Blatt 12.3: Fourier-Integrale, Differentialgleichungen

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1 Fakultät für Physik R: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 205/6 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Dennis Schimmel, Frauke Schwarz, Lukas Weidinger Blatt 2.3: Fourier-Integrale, Differentialgleichungen Ausgabe: Freitag, Abgabe: Freitag, , 3:00 Zentralübung: (b)[2](e/m/a) bedeutet: Aufgabe (b) zählt 2 Punkte und ist einfach/mittelschwer/anspruchsvoll Beispielaufgaben: {T}: wird im Tutorien besprochen; {S}: Selbststudium. Beispielaufgabe : Eigenschaften der Fourier-Transformation [] Punkte: (a)[0.5](e); (b)[0.5](e). [S] Beweisen Sie folgende Eigenschaften der Fourier-Transformation, wobei a jeweils eine beliebige reelle Konstante ist. (a) Die Fourier-Transformierte von f( a) ist e ika fk. (b) Die Fourier-Transformierte von f(a) ist f k/a / a, wobei a 0. Beispielaufgabe 2: Fourier-Transformation eines Gauß-Peaks [2] Punkte: [2](E). [S] Zeigen Sie, dass die Fourier-Transformierte eines normierten Gauß-Peaks mit Breite σ, g [σ] () = 2πσ e 2 /2σ 2, mit d g[σ] () =, durch g [σ] k = e σ2 k 2 /2 gegeben ist. Hinweis: Das Fourier- Integral lässt sich mittels quadratischer Ergänzung im Eponenten berechnen. Beispielaufgabe 3: Gekoppelte Schwingungen von zwei Massenpunkten [5] Punkte: (a)[0.5](e); (b)[0.5](e); (c)[2](e); (d)[2](m). [T] Betrachten Sie ein System aus zwei Massenpunkten, mit Massen m und m 2, die mittels drei Federn (Federkonstanten K, K 2 und K 2 ) miteinander bzw. mit zwei Festen Wänden gekoppelt sind (siehe Skizze). Die Bewegungsgleichungen für die beiden Massen lauten m ẍ = K K 2 ( 2 ), m 2 ẍ 2 = K 2 2 K 2 ( 2 ). K m K 2 m 2 K (a) Bringen Sie das Gleichungssystem in die Form ẍ(t) = A (t), mit = (, 2 ) T. Wie lautet die Matri A? (b) Mittels dem Ansatz (t) = v cos(ωt) kann dieses Differentialgleichungsystem in ein algebraisches Eigenwertproblem überführt werden. Wie lautet dieses? (c) Setzen Sie fortan m = m 2, K 2 = m Ω 2, K = 4K 2 und K 2 = 2K 2. (Ω hat die Dimension einer Frequenz.) Finden Sie die Eigenwerte λ j und die Eigenvektoren v j der Matri Ω 2 A, und somit die entsprechenden Eigenfrequenzen ω j und Eigenmoden j (t) der gekoppelten Massen (mit j (0) = v j ).

2 (d) Skizzieren Sie die beiden Eigenmoden j (t) als Funktion der Zeit: machen Sie für j = und 2 jeweils eine Skizze, die auf demselben Achsensystem die beiden Komponenten j(t) und 2 j(t) zeigt. Kommentieren Sie das gezeigte Verhalten! Beispielaufgabe 4: Green sche Funktion von (d t + a) [4] Punkte: (a)[](m); (b)[0.5](e); (c)[0.5](e); (d)[](e); (e)[](m). [T] D(d t ) = (d t +a) sei ein Differentialoperator erster Ordnung, und a eine positive, reelle Konstante. Die entsprechende Green sche Funktion ist definiert durch die Differentialgleichung: (a) Zeigen Sie, dass der Ansatz D(d t )G(t) = δ(t). () G(t) = θ(t) h (t) mit θ(t) = { für t > 0 0 für t < 0, (2) die definierende Gleichung () erfüllt, vorausgesetzt, dass h (t) eine Lösung der homogenen Gleichung D(d t ) h (t) = 0 ist, mit Anfangsbedingung h (0) =. [Hinweis: die Anfangsbedingung gewährleistet, dass δ(t) h (t) = δ(t).] (b) Bestimmen Sie G(t) eplizit durch Lösen der homogenen Gleichung für h (t). (c) Berechnen Sie das Fourier-Integral G(ω) = dt eiωt G(t). (d) Konsistenz-Check: Bestimmen Sie G(ω) alternativ durch Fourier-Transformation der definierenden Gleichung (). Stimmt das Resultat mit dem von Teilaufgabe (c) überein? (e) Finden Sie eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (d t + a)(t) = e 2at mittels Faltung von G(t) mit der Inhomogenität. Überprüfen Sie die gefundene Lösung eplizit durch Einsetzen. Beispielaufgabe 5: Fipunkte einer Differentialgleichung in einer Dimension [2] Punkte: (a)[0.5]; (b)[0.5]; [](M). [T] Betrachten Sie die autonome Differentialgleichung ẋ = f λ () = ( 2 λ) 2 λ 2 für die reelle Funktion (t), mit λ R. (a) Finden Sie abhängig von λ die Fipunkte dieser Differentialgleichung, (i) für λ 0 und (ii) für λ > 0. (b) Skizzieren Sie f() als Funktion von in zwei Skizzen, (i) für λ = und (ii) für λ = +, und zeichnen Sie die in (a) gefundenen Fipunkte ein. (c) Diskutieren Sie mittels einer graphischen Analyse die Stabilität von jedem dieser Fipunkte, und zeichnen Sie den Fluss von (t) nahe den Fipunkten in die Skizzen von (b) ein. Beispielaufgabe 6: Stabilitätsanalyse in zwei Dimensionen [6] Punkte: (a)[0.5](e); (b)[0.5](e); (c)[](e); (d)[2](e); (e)[2](m). [T] Die Funktion : R R 2, t (t), erfülle folgende Differentialgleichung, mit 0 < c R: ẋ = ( ẋ ẏ ) = f() = ( 2 2 y c( ) ). 2

3 (a) Finden Sie den Fipunkt der Differentialgleichung. (b) Linearisieren Sie die DG in der Abweichung η = vom Fipunkt und bringen Sie sie in die Form η = Aη. Wie lautet die Matri A? ( ) (c) Überprüfen Sie, dass die Matrielemente von A durch a i f j = i j = gegeben sind. (d) Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matri A. (e) Diskutieren Sie die Stabilitätseigenschaften des Fipunkts: Für welche Auslenkungsrichtungen relativ zum Fipunkt wächst bzw. zerfällt eine Auslenkung am schnellsten? Auf welcher Zeitskala? [Kontrollergebnisse für c = 3: Eigenwerte: λ + = 3, λ = ; Eigenvektoren v + = (, ) T und v = (, 3) T.] Beispielaufgabe 7: Feldlinien in zwei Dimensionen [2] Punkte: [2](E). [S] ( ) Betrachten Sie das Vektorfeld F = in der y-ebene mit a > 0. Berechnen und skizzieren Sie ay die Feldlinien dieses Feldes durch das Lösen einer entsprechenden Differentialgleichung (nehmen Sie für die Skizze a = 2 ). [Gesamtpunktzahl Beispielaufgaben: 22] Hausaufgabe : Eigenschaften der Fourier-Transformation [2] Punkte: (a)[0.5](e); (b)[0.5](e); (c)[](m). Beweisen Sie folgende Eigenschaften der Fourier-Transformation in 2 Dimensionen, wobei a R 2, α R \ {0} und R eine Drehmatri ist. (a) Die Fourier-Transformierte von f( a) ist e ik a fk. (b) Die Fourier-Transformierte von f(α) ist α 2 f k/α. (c) Die Fourier-Transformierte von f(r) ist f Rk. Hausaufgabe 2: Faltung von Gauß-Peaks [6] Punkte: (a)[](m); (b)[](e); (c)[](m); (d)[](m); (e)[](m); (f)[](e). Lernziel: Illustration folgender Aussage: Die Feinstruktur einer Funktion (z.b. Rauschen in einem Messsignal) lässt sich glätten mittels Faltung mit einer gepeakten Funktion von geeignet gewählter Breite. Ein normierter Gauß-Peak mit Breite σ hat die Form g [σ] () = 2πσ e 2 /2σ 2. Zeigen Sie, dass die Faltung von zwei normierten Gauß-Peaks mit Breiten σ und σ 2 wieder ein normierter Gauß-Peak ist, mit Breite σ = σ 2 + σ 2 2, also dass ( g [σ ] g [σ 2] ) () = g [σ] (). Zeigen Sie das auf zwei Weisen, (a) und (b): (a) Berechnen Sie das Faltungsintegral mittels quadratischer Ergänzung im Eponenten. (b) Nutzen Sie das Faltungstheorem, laut dem ( g[σ ] g ) [σ 2] (k) = g [σ] (k) g [σ2] (k), und die (aus einer Beispielaufgabe) bekannte Form der Fourier-Transformierten eines Gauß-Peaks, g [σj] (k). 3

4 (c) Machen Sie zwei qualitative Skizzen, die erste von g [σ] (), g [σ2] () und g [σ] (), die zweite von deren Fourier-Spektren g [σ] (k), g [σ2] (k) und ( g[σ ] g ) [σ 2] (k), und erläutern Sie anhand der Skizzen, warum die Faltung einer Funktion (hier g [σ] ) mit einer gepeakten Funktion (hier g [σ2] ) zu einer verbreiterten Version der ersten Funktion führt. f [σ] () = 5 n= 5 g[σ ] n (), mit g [σ ] n () = g [σ] ( nl), sei ein Kamm von identischen, normierten Gauß-Peaks der Breite σ, mit Peak-zu-Peak-Abstand L, und F [σ2] () = ( f g ) [σ 2] () sei die Faltung dieses Kammes mit einem normierten Gauß-Peak der Breite σ 2. (d) Finden Sie eine Formel für F [σ 2] (), ausgedrückt als Summe über normierte Gauß-Peaks. Was ist die Breite jedes dieser Peaks? (e) Die Skizze zeigt F [σ 2] () für σ /L = 4 und vier Werte von σ 2/L: 00, 4, 2 und 3 4. Erläutern Sie das gezeigte Verhalten anhand Ihrer Formel aus Teilaufgabe (c). Warum verschwindet die Feinstruktur in F [σ 2] () für σ 2 2 L? F [ 00 L] () F [ 4 L] () σ = L/0 F [ 2 L] () 3 F [ 4 L] () L L L L (f) Mit Bezugnahme auf die eingangs zitierte Aussage zur Rauschglättung mittels Faltung: erläutern Sie allgemein, wie die Breite der gepeakten Funktion gewählt werden muss, um Rauschen wegzuglätten. Hausaufgabe 3: Gekoppelte Schwingungen von drei Massenpunkten [5] Punkte: (a)[0.5](e); (b)[0.5](e); (c)[2](e); (d)[2](m). Betrachten Sie ein System aus drei Massenpunkten, mit Massen m, m 2 und m 3, gekoppelt durch zwei identische Federn, mit Federkonstante k (siehe Skizze). Die Bewegungsgleichungen für die drei Massen lauten m ẍ = k( 2 ), m 2 ẍ 2 = k ( [ 2 ] [ 3 2 ] ), m 3 ẍ 3 = k( 3 2 ), m k m 2 k m (a) Bringen Sie das Gleichungssystem in die Form ẍ(t) = A (t), mit = (, 2, 3 ) T. Wie lautet die Matri A? (b) Mittels dem Ansatz (t) = v cos(ωt) kann dieses Differentialgleichungsystem in ein algebraisches Eigenwertproblem überführt werden. Wie lautet dieses? (c) Setzen Sie fortan m = m 3 = m, m 2 = 2 3 m, und k = mω2. (Ω hat die Dimension einer Frequenz.) Finden Sie die normierten Eigenwerte λ j und die Eigenvektoren v j der Matri Ω 2 A, und somit die entsprechenden Eigenfrequenzen ω j und Eigenmoden j (t) der gekoppelten Massen (mit j (0) = v j ). 4

5 (d) Skizzieren Sie die drei Eigenmoden j (t) als Funktion der Zeit: machen Sie für j =, 2 und 3 jeweils eine Skizze, die auf demselben Achsensystem die drei Komponenten j(t), 2 j(t) und 3 j(t) zeigt. Kommentieren Sie das gezeigte Verhalten! Hausaufgabe 4: Green sche Funktion des kritisch gedämpften harmonischen Oszillators [4] Punkte: (a)[](m); (b)[0.5](e); (c)[0.5](e); (d)[](e); (e)[](m). Ein getriebener, kritisch gedämpfter harmonischer Oszillator mit Frequenz Ω > 0 und Dämpfungsrate γ = Ω erfüllt die Gleichung D(d t )(t) = f(t), mit D(d t ) = (d 2 t + 2Ωd t + Ω 2 ). Die entsprechende Green sche Funktion ist definiert durch die Differentialgleichung: (a) Zeigen Sie, dass der Ansatz D(d t )G(t) = δ(t). (3) G(t) = θ(t) h (t), mit θ(t) = { für t > 0 0 für t < 0, (4) die definierende Gleichung (3) erfüllt, vorausgesetzt, dass h (t) eine Lösung der homogenen Gleichung D(d t ) h (t) = 0 ist, mit Anfangsbedingung h (0) = 0 und d t h (0) =. [Hinweis: die Anfangsbedingung gewährleistet, dass δ(t) h (t) = 0 und δ(t)d t h (t) = δ(t).] (b) Bestimmen Sie G(t) eplizit durch Lösen der homogenen Gleichung für h (t). (c) Berechnen Sie das Fourier-Integral G(ω) = dt eiωt G(t). (d) Konsistenz-Check: Bestimmen Sie G(ω) alternativ durch Fourier-Transformation der definierenden Gleichung (3). Stimmt das Resultat mit dem von Teilaufgabe (c) überein? (e) Finden Sie eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung D(d t )(t) = q sin(ω 0 t) mittels Faltung von G(t) mit der Inhomogenität. Überprüfen Sie die gefundene Lösung eplizit durch Einsetzen. [Hinweis: es lohnt sich, die Sinus-Funktion als Im [ e iω 0t ] zu schreiben, die Rechnung mit e iω 0t als Inhomogenität auszuführen, und erst ganz am Ende den Imaginärteil zu bilden.] Hausaufgabe 5: Fipunkte einer Differentialgleichung in einer Dimension [2] Punkte: (a)[0.5]; (b)[0.5]; [](M). Betrachten Sie die Differentialgleichung ẋ = f() = tanh[5( 3)] tanh[5( + )] sin(π) für die reelle Funktion (t). (a) Finden Sie die Fipunkte dieser Differentialgleichung. (b) Skizzieren Sie f() als Funktion von mit [ 4, 5], und zeichnen Sie die in (a) gefundenen Fipunkte ein. (c) Diskutieren Sie mittels einer graphischen Analyse die Stabilität von jedem dieser Fipunkte, und zeichnen Sie den Fluss von (t) nahe den Fipunkten in die Skizzen von (b) ein. 5

6 Hausaufgabe 6: Stabilitätsanalyse in drei Dimensionen [4] Punkte: (a)[](e); (b)[2](e); (c)[](e). Die Funktion : R R 3, t (t), erfülle folgende autonome Differentialgleichung: ẋ = (ẋ ) ẏ ż ( ) 0 y 24 =. 3z 3 (a) Finden Sie die Fipunkte dieser Differentialgleichung. (b) Zeigen Sie, dass die Fipunkte im Allgemeinen instabil sind, jedoch stabil bezüglich Abweichungen in bestimmte Richtungen. Bestimmen Sie hierfür die lineare Näherung für kleine Auslenkungen um die Fipunkte und berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der entsprechenden Matri. [Kontrollergebnis: einige der Eigenwerte, die an den Fipunkten auftreten, sind 6, 4, 2, 2.] (c) Identifizieren Sie die stabilen Richtungen, und die entsprechende charakteristische Zeitskala, auf der eine Abweichung vom Fipunkt in diese Richtung nach Null zerfällt. Hausaufgabe 7: Elektrisches Quadrupolfeld in zwei Dimensionen [Bonus] Punkte: [2](E,Bonus). ( ) Betrachten Sie das elektrische Quadrupolfeld in der z-ebene, E = F. Die Konstante F bestimmt die Feldstärke. Berechnen und skizzieren Sie die Feldlinien dieses Feldes durch das Lösen einer entsprechenden Differentialgleichung. [Gesamtpunktzahl Hausaufgaben: 23] 3z 6