Relative Kontrollierbarkeit und Invarianz-Entropie
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- Heini Keller
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1 Relative Kontrollierbarkeit und Invarianz-Entropie Ralph Lettau in Zusammenarbeit mit Fritz Colonius und Christoph Kawan Institut für Mathematik Universität Augsburg 9. Elgersburg Workshop 5. März 2014 Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 1 / 23
2 1 Relative Kontrolllierbarkeit und W -Kontrollmengen W -Kontrollmengen Relativ invariante W -Kontrollmengen W -Kontrollmengen und Kontrollmengen: Ein Beispiel 2 Parameterabhängigkeit 3 Invarianz-Entropie Definition Invarianz-Entropie und W -Kontrollmengen 4 Zusammenfassung und Ausblicke Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 2 / 23
3 Relative Kontrolllierbarkeit und W -Kontrollmengen Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 3 / 23
4 Sei M eine C Riemann-Mannigfaltigkeit und X ein C 1 -Vektorfeld X : M R m TM. Wir definieren folgendes Kontrollsystem auf M mit ẋ(t) = X (x(t), u(t)) u U = {u R R m, u(t) U für alle t R, lokal integrabel}. U sei eine nicht-leere, beschränkte Teilmenge von R m. Für x M und u U sei φ(t, x, u) die eindeutige lokale Lösung des Systems mit den Anfangsbedingungen φ(0, x, u) = x. Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 4 / 23
5 Problemstellung Wir betrachten die Dynamik eingeschränkt auf W, bezeichnet mit φ W (t, x, u). Für x W ist das W -Erreichbarkeitsmenge von x bis zur Zeit T O W,+ T (x) := {y W 0 t T and u U : y = φ w (t, x, u)}. Die W -Erreichbarkeitsmenge von x ist O W,+ (x) := T 0 O W,+ T (x). Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 5 / 23
6 Vorraussetzungen W M sei eine offene, zusammenhängende Menge und relativ kompakt Das System sei auf W akzessibel, also into W,± (x) T für T > 0 Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 6 / 23
7 W -Kontrollmengen Kontrollmengen wurden von Kliemann [Kliemann, 1980] eingeführt. Näheres zu Kontrollmengen findet sich bei [Colonius, Kliemann, 2000]. Definition (Kontrollmenge) Eine Menge D M ist eine Kontrollmenge, wenn D nicht-leeres Inneres hat D clo + (x) für alle x D D maximal bezüglich der obigen Eigenschaften ist. Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 7 / 23
8 W -Kontrollmengen Kontrollmengen wurden von Kliemann [Kliemann, 1980] eingeführt. Näheres zu Kontrollmengen findet sich bei [Colonius, Kliemann, 2000]. Definition (W -Kontrollmenge) Eine Menge D W ist eine W -Kontrollmenge, wenn D nicht-leeres Inneres hat. D cl W O W,+ (x) für alle x D D maximal bezüglich der obigen Eigenschaften Eine W -Kontrollmenge ist somit eine Menge maximaler approximativer W -Kontrollierbarkeit. Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 7 / 23
9 Eigenschaften von W -Kontrollmengen Proposition Sei D eine W -Kontrollmenge und x D, Ist φ W (T, x, u) D für u U and T > 0, dann φ W (t, x, u) D für t [0, T ] Es gibt eine Kontrolle u mit φ W (t, x, u) D für alle t > 0. Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 8 / 23
10 Eigenschaften von W -Kontrollmengen Proposition Sei D eine W -Kontrollmenge und x D, Ist φ W (T, x, u) D für u U and T > 0, dann φ W (t, x, u) D für t [0, T ] Es gibt eine Kontrolle u mit φ W (t, x, u) D für alle t > 0. intd O W,+ (x) Wenn x intd, dann D = cl W O W,+ (x) O W, (x). Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 8 / 23
11 Eigenschaften von W -Kontrollmengen Proposition Sei D eine W -Kontrollmenge und x D, Ist φ W (T, x, u) D für u U and T > 0, dann φ W (t, x, u) D für t [0, T ] Es gibt eine Kontrolle u mit φ W (t, x, u) D für alle t > 0. intd O W,+ (x) Wenn x intd, dann D = cl W O W,+ (x) O W, (x). Es gibt höchstens abzählbar viele W -Kontrollmengen. Für jede W -Kontrollmenge D ist D = D oder D D =. D ist zusammenhängend und cl W (intd) = cl W D Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 8 / 23
12 Relativ invariante W -Kontrollmengen Definition Eine W -Kontrollmenge C heißt relativ invariante W -Kontrollmenge, wenn cl W C = cl W O W,+ (x) für alle x C. Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 9 / 23
13 Eigenschaften Proposition Sei C eine relativ invariante W -Kontrollmenge und x C. Dann cl W (intc) = C. C ist relativ invariant in positiver Zeit, d.h. O W,+ (x) C. intc = O W,+ (x), wenn x intc. Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 10 / 23
14 Eigenschaften Proposition Sei C eine relativ invariante W -Kontrollmenge und x C. Dann cl W (intc) = C. C ist relativ invariant in positiver Zeit, d.h. O W,+ (x) C. intc = O W,+ (x), wenn x intc. Proposition Eine W -Kontrollmenge D ist genau dann eine relativ invariante W -Kontrollmenge, wenn D abgeschlossen in W ist. Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 10 / 23
15 Theorem (Theorem 1) Äquivalent sind: 1 Es gibt eine kompakte Menge Q W mit cl W O W,+ (x) Q für alle x W. 2 Für jedes x W gibt es eine relativ invariante W -Kontrollmenge C mit C cl W O W,+ (x). Gilt (i), so gibt es höchstens endlich viele relativ invariante W -Kontrollmengen C 1,..., C n. Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 11 / 23
![Beispiel M = R 2 \ {0} W := {(r, φ) φ π 2 } ṙ = r(1 r) + u 1 φ ( ) = sin 2 φ 2 + u 2 u 1 (t) [ 1 4, 3 ] 4 u 2 (t) ( sin](/docs-images/67/58026877/images/16-0.jpg "2 ( ) π 8, sin 2 ( )) π 8 Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9.")
16 Beispiel M = R 2 \ {0} W := {(r, φ) φ π 2 } ṙ = r(1 r) + u 1 φ ( ) = sin 2 φ 2 + u 2 u 1 (t) [ 1 4, 3 ] 4 u 2 (t) ( sin 2 ( ) π 8, sin 2 ( )) π 8 Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 12 / 23
17 Beispiel ṙ = r(1 r) + u 1 ( ) φ φ = sin 2 + u 2 2 Auf W existiert eine nicht relativ invariante W -Kontrollmenge { C W := (r, φ) φ < π 2, 1 2 r 3 } 2 Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 12 / 23
18 Beispiel ṙ = r(1 r) + u 1 ( ) φ φ = sin 2 + u 2 2 Auf W existiert eine nicht relativ invariante W -Kontrollmenge { C W := (r, φ) φ < π 2, 1 2 r 3 } 2 Aber auf M ist eine invariante Kontrollmenge gegeben durch C := { (r, φ) 1 2 r 3 } 2 Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 12 / 23
19 Parameterabhängigkeit Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 13 / 23
20 Problemstellung Für α A R n betrachte ẋ(t) = X (α, x(t), u(t)) mit X : A M R m TM ein C -Vektorfeld. Die Zustandsbeschränkung W soll nicht von α abhängen. Die Lie-Rangbedingung auf W soll gelten für α 0 inta. Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 14 / 23
21 Theorem Sei D α 0 eine W -Kontrollmenge. Es gibt ein δ > 0, so dass es eine Famile von W -Kontrollmengen D α für α α 0 < δ gibt mit Für alle kompakten Mengen K intd α 0 existiert ein δ K (0, δ) mit K intd α für α α 0 < δ K. Die so gegebene Abbildung α cl W D α ist in α 0 unterhalb stetig bezüglich der Hausdorff-Metrik. Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 15 / 23
22 Betrachten wir nun invariante Kontrollmengen auf M. Theorem Sei C α 0 eine kompakte, invariante Kontrollmenge auf M und die Lie-Rangbedingung gelte auf M. Dann gibt es ein ε 0 > 0 und eine Umgebung N von C α 0, so dass für alle α mit α α 0 < ε 0 eine Familie von Welten W α existiert, für die gilt: N W α Es gibt relative invariante W α -Kontrollmengen C α, die unterhalb stetig von α abhängen, so dass für alle kompakten K intc α 0 ein ε K > 0 mit K intc α existiert für α α 0 < ε K Bemerkung Für α α 0 ist es i.a. nicht so, dass C α gegen die ursprüngliche invariante Kontrollmenge C α 0 konvergiert. Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 16 / 23
23 Invarianz-Entropie Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 17 / 23
24 Definition Seien K intq := W Q M, K kompakt. Für alle x K gibt es eine Kontrolle u mit φ(t, x, u) W für t 0. Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 18 / 23
25 Definition Seien K intq := W Q M, K kompakt. Für alle x K gibt es eine Kontrolle u mit φ(t, x, u) W für t 0. Definition Eine Menge S von Kontrollfunktionen heißt τ-aufspannend für (K, Q), wenn für jedes x K ein u S existiert, so dass φ(t, x, u) intq für t [0, τ]. r inv (τ, K, Q) ist die minimale Kardinalität einer für (K, Q) τ-aufspannenden Menge. Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 18 / 23
26 Definition Seien K intq := W Q M, K kompakt. Für alle x K gibt es eine Kontrolle u mit φ(t, x, u) W für t 0. Definition Eine Menge S von Kontrollfunktionen heißt τ-aufspannend für (K, Q), wenn für jedes x K ein u S existiert, so dass φ(t, x, u) intq für t [0, τ]. r inv (τ, K, Q) ist die minimale Kardinalität einer für (K, Q) τ-aufspannenden Menge. Definition Die Invarianz-Entropie von (K, Q) ist h inv (K, Q) = lim sup τ 1 τ log r inv(τ, K, Q). Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 18 / 23
27 Lemma Sei ˆK = m i=1 K i eine Vereinigung von kompakten Mengen K i. Jedes K i liege im Inneren einer relativ invarianten W -Kontrollmenge C i. Sei ˆQ = m i=1 cl W C i. Dann max h inv (K i, C i ) = h inv ( ˆK, ˆQ) = h inv ( ˆK, Q). Für jede W -Kontrollmenge D und kompakte Teilmengen K 1, K 2 D mit nichtleerem Inneren gilt h inv (K 1, D) = h inv (K 2, D) Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 19 / 23
28 Theorem Es gelten die Vorraussetzungen aus Theorem 1 Seien K i C i kompakt mit nichtleerem Inneren. Dann h inv (K, Q) max i=1...n h inv(k i, C i ) Sei K eine kompakte Menge. Enthält für jede relative invariante W -Kontrollmenge C i der Schnitt von C i mit K eine kompakte Menge K i mit nichtleerem Inneren, dann h inv (K, Q) = max h inv (K i, C i ) Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 20 / 23
29 Zusammenfassung W -Kontrollmengen und relativ invariante W -Kontrollmengen Fortsetzung von invarianten Kontrollmengen zu relativ invarianten W -Kontrollmengen für geeignete Welten Zusammenhang zwischen Invarianz-Entropie und W -Kontrollmengen Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 21 / 23
30 Ausblick [Arnold, Kliemann, 1987] zeigte, dass die invarianten Kontrollmengen eines Kontrollsystems Träger invarianter Wahrscheinlichkeitsmaße für eine mit dem Kontrollsystem assozierten Diffusion ist. Was passiert, wenn aus invarianten Kontrollmengen relativ invariante W -Kontrollmengen werden? Das Verhalten des stcochastischen Systems beim Übergang von einer invarianten Kontrollmenge zu relativ invarianten W-Kontrollmengen wird z.zt. studiert. Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 22 / 23
31 Literatur L. Arnold, W. Kliemann. On unique ergodicity for degenerate diffusions. Stochastics, 21:41 61, F. Colonius, W. Kliemann Dynamics Of Control. Birkhäuser, C. Kawan. Invariance Entropy for Deterministic Control Systems Springer, W. Kliemann. Qualitative Theorie Nichtlinearer Stochastischer Systeme Disertation, Universität Bremen, Ralph Lettau (Augsburg) Relative Kontrollierbarkeitseigenschaften 9. Elgersburg Workshop 23 / 23
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(alternierendes Vorzeichen) a n := ( 1)n n + 1 a n := 3n 2 7n a n := n(n 1)(n 2), n 3
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Elemente in Φ werden Wurzeln genannt. Bemerkung 3.2. (a) Zu einem Wurzelsystem können wir immer eine Spiegelungsgruppe definieren
3. Wurzelsysteme Als erstes führen wir den Begriff eines Wurzelsystems ein. Definition 3.1 (Wurzelsystem). Eine endliche Teilmenge Φ V {0} heißt Wurzelsystem falls gilt: (R1) Φ Rα = {±α} für α Φ, (R2)
6 Flächen. ein Homöomorphismus, und daher ist dann auch die Komposition ψ 1. 0,ε ϕ x ein Homömorphismus.
6 Flächen Definition. Es sei n 0 eine natürliche Zhal. Ein topologischer Raum X heißt lokal homöomorph zu R n, falls es zu jedem Punkt x X eine offene Umgebung U x mit einem Homöomorphismus ϕ x U x R n
12 Aufgaben zu linearen Funktionalen
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1) a) Wir wollen zeigen, dass {ϕ k (t)ψ j (s)} j,k N0 eine Orthonormalbasis ist. Beachte dabei zunächst, dass (t, s) ϕ k (t)ψ j (s) für alle j, k N 0 messbare Abbildungen auf Ω 1 Ω 2 sind und da Ω 1 ϕ
1 Topologische und metrische Räume
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n A n = A ist nun folgendermaßen:
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6.1 Holomorphe Funktionen und Potenzreihen. n=0 α n (z z 0 ) n mit Konvergenzradius größer oder gleich r existiert und
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Satz Eine Teilmenge U von M ist genau dann offen, wenn jeder Punkt von U innerer Punkt ist. U x, und U ist als Vereinigung offener Mengen offen.
Ergänzungen zu offenen und abgeschlossenen Mengen Definition Ist L Teilmenge eines topologischen Raums M, so heißt x L innerer Punkt von L, wenn es eine offene Umgebung von x gibt, die ganz in L liegt.
4.1 Grundlegende Konstruktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen... 91
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