Stabilität von Warteschlangen-Netzwerken: Fluid Approximationen und Lyapunov Funktionen

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1 Stabilität von Warteschlangen-Netzwerken: Fluid Approximationen und Lyapunov Funktionen Michael Schönlein, Fabian Wirth Im Rahmen des Forschungsprojekts: Stabilität, Robustheit und Approximation großskaliger dynamischer Netzwerke - Theorie und Anwendungen in logistischen Netzwerken. 6. Elgersburger Arbeitstagung, 1. März / 19

2 Überblick Was ist ein Warteschlangen-Netzwerk? Übergang von Warteschlangen-Netzwerken zu Fluid-Grenzmodellen Abstrakte Fluid-Modelle und Lyapunov Funktionen Hauptaussage: Fluid-Modell stabil Lyapunov Funktion Beispiel: Fluid-Netzwerk mit Prioritätendisziplin 2 / 19

3 Was ist eine Warteschlange? Ankünfte Station Abgänge E 1(t) E (t) 2 Bedienzeiten S (n) 1 S (n) 2 E (t) K S (n) K Aufträge werden klassifiziert in Klassen {1,..., K }. E k (t) der äußeren Ankünfte der Klasse k bis zur Zeit t. S k (n) Gesamtbedienzeit, die für die ersten n Aufträge der Klasse k benötigt wird. Warteschlangendisziplin regelt, wie die Aufträge warten, z.b. FIFO, Priorität,... Annahme Die Disziplin sei arbeitserhaltend, d.h. eine Station ist genau dann untätig, wenn kein Auftrag in der Schlange steht. 3 / 19

4 Was ist ein Warteschlangen-Netzwerk? 1 Φ l k σ(l) σ(k) J Abbildung σ : {1,..., K } {1,..., J}: Aufträge der Klasse k werden ausschließlich an Station j = σ(k) bearbeitet. Belegungsmatrix C mit { 1 falls j = σ(k) c jk = 0 sonst. Φ l k (n) unter den ersten n bearbeiteten Aufträgen der Klasse l, die anschließend Auträge der Klasse k werden. 4 / 19

5 Länge der Warteschlange in einem Netzwerk Zählprozesse E, S, Φ (zu den endlichen Mittelwerten α, µ, P) T k (t): Gesamtzeit, die Station σ(k) Aufträge der Klasse k bedient hat, mit T k (0) = 0. 1 Φ l k σ(k) σ(l) J Dynamik K Q k (t) = Q k (0) + E k (t) + Φ l k(s l (T l (t))) S k (T k (t)) 0 l=1 T k (t) monoton wachsend mit T k (0) = 0 weitere disziplinabhängige Bedingungen an (Q, T ). 5 / 19

6 Stabilität und Übergang zu Fluid-Netzwerk Heuristische Definition: Ein Warteschlangen-Netzwerk ist stabil, wenn die Länge der Warteschlange für alle Zeiten beschränkt bleibt. Approximation: Reskalierung der Prozesse E(t), S(t) und Φ(t). Für festes t R + betrachte für r. E k (r t) r S k (r t) r Φ k (r t) r 6 / 19

7 Grenzübergang für r Lemma (Dai 95) Für r gilt für alle Klassen k = 1,..., K fast sicher 1 r E k( r t ) α k t 1 r S k( r t ) µ k t 1 r Φ k( r t ) P k t. Routing Matrix P = (P lk ) enthält die Wahrscheinlichkeit, dass ein Klasse l Auftrag, nach der Bearbeitung ein Auftrag der Klasse k wird. P habe Spektralradius kleiner 1, d.h. (I + P + P ) T = (I P T ) 1. 7 / 19

8 Theorem (Dai 95) Fluid-Grenzmodelle Gegeben eine arbeitserhaltende Disziplin, so gilt 1 lim r r (Q k(rt), T k (rt) ) = (Q k (t), T k (t)) lokal gleichmäßig für alle k = 1,..., K. Zudem erfüllen (Q, T ): K Q k (t) = Q k (0) + α k t + P lk µ l T l (t) µ k T k (t) 0 l=1 T k ( ) ist monoton wachsend mit T k (0) = 0 weitere disziplinabhängige Bedingungen an (Q, T ). ( ) Ein Fluid-Grenzmodell ist die Menge Φ L = {Q : T so dass (Q, T ) die Bedingungen ( ) erfüllen} 8 / 19

9 Stabilität von Fluid-Grenzmodellen Definition (Dai 95, Chen 95) Φ L heißt stabil, wenn eine endliche Zeit τ > 0 existiert, so dass Q(τ + ) 0 für alle Fluid-Grenzwerte mit Anfangsniveau Q(0) = 1. Theorem (Dai 95) Gegeben eine arbeitserhaltende Disziplin. Ist das Fluid-Grenzmodell zu dieser Disziplin stabil, so ist das Warteschlangen-Netzwerk stabil. 9 / 19

10 Bemerkungen Stabilität des Fluid-Grenzmodells ist hinreichend für die Stabilität eines Warteschlangen-Netzwerkes. Stabilität von Fluid-Netzwerken ist disziplinabhängig. Fluid-Netzwerke teilen diverse Eigenschaften. Ye und Chen definieren abstrakt Fluid-Netzwerke als eine Menge von Funktionen mit genau diesen Eigenschaften. 10 / 19

11 Abstrakte Fluid Modelle Definition (Ye, Chen 2001) Eine Menge Φ von Funktionen Q( ) : R + R K + heißt ein abgeschlossenes generisches Fluid Netzwerk (AGFN) Modell, wenn (a) Lipschitz Stetigkeit: L > 0, so dass alle Q Φ global Lipschitz stetig mit Konstante L sind. (b) Skalierungsinvarianz: Für alle r > 0 und Q( ) Φ gilt Q(r ) Φ. 1 r (c) Verschiebungsinvarianz: Für alle s 0 und Q( ) Φ gilt Q(s + ) Φ. (d) Abgeschlossenheit: Konvergiert (Q n ) n Φ lokal gleichmäßig gegen Q, so gilt Q Φ. Bezeichnung: Die Elemente des AGFN Modells heißen Wege. 11 / 19

12 Lyapunov Methode für AGFN Modelle L - Bedingung Φ erfüllt die L-Bedingung, falls für jeden Weg Q Φ eine propere absolutstetige nichtnegative Funktion v(t) und ein w K existiert, so dass für fast alle t 0. Theorem (Ye, Chen 2001) v(t) w( Q(t) ) Ein AGFN Modell Φ ist genau dann stabil, wenn es L-Bedingung erfüllt. Insbesondere ist v von der Form v(t) = t Q(s) ds. Die Funktion v hängt von der Zeit ab. Jeder Weg hat seine eigene Lyapunov Funktion. 12 / 19

13 Kandidat Konstruktion einer Lyapunov Funktion V (x) = sup Q Φ,Q(0) = x 0 Q(s) ds Im Allgemeinen ist V nicht stetig. Lemma (S.,Wirth) Ist Φ stabil, so ist V halbstetig nach oben. Im Allgemeinen gilt für stabile AGFN Modelle nicht, dass für alle s t R +. t V (Q(t)) V (Q(s)) Q(u) du s Fazit: Für AGFN Modelle gibt es keine vernünftige Lyapunov Theorie. 13 / 19

14 Modifikation des AGFN Modells Definition Die Menge Φ s von Funktionen Q( ) : R + R K + heißt striktes AGFN Modell, falls (a) Lipschitz Stetigkeit gilt (b) Skalierungsinvarianz gilt (c) Verschiebungsinvarianz gilt (d) sie abgeschlossen ist (e) für alle Q Φ s gilt, dass wenn q n Q (0), so existiert eine Folge Q n (, q n ) Φ s die lokal gleichmäßig gegen Q ( ) konvergiert (Perfektheit). (f) für zwei Wege Q 1 ( ), Q 2 ( ) Φ s, mit Q 1 (t ) = Q 2 (t ) für ein t R +, die Verkettung zur Zeit t wieder ein Weg von Φ s ist. 14 / 19

15 Lyapunov Funktionen für strikte AGFN Modelle Definition Gegeben ein striktes AGFN Modell Φ s, so heißt eine propere stetige Funktion V : R K + R + Lyapunov Funktion, wenn eine Funktion w K existiert, so dass t V (Q(t)) V (Q(s)) w( Q(u) ) du s für alle 0 s t R + und alle Wege Q( ) Φ s. Kandidat V (x) = sup Q Φ s x wobei Φ s x = {Q Φ s : Q(0) = x}. 0 Q(s) ds, 15 / 19

16 Konverses Lyapunov Theorem Theorem (S.,Wirth) Ein striktes AGFN Modell Φ s ist genau dann stabil, wenn eine stetige Lyapunov Funktion existiert. Insbesondere kann V wie folgt gewählt werden V (x) = sup Q Φ s x 0 Q(s) ds. Die Verkettungseigenschaft (f) garantiert, dass V als Funktion des Zustands definiert werden kann. Die Perfektheit (e) liefert die Stetigkeit von V. 16 / 19

17 Fluid-Netzwerk mit Prioritäten Disziplin Dynamik Q(t) = Q(0) + α t (I P T )MT (t) 0, T (0) = 0 und T (t) ist monoton wachsend, Y k (t) = t l H k T l (t) ist monoton wachsend, k {1,..., K } 0 = Q k (t) dy k (t), t 0, k {1,..., K }. M = diag(µ). H k : Menge aller Klassen höherer Priorität, die an Station σ(k) bearbeitet werden. Y k (t): Verbleibende Bedienzeit der Station σ(k) für die Bearbeitung der Fluide mit strikt niedriger Priorität. 17 / 19

18 Beispiel: 3 Klassen, 2 Stationen An Station 2 haben Klasse 3 Fluide höhere Priorität als Klasse 2. Fluid-Netzwerk Warteschlangen-Netzwerk Zeit t Zeit t 18 / 19

19 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit 19 / 19