Unterprogramme: Formalargumente und Übergabeargumente
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- Horst Gärtner
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1 Unterprogramme: Formalargumente und Übergabeargumente SUBROUTINE name(var1,var2,var3) Deklarationen ausführbare Anweisungen name= END SUBROUTINE name Formalargumente Der Aufruf des Unterprogramms: CALL name(a,b,c) Übergabeargumente Wichtig: Formalargumente und Übergabeargumente müssen in der Anzahl, Art(Datentyp) und Reihenfolge übereinstimmen!
2 Interne Unterprogramme Da der Bisektionsalgorithmus etwas ist was wir immer wieder verwenden möchten, bietet es sich an ein Unterprogramm dafür zu implementieren. Wir zeigen zunächst wie man interne Unterprogramme implementieren kann: Aufruf des Unterprogramms bisection Implementierung des Unterprogramms bisection
3 Interne Unterprogramme Dieses Unterprogramm ist als intern implementiert. Das Unterprogramm ist nur in dem Programm finitewell sichtbar. Damit ist die Wiederverwendbarkeit eingeschränkt. Aufruf des Unterprogramms bisection Implementierung des Unterprogramms bisection
4 Externe Unterprogramme Alternativ können wir das Unterprogramm bisection und die Funktion als func extern, in separaten Datein, implementieren: Das Programm besteht nun aus einem Hauptprogramm (main.f90), einer externen Funktion(func.f90) und einem externen Unterprogramm( bisection.f90): main.f90 func.f90 WICHTIG: Die Funktion func muss überall wo sie aufgerufen wird als EXTERNAL deklariert werden bisection.f90
5 Module Unterprogramme und Funktionen können in Module zusammengefasst werden. Syntax der Definition eines Moduls: MODULE name Deklarationen Funktionen Unterprogramme END MODULE name Ein Modul kann in einem Programm durch: USE MODULE name verwendet werden. Dies muss die erste Anweisung nach PROGRAM oder SUBROUTINE sein!
6 Module In unserem Beispiel bietet es sich an, den Bisektionsalgorithmus innerhalb eines Moduls zur Bestimmung der Nullstellen zu implementieren. Diesem Modul können später weitere Algorithmen hinzugefügt werden! rootsolver.f90 Damit der Algorithmus für jede beliebige Funktion verwendet werden kann übergeben wir den Funktionsnamen als Parameter an das Unterprogramm bisection.
7 Module In unserem Beispiel bietet es sich an, den Bisektionsalgorithmus innerhalb eines Moduls zur Bestimmung der Nullstellen zu implementieren. Diesem Modul können später weitere Algorithmen hinzugefügt werden! rootsolver.f90 main.f90
8 Konvergenz des Bisektionsalgorithmus Wir untersuchen nun, wieviele Iterationen unser Algorithmus braucht um eine gegebene Genauigkeit zu erreichen:
9 Konvergenz des Bisektionsalgorithmus Wenn die Nullstelle bei der n-ten Iteration in einem Intervall der Breite ε n war, wird sie bei der (n+1)-ten Iteration in einem halb so breiten Intervall sein: lineare Konvergenz! main.f90 Die für eine gewünschte Toleranz nötige Anzahl der Iterationen ist:
10 Newton-Raphson Algorithmus Der Newton-Raphson Algorithmus beruht auf der lokalen Näherung der Funktion durch eine Tangente. xi+1 xi
11 Newton-Raphson Algorithmus Algorithmus: 1.Rate einen Startpunkt xi 2.Berechne f(x) und f (x). 3.Approximiere die Funktion lokal durch die Tangente und bestimme die Nullstelle der Tangente: 5.Wenn die Schrittweite abs(xi+1 xi) oder der Funktionswert f(xi+1) kleiner ist als eine Toleranzgrenze, stop. 6.Sonst i i+1 7.Gehe zu (2).
12 Newton-Raphson Algorithmus Wir betrachten das Konvergenzverhalten des Newton-Raphson Verfahrens am Beispiel der Gleichung: Dabei ist z eine komplexe Zahl. Die Lösungen dieser Gleichung sind: Wir lösen die obere Gleichung durch Newton-Raphson-Iterationen: Wir untersuchen systematisch zu welcher Lösung das Newton-Raphson Verfahren konvergiert, in Abhängigkeit vom Anfangspunkt für die Iterationen.
13 Komplexe Zahlen und Funktionen in FORTRAN Deklaration des komplexen Datentyps: COMPLEX(KIND=8) :: z Wir definieren f(z) und f (z) innerhalb des Moduls functions ::
14 Komplexe Zahlen und Funktionen in FORTRAN Da wir nun mit komplexen Funktionen arbeiten, müssen wir innerhalb des Moduls rootsolver auch eine komplexe Version des Newton-Raphson Algorithmus implementieren:
15 Newton-Raphson Algorithmus und Fraktale Das Konvergenzverhalten des Newton-Raphson-Verfahrens wird in einem quadratischen Bereich in der komplexen Ebene untersucht: y=re(z) ymax xmin xmax x=re(z) ymin
16 Newton-Raphson Algorithmus und Fraktale Das Hauptprogramm: Anzahl der Punkte in x- und y-richtung y=re(z) ymax komplexe Lösungen der Gleichung: xmin xmax x=re(z) ymin
![Newton-Raphson Algorithmus und Fraktale Wir verwenden jeden Punkt aus dem Bereich [xmin, xmax]x[ymin, ymax] als Anfangspunkt für NR-Iterationen und ermitteln zu welcher der drei Lösungen (r1,r2,r3)](/docs-images/80/82101872/images/17-2.jpg "der Algorithmus konvergiert. Der Wert wird in einem 2D-Feld values gespeichert (z.b. 0.0 für r1, 1.0 für r2 und -1.0 für r3). ymax y=re(z) Eine komplexe Zahl a mit dem Real-Teil x und Imaginär-Teil y.")
17 Newton-Raphson Algorithmus und Fraktale Wir verwenden jeden Punkt aus dem Bereich [xmin, xmax]x[ymin, ymax] als Anfangspunkt für NR-Iterationen und ermitteln zu welcher der drei Lösungen (r1,r2,r3) der Algorithmus konvergiert. Der Wert wird in einem 2D-Feld values gespeichert (z.b. 0.0 für r1, 1.0 für r2 und -1.0 für r3). ymax y=re(z) Eine komplexe Zahl a mit dem Real-Teil x und Imaginär-Teil y. xmin xmax x=re(z) ymin
18 Newton-Raphson Algorithmus und Fraktale Das Feld values wird in eine Datei values.dat geschrieben und graphisch dargestellt.
19 Graphische Darstellung von Daten in FORTRAN Alternativ können wir die Daten direkt aus dem FORTRAN-Programm graphisch darstellen. Wir verwenden dafür die Programmbibliothek DISLIN, die von der folgenden Seite heruntergeladen werden kann:
20 Graphische Darstellung von Daten in FORTRAN Um die Ergebnisse direkt aus dem FORTRAN-Programm graphisch darzustellen, schreiben wir ein Unterprogramm plotfractal. Dieses Unterprogramm verwendet die Funktionen aus der Dislin-Bibliothek und stellt das Feld values graphisch dar. Art der Ausgabe (z. B. XWIN, PNG, PDF, EPS, usw...) sorgt für den weißen Hintergrund Initialisierung Position und Länge der Achsen Ende von Dislin graphische Darstellung der Daten
21 Newton-Fraktal DISLIN Ausgabe:
22 Newton-Fraktal Das Ergebnis ist ein Fraktal (Newton-Fraktal)! y x
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