1 Eine nichtlineare Gleichung mit einer Unbekannten

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1 r_aufgws.mcd Seite von 7 Hochschule München Fakultät 4 Redaktion: Kahl / Paster / Rauh / Erven Stand WS 2/ Praktikum Numerische Mathematik Versuch : "Nichtlineare Gleichungen" Bearbeiter: Dennis Kunz Datum: Eine nichtlineare Gleichung mit einer Unbekannten. Fipunkt-Iteration (allgemein) Von Ihrem Dozenten erhalten Sie den Term einer nichtlinearen Funktion f = f(), eine Fehlerschranke eps für die Bestimmung einer Nullstelle ξ von f und einen Definitionsbereich D ohne weitere Nullstellen. f asin + 2 π nach Angabe Ihres Dozenten () 4 Definitionsbereich [a, b]: a.2 b.8 eps 8 Entnehmen Sie dem folgenden Quickplot von f() über D einen Näherunwert für ξ. f.5 Die Nullstelle liegt in der Nähe von Die Gleichung f() = lässt sich auf verschiedene Weise äquivalent umformen zu = φ(). Überlegung auf etra Blatt: Geben Sie einige solche Umformungen an. Verwenden Sie nun die v om Dozenten gegebene Iterationsfunktion φ: ϕ sin 2 π + nach Angabe Ihres Dozenten (2) 4 Die folgende Darstellung dieser Funktion zusammen mit der Geraden y = gibt Ihnen einen anschaulichen Überblick über das zu erwartende Konvergenzverhalten einer Fipunkt-Iteration. ϕ Warum ist nebenstehende Darstellung (mit der Geraden y = ) sinnvoll?. qualitativer Vergleich der Steigung f'() < 2. Abschätzen der Nullstelle Warum kann die Nullstelle durch Fipunktiteration mit φ ausgehend vom Startwert berechnet werden?

2 r_aufgws.mcd Seite 2 von 7 In dieser Graphik wird die Ableitung ψ von φ auf D [ -., +.] dargestellt. Warum ist diese Einschränkung des Definitionsbereichs sinnvoll? Weil dieses Intervall die Bedinung erfüllt.6 d d ϕ Entnehmen Sie daraus eine obere Schranke m von ψ auf D: m.78 Erster Iterationsschritt zur Gewinnung eines verbesserten Wertes : ϕ Mit den Größen m, und können Sie eine "a-priori-abschätzung" für die maimale Abweichung des Näherunwertes vom tatsächlichen Wert der Nullstelle nach einer Anzahl von k Schritten machen. In Ihrer Vorbereitung haben Sie die entsprechende Formel nach k aufgelöst. Berechnen Sie nun mit Mathcad die maimal notwendige Zahl kma von Schritten, um einen Fehler < eps zu erreichen. eps kma ceil ln ( m) kma = 6 ganzzahlig! ln( m) Zur Duchführung der Fipunkt-Iterationen mit Iterationsfunktion fkt und Startwert start bis zum Erreichen der vorgeschriebenen Toleranz eps dient folgende Prozedur: fiiter( fkt, m, start, eps, kma) dma it d ( m) eps 2 dma z 2 start m while ( d > dma) ( it < kma) it it + z it+ 2 fkt z it+ d z it+ 2 z it+ z z it+ 2 z it return z Ausgabevektor z: z = Näherung k z = Iterationsanzahl k z2, z3... = Iterierte,... k erg fiiter( ϕ, m,, eps, kma) erg =.44 k erg k = 39 kma = 6 Vergleichen Sie die Zahl der tatsächlich gemachten Schritte mit Ihrer a-priori-absc hätzung. Da die a-posteriori-abschätzung schärfer ist ist k < kma, also deutlich weniger Berechnung der Differenzen: i.. k d i erg i+ 3 erg i+ 2 In Ihrer Vorbereitung haben Sie sich klar gemacht, nach welcher Gesetzmäßigkeit die Differenzen abnehmen.wir wählen für die Folge der Differenzen eine halblogarithmische Darstellung (warum?): Die Geometrische Folge bilde annährend eine Gerade

3 r_aufgws.mcd Seite 3 von 7 d i i Als Konvergenzfaktor kf der Iteration berechnen wir den Quotienten der beiden letzten Differenzen. Sein Zahlenwert ist auch eine gute Näherung für ψ in der Nähe der Lösung. d k d kf kf =.674 ψ d k 2 d ϕ ψ erg =.674 Mit diesem Wert können wir jetzt eine a-posterori-abschätzung zum Fehler err unseres letzten iterierten Wertes k machen. Die Formel dazu haben Sie vorbereitet. m err ( erg k+ 2 erg k+ ) err = m.2 Newton-Iteration Wird unsere Toleranz eps eingehalten? Ja, err << ^-8, also sehr gut! Eine besonders effiziente Variante der Fipunkt-Iteration ist das Newton-Verfahren. Es benötigt allerdin die A bleitung der Funktion f(). Wie lautet die Formel für die Ableitung in unserem Beispiel (Handrechnung!)? df 2 2 f Die Iterationsfunktion lautet: phin df Machen Sie nun eine Untersuchung der Newton-Iteration wie oben bei der Fipunkt-Iteration, indem Sie phin() zusammen mit der Geraden y = und phin'() jeweils in einem Diagramm über D betrachten phin d d phin Führen Sie mit der Prozedur fiiter und der Iterationsfunktion phin die Newton-Iteration durch. erg rücksetzen, da Vektor kürzer wird; altes kma sollte genügen; neues m eventuell nützlich! erg fiiter( phin,.336,, eps, kma) erg = k erg k = 3 Die Differenzen der Näherunwerte sind: d rücksetzen i.. k d i erg i+ 3 erg i+ 2

4 r_aufgws.mcd Seite 4 von 7 Darstellung halblogarithmisch: d i i Wie heißt diese Art der Konvergenz? quadratische Konvergenz kein konstanter Quotient 2 Nichtlineares Gleichunstem mit zwei Unbekannten Wir betrachten folgende zwei Funktionen auf dem Definitionsbereich D: f (, y) y 2 y + 9 g(, y) 2 y 2 + 2y + 8 nach Angabe Ihres Dozenten (3) zu untersuchen im Bereich D: Gesucht sind die Lösungen des Gleichunstems f(,y)= & g(,y)=. Inwiefern kann die unten stehende Höhenlinien-Darstellung von f und g auf D bei einer groben Nullstellenbestimmung hilfreich sein? Durch Schnittpunkt der beiden Höhenlininen vom Wert kann man das GS lösen. f g Schätzen Sie grob die beiden Nullstellen (s,) und (2s,y2s) des Stems : s.9. 2s y2s Die Funktionswerte an diesen Punkten sind: gs f ( s, ) g( s, ) gs.22 =.29 f2s g2s f ( 2s, y2s) g( 2s, y2s) f2s g2s.45 =.792

5 r_aufgws.mcd Seite 5 von 7 Bei dem Newton-Raphson-Verfahren tritt an die Stelle der skalaren Funktion f() die Jacobi-Matri der vektorwertigen Funktion (f, g). Berechnen Sie diese Matri als Funktion von und y per Hand und schreiben Sie die Terme in folgende Funktion: Jacobi(, y) 2 y 2 3y Wir beginnen die Iteration im Startpunkt s 2s nach Angabe Ihres Dozenten (4) y2s Die Zahlenwerte der Jacobi-Matri, ihrer Determinante und ihrer Inversen im Startpunkt sind Jf Jacobi( s, ) Jf = Jf = Jinv Jf Jinv = Die Funktionswerte im Startpunkt sind f ( s, ) g( s, ).45 = Jetzt kommt der Newton-Raphson-Schritt zur Gewinnung eines (hoffentlich!) verbesserten Lösunvektors: v s Jinv Die verbesserten Funktionswerte sind: f ( v, ) g( v, ) v = =.2 Um welchen Faktor (bezogen auf die Maimums-Norm des Vektors der Funktionswerte) konnte die A bweichung von der e akten Lösung verbess ert werden? wegen Maimums norm der g-wert weil größer Faktor Faktor = 38.6 Wir machen jetzt einen zweiten Newton-Raphson-Schritt. Beachten Sie, dass dazu die Jacobi-Matri neu berechnet werden muss. Der eben berechnete verbesserte Lösunvektor dient als Startvektor: s v Jf Jacobi( s, ) Jf = Jf = 65.5 Jinv Jf Jinv = v s Jinv f ( v, ) g( v, ) v = =.5 5 Um welchen Faktor (wieder bezogen auf die Ma-Norm des Vek tors der Funktionswerte) konnte im zweiten Schritt die Abweichung v on der eakten Lösung verbessert werden? Faktor Faktor = 2 3 Vergleichen Sie diesen Wert mit dem Verbesserunfaktor aus dem ersten Schritt. Welches Konvergenzverhalten liegt hier wohl vor? deutlich überlineare Konvergenz bezogen auf die Funktionswerte

6 r_aufgws.mcd Seite 6 von 7 3 Iterative Lösung linearer Gleichunsteme Sie kennen aus der Vorlesung iterative Verfahren zur Lösung linearer Gleichunsteme (A*=b). Zu Demonstrationszwecken berechnen wir die Lösung des linearen Gleichunstems für den zweiten Newton-Schritt mit dem Gauß-Seidel-Verfahren. Zu lösen ist das lineare Gleichuntem v s + joule = Zur Ausführung eines Gauß-Seidel-Iterationsschritts verwenden wir die vorgegebene Prozedur seidel. Durch einen A ufruf _neu seidel(a,b,) erhält man aus einer Näherunlösung eine - evtl. verbesserte - Näherunlösung _neu. seidel( amp, b, ) n length( b) for i.. n n i b i k = return amp i, k k + amp i, i i amp i, i Mit Hilfe der Bereichsvariablen von Mathcad kann man eine Folge von iterierten Vektoren als S palten einer Matri X speichern. Die erste Spalte X <> besetzen wir mit dem Nullvektor als Startwert. X amp Jf b n it.. n X it+ seidel amp, b, X it X = Nach n Gauß-Seidel-Iterationsschritten erhalten wir für die verbesserte Lösung des Newton-Verfahrens ähnliche Werte wie bei der Lösung des Gleichunstems mit der inversen Jacobi-Matri. v s + X, n X, n v = f ( v, ) g( v, ) =.5 5 Zur Beurteilung der Konvergenz der Gauß-Seidel-Iteration stellen wir die Beträge der Differenzen aufeinanderfolgender Näherunvektoren diff it = X <it+> - X <it> in einer einfach-logarithmischen Darstellung graphisch dar. diff it X it+ X it diff it it Beschreiben Sie das Konvergenzverhalten. lineare Konvergenz wie bei der Fipunktiteration

7 r_aufgws.mcd Seite 7 von 7 Wir vertauschen die Reihenfolge der Gleichungen und wiederholen die Gauß-Seidel-Iteration. Die Vertausc hung erfolgt durch Multiplik ation der Koeffizientenmatri A und der rechten Seite b mit der Permutationsmatri P. Geben Sie die Permutationsmatri P an poise amp poise bamp poise b amp = b = X X it+ seidel amp, b, X it X = diff it X it+ X it diff it 3 Beschreiben Sie das Konvergenzverhalten. keine Konvergenz it Erläutern Sie das beobachtete Verhalten. ursrüngliches Gleichunstem: Zeilenkriterium erfüllt -> Konvergenz neues Gleichunstem: Zeilensummen- und Spaltensummerkriterium nicht erfüllt Wir können Konvergenz durch durch die Symmetrisierung der Koeffizientematri über die Multiplikation der Gleichung mit der transponierten Matri erhalten. Berechnen Sie die neue Koeffizientenmatri As und die neue rechte Seite bs. As amp T amp bs amp T b As = X X it+ seidel As, bs, X it X = diff it X it+ X it diff it it Beschreiben Sie das Konvergenzverhalten. wueder Konvergenz aber mit kleinerem Konvergenzfaktor