosenteich Frosch springt in fortlaufender Zeit von einem Blatt auf ein anderes. Die Blätter werden dabei zufällig nach aktueller Laune ausgewählt. Zustand: Nummer des derzeit belegten Blattes Zustandswechsel: Der Sprung zum nächsten Blatt Anzahl der Blätter endlich Prozess mit endlich vielen Zuständen (alle weitere Bemerkungen gehen von solch einem Prozess aus)
5 Was ist ein Markov-Prozess? Beispiel: Frosch im Seerosenteich Annahmen: zeit-diskreter Prozess: Zeit zwischen den Wechseln ist eine Konstante Es gibt N Zustände, welche mit,.., N nummeriert sind Falls das System ein einfacher Markov-Prozess ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit von Zustand i zu Zustand j zu gelangen eine Funktion, die nicht von den Zuständen vor Zustand i abhängt.
6 Was ist ein Markov-Prozess? Folgerungen Man kann also eine Reihe bedingter Wahrscheinlichkeiten, dass sich ein in Zustand i befindliches System nach dem nächsten Wechsel in Zustand j befindet, angeben. N p ij = j= 0 p ij
7 Zustandswahrscheinlichkeiten Beispiel: Spielzeugmacher Der Spielzeugmacher befindet sich immer in einem der folgenden zwei Zuständen: Zustand : Das Spielzeug ist beliebt. Zustand 2: Das Spielzeug ist unbeliebt.
8 Zustandswahrscheinlichkeiten Beispiel: Spielzeugmacher Wahrscheinlichkeiten: Wenn er im Zustand ist, hat er eine Wahrscheinlichkeit von 50%, dass er am Ende der nächsten Woche immer noch im ersten Zustand ist (ebenso 50% für Zustand 2) Wenn er in Zustand 2 ist, hat er eine Chance von 2 5 wieder in Zustand zu gelangen, mit einer Wahrscheinlichkeit von 3 5 bleibt er im zweiten Zustand Also: p = 2 p 2 = 2 p 2 = 2 5 p 22 = 3 5
9 Zustandswahrscheinlichkeiten Beispiel: Spielzeugmacher Man definiert: P = [p ij ] = [ ] Veranschaulichung:
10 Zustandswahrscheinlichkeiten Beispiel: Spielzeugmacher Mit Hilfe der Matrix kann man alle Fragen über den Prozess beantworten: Beispielsweise interessiert uns die Wahrscheinlichkeit, dass er sich im Zustand nach n Wochen befindet, wenn er zu Beginn im ersten Zustand war Zu diesem Zweck definieren wir eine Zustandswahrscheinlichkeit π i (n), welche die Wahrscheinlichkeit angibt, dass sich das System nach n Wechseln im Zustand i befindet und der Zustand bei n = 0 bekannt ist.
11 Zustandswahrscheinlichkeiten Folgerungen Es gilt: π j (n + ) = N π i (n) = i= N π i (n)p ij, n = 0,, 2,... i=
12 Zustandswahrscheinlichkeiten Folgerungen Wir definieren einen Zeilenvektor π(n), dessen Komponenten die Zustandswahrscheinlichkeiten π i (n) sind: Es folgt: π(n + ) = π(n)p, n = 0,, 2,...
13 Zustandswahrscheinlichkeiten Folgerungen Durch Rekursion erhält man: Allgemein gilt: π() = π(0)p π(2) = π()p = π(0)p 2 π(3) = π(2)p = π(0)p 3 π(n) = π(0)p n, n = 0,, 2,...
14 Zustandswahrscheinlichkeiten Beispiel: Spielzeugmacher Unter der Annahme, dass man mit einem erfolgreichen Spielzeug beginnt, folgt: sodass: π (0) = und π 2 (0) = 0 π(0) = [ 0 ] Mittels der Formel ergibt sich: π() = π(0)p = [ ] [ ] = [ 2 ] 2
15 Zustandswahrscheinlichkeiten Beispiel: Spielzeugmacher Analog ergeben sich folgende Werte nach n Wochen bei Start mit einem beliebten Spielzeug: n π (n) 0, 5 0, 45 0, 445 0, , π 2 (n) 0 0, 5 0, 55 0, 555 0, , bei Start mit unbeliebtem Spielzeug: n π (n) 0 0, 4 0, 44 0, 444 0, , π 2 (n) 0, 6 0, 56 0, 556 0, ,
16 Zustandswahrscheinlichkeiten Folgerungen Scheinbare Unabhängigkeit vom Startwert bei großem n: Viele Markov-Prozesse zeigen diese Eigenschaft. streng ergodischer Prozess Systeme, welche vom Startwert abhängen, werden später untersucht.
17 Zustandswahrscheinlichkeiten Folgerungen Für streng ergodische Prozesse definiert man: π i als die Wahrscheinlichkeit, dass das System den i-ten Zustand nach sehr vielen Wechseln belegt den Zeilenvektor π mit Einträgen π i als Grenzwert π = lim n π(n) Aus den vorherigen Überlegungen folgt: π = πp N π i = i=
18 Zustandswahrscheinlichkeiten Folgerungen Für das Spielzeugmacherbeispiel folgt also: π = 2 π π 2, π 2 = 2 π π 2 π + π 2 = Lösen des Gleichungssystems führt zu: π = 4 9 und π 2 = 5 9
19 Z-Transformation Z-Transformation Man betrachtet nun die erzeugende Funktion bzw. Z-Transformation. Zunächst betrachtet man eine nichtnegative, diskrete Zeitfunktion f (n), die für negative Zeiten Null gesetzt wird.
20 Z-Transformation Z-Transformation Steigt f (n) nicht schneller mit wachsendem n als eine geometrische Folge (Zahlenfolge mit konstantem Quotienten der benachbarten Folgenglieder), kann man eine Z-Transformation f (z) definieren, sodass: f (z) = f (n)z n n=0 Jede Zeitfunktion hat nur eine Transformation. Die Z-Transformation ist bei Markov-Prozessen hilfreich, da die Übergangswahrscheinlichkeiten geometrische Folgen sind.
21 Z-Transformation Berechnung einer Z-Transformation Beispiel: Sei die Zeitfunktion: f (n) = α n, n 0 Dann folgt für die Z-Transformation: f (z) = f (n)z n = n=0 (αz) n = n=0 αz
22 Z-Transformation Berechnung einer Z-Transformation Analoges Vorgehen für andere Zeitfunktionen ergibt: Zeitfunktion für n 0 Z-Transformation f (n) f (z) f (n) + f 2 (n) f (z) + f 2 (z) kf (n),k=const kf (z) f (n ) zf (z) f (n + ) z [f (z) f (0)] α n αz nα n n α n f (n) z αz ( αz) 2 z ( z) 2 f (αz)
23 Z-Transformation Z-Transformation bei Markov-Prozessen komponentenweise Anwendung bei Vektoren und Matrizen π(n + ) = π(n)p, n = 0,, 2,... Z-Transformation ergibt: z [Π(z) π(0)] = Π(z)P, wobei Π(z) die Z-Transformation von π(n) darstellt. Umformungen ergeben: Π(z) = π(0)(i zp)
24 Z-Transformation Z-Transformation am Beispiel des Spielzeugmachers (I zp) = [ ] [ 2 z 2 2z 5 3z z ( z)( 2 5 z ( z)( 0 z) ] 2 z ( z)( 0 z) 2 z ( z)( 0 z) 0 z)
25 Z-Transformation Z-Transformation am Beispiel des Spielzeugmachers (I zp) = z [ ] + [ 5 z ] Rückgängigmachen der Z-Transformation liefert: H(n) = [ ] + ( ) n [ 5 0 π(n) = π(0)h(n) ],
26 Z-Transformation Folgerungen H(n) = P(n) einfachere Berechnung der Potenz der Matrix P Im Spielzeugmacherbeispiel: bei Start mit beliebtem Spielzeug: π(n) = [ ] + ( 0 ) n [ 5 ] ( ) n π (n) = π 2 (n) = ( 9 0 ) n
27 Z-Transformation Eigenschaften von H(n) stationäre Komponente: stochastische Matrix S alle Zeilen sind gleich dem Grenzwert des Zustandsvektors Bei ergodischen Prozessen: eine Matrix mit gleichen Zeilen Übergangskomponente: besitzt einen Vorfaktor α n mit α Bezeichnung: T (n) (repräsentiert die abfallende geometrische Folge) alle Zeilen ergeben addiert Null bei ergodischen Prozessen verschwindet T (n) für große n und α <
28 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten Übergangsverhalten Spielzeugmacherbeispiel: 0 < p ij < bei ergodischen Prozessen: Grenzwahrscheinlichkeit kann auch Null werden einfangender Zustand: Zustand i, wobei p ii = Übergangszustand: Zustand, der nach langer Zeit mit Gewissheit nicht belegt wird
29 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten Übergangsverhalten Beispiel: P = [ 3 4 ] 4 0 Rechnung mit Z-Transformation wie oben ergibt: H(n) = [ ] ( 3 4 ) n [ ] 0 0
30 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten Übergangsverhalten Ein Übergangszustand führt nicht immer zu einem einfangenden Zustand. Das System kann in eine Kette eintreten, die in sich geschlossen ist (rekurrente Kette). Jede geschlossene Kette kann man somit als verallgemeinerten einfangenden Zustand auffassen. Jeder Markov-Prozess muss eine solche Kette besitzen. Gibt es genau eine solche Kette, ist der Prozess streng ergodisch.
31 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten mehrfach verkettetes Verhalten Möglichlichkeit, dass mehrere rekurrente Ketten auftreten Erweiterung der Möglichkeiten von S Startpunkt ist entscheidend für die Grenzwahrscheinlichkeit Zeilen sind nicht mehr gleich i-te Zeile stellt die Zustände mit Startwert i dar
32 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten mehrfach verkettetes Verhalten Diagramm zum mehrfach verketteten Verhalten
33 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten mehrfach verkettetes Verhalten Beispiel: P = 0 0 Mit der Z-Transformation erhält man: 0 0 ( ) n H(n) =
34 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten Periodisches Verhalten periodische Kette = rekurrente Kette, wobei das System nach p, 2p, 3p,... Übergängen wieder den Ausgangszustand belegt (p N) Diagramm zum periodischen Verhalten
35 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten Periodisches Verhalten Beispiel: P = [ ] 0 0 Mit der Z-Transformation erhält man: ] [ + ( ) n H(n) = [ ]
36 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten Periodisches Verhalten π (n) = 2 [ + ( )n ] und π 2 (n) = 2 [ ( )n ] Interpretation: Falls n ungerade ist, wird immer Zustand angenommen Falls n gerade ist, wird immer Zustand 2 angenommen
37 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten Periodisches Verhalten Interpretation von T (n): Verschwindet nicht, sondern oszilliert, Störung von S Interpretation von S: Wahrscheinlichkeit, dass sich das System in jedem seiner Zustände zu einem zufälligem Zeitpunkt befindet
38 Zusammenfassung Der Markov-Prozess ist ein spezieller stochastischer Prozess mit dem Ziel Wahrscheinlichkeitsaussagen über zukünftige Ereignisse zu machen Dabei ist die Z-Tranformation ein wichtiges Hilfsmittel Markov-Ketten können ein periodisches, Übergangs- oder mehrfach verkettetes Verhalten aufweisen
Pr[X t+1 = k] = Pr[X t+1 = k X t = i] Pr[X t = i], also. (q t+1 ) k = p ik (q t ) i, bzw. in Matrixschreibweise. q t+1 = q t P.
![Pr[X t+1 = k] = Pr[X t+1 = k X t = i] Pr[X t = i], also. (q t+1 ) k = p ik (q t ) i, bzw. in Matrixschreibweise. q t+1 = q t P.](/thumbs/64/51976840.jpg "Pr[X t+1 = k] = Pr[X t+1 = k X t = i] Pr[X t = i], also. (q t+1 ) k = p ik (q t ) i, bzw. in Matrixschreibweise. q t+1 = q t P.")
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