Blatt 09.2: Variationsrechnung II

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1 Fakultät für Physik T1: Klassische Mechanik, SoSe 016 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Sebastian Huber, Katharina Stadler, Lukas Weidinger Blatt 09.: Variationsrechnung II Ausgabe: Freitag, ; Abgabe: Freitag, , 13:00 (b)[](e/m/a) bedeutet: Aufgabe (b) zählt Punkte und ist einfach/mittelschwer/anspruchsvoll Beispielaufgabe 1: Fläche von offener Kartonschachtel mit vorgegebenem Volumen [] Punkte: [](E). Ein quaderförmiger oben offener Karton von 3cm 3 Volumen soll aus der minimalen Papierfläche gebaut werden. Geben Sie die Seitenlängen an. Beispielaufgabe : Kreissegment [5] Punkte: (a)[](e); (b)[.5](m); [0.5](E). A und B seien zwei Punkte mit den Koordinaten A( L/, 0) und B(L/, 0) auf der (x, y)-ebene. y = f(x) > 0 sei eine Kurve ohne Nullstellen außer bei A und B der Länge l > L, die die Punkte A und B verbindet: y( L/) = 0 = y(l/). Der Flächeninhalt der zwischen der Kurve y(x) und der geraden Verbindungslinie AB eingeschlossen ist, kann als ein Funktional S[y(x)] ausgedrückt werden. (a) Geben Sie das Funktional S[y(x)] an und stellen Sie die Euler-Lagrange-Gleichung für S[y(x)] auf. (b) Lösen Sie die Euler-Lagrange-Gleichung und bestimmen Sie die Funktion y(x), die den Flächeninhalt S für eine vorgegebene Länge l maximiert. Sie bekommen ein Kreissegment. Was ist der Radius des Kreissegments? Beispielaufgabe 3: Durchhängende Hochspannungsleitung [8] Punkte: (a)[0.5](e); (b)[0.5](e); [1](E); (d)[](m); (e)[](m); (f)[](m). Eine homogene Hochspannungsleitung mit Leitungslänge l und Masse m ist an zwei Punkten A und B, mit Koordinaten (x, y) = ( x 0, 0) und (x 0, 0), in einem konstanten Gravitationsfeld aufgehängt. Die Form der durchhängenden Hochspannungsleitung sei durch die Kurve y(x) beschrieben. Ziel ist es, diese zu bestimmen. x = x 0 A x = 0 x = x B 0 y=0 y min (a) Bestimmen Sie die potenzielle Energie U der durchhängenden Hochspannungsleitung für eine beliebige Funktion y(x) und geben Sie das Funktional U[y(x)] an. Hinweis: dm = (m/l)ds 1

2 (b) Schreiben Sie die Nebenbedingung (Leitungslänge = l) als Funktional g[y(x)] = 0. Nun ist die potenzielle Energie unter der Nebenbedingung konstanter Leitungslänge zu minimieren. Bringen Sie dieses Problem unter Zuhilfenahme eines Lagrange-Multiplikators λ in die Form eines Variationsproblems der allgemeinen Form δ ˆ x0 x 0 dxf (y, y, x) = 0 für die Funktion y(x), und geben Sie F an. Hinweis: Die Funktion F ist im vorliegenden Fall nicht explizit von x abhängig. (d) Die Euler-Lagrange-Gleichung für dieses Variationsproblem ist eine Differentialgleichung. Ordnung. Anstatt diese aufzustellen und zu integrieren, wollen wir hier einen kürzeren Weg gehen: Für x-unabhängige F ist auch folgende Erhaltungsgröße x-unabhängig: F y F y = c = const. (1) Zeigen Sie, ausgehend von Gl. (1), dass die Funktion y(x) folgende Differentialgleichung 1. Ordnung erfüllt: [ ] mgy/l ± λ y = ± 1. () c ± λl/(x 0 ) Bemerkung: das Vorzeichen von λ, + oder, ist eine Frage der Konvention, deswegen sind in Gl. () beide Möglichkeiten angegeben. (e) (f) Finden Sie eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung (), und nennen Sie die dabei auftretende Integrationskonstante a. Hinweis: dz 1 = arccosh z + a. z 1 Geben Sie drei (Rand- oder Neben-) Bedingungen an die Funktion y(x) an, die dazu genutzt werden könnten, die drei bisher unbekannten Konstanten c, a und λ zu bestimmen. Klarstellung: Letzteres, d.h. die explizite Bestimmung der Konstanten, wird nicht verlangt. Beispielaufgabe 4: Kurzfragen [] Punkte: (a)[0.5](e); (b)[0.5](e); [1](M). Diese Fragen prüfen, ob Sie einfache, grundlegende Konzepte der Vorlesung verstanden haben. Sie sollten sie ohne längeres Nachdenken oder Nachschlagen in ein paar Minuten beantworten können. (a) Wie erweitert man die Lagrangefunktion, um Nebenbedingungen zu berücksichtigen, wenn das Hamiltonsche Prinzip angewandt werden soll? (b) Wie ändern sich die Euler-Lagrangegleichungen, wenn Nebenbedingungen zu berücksichtigen sind? Was ist eine Eichtransformation?

3 [Gesamtpunktzahl Beispielaufgaben: 17] Hausaufgabe 1: Abstand einer Hyperbel vom Ursprung [] Punkte: [](E). Für welchen Punkt auf der Hyperbel x + 8xy + 7y = 5 ist der Abstand d vom Ursprung minimal? Wie groß ist dieser minimale Abstand? Hinweis: Es ist einfacher, d anstatt d zu minimieren. Hausaufgabe : Kettenlinie mit variabler Länge [5] Punkte: (a)[1](e); (b)[](m); [1](E); (d)[1](e). Ein homogenes Seil mit Massendichte (=Masse/Länge) ρ liege frei beweglich auf zwei reibungslosenumlenkrollen in den Punkten A (Koordinaten (x A, z A )), und B (Koordinaten (x B, z B )). Die (unendlich langen) Enden des Seils hängen senkrecht nach unten und liegen dann auf der Oberfläche z A = 0 auf (siehe Skizze). Im homogenen Schwerefeld nimmt das Seil dann eine Kurve ein, die die Energie des Seilstückes zwischen den beiden Umlenkrollen minimiert. A (a) Finden Sie das zu minimierende Integral, aus dem die Seilkurve bestimmt werden kann. (b) Finden Sie die Seilkurve. Die auftretenden Parameter werden durch Randbedingungen bestimmt. Geben Sie diese Bestimmungsgleichungen an; die Lösung dieser Gleichungen wird nicht von Ihnen verlangt. Hinweis: Um die Seilkurve zu bestimmen sollten Sie ausnutzen, dass der Integrand nicht explizit von der Integrationsvariable abhängt. Dies fuehrt zu einer Erhaltungsgröße (Energie). B Für bestimmte Umlenkpunkte ist die Lösung minimaler Energie nicht durch die obige Vorgehensweise zu finden. Skizzieren Sie ein Beispiel. (d) In dem Problem minimaler Rotationsflächen sucht man die minimale (rotationssymmetrische) Oberfläche zwischen zwei parallen, konzentrischen Kreisringen. Zeigen Sie, dass dieses Problem äquivalent zu dem soeben betrachteten ist. Hausaufgabe 3: Hamiltonprinzip mit Nebenbedingungen [8] Punkte: (a)[](e); (b)[](e); [1.5](E); (d)[.5](m). Ein Teilchen der Masse m gleite reibunglos auf einer schiefen Ebene der Masse M und einem Neigungswinkel α. Die schiefe Ebene gleitet reibungslos auf einer ebenen Oberfläche, ohne dass sich der Winkel α ändert (siehe Skizze). y x X (t) E m α M (a) Stellen Sie die Lagrangefunktion in den in der Skizze angegebenen Koordinaten des Massepunktes (x, y) und des Aufpunktes der schiefen Ebene X E auf und geben Sie die Zwangsbedingung an, der diese Koordinaten unterliegen. 3

4 (b) Geben Sie die Euler-Lagrangegleichungen an, die Sie erhalten, wenn Sie die Methode der Variation mit Nebenbedingung anwenden. Geben Sie die Ausdrücke für die Zwangskräfte an, die auf Massepunkt und schiefe Ebene wirken. Können diese Zwangskräfte Arbeit verrichten? (d) Benutzen Sie die oben gefundenen Euler-Lagrangegleichungen in den Wegintegralen F d r für die Arbeit an Massepunkt und schiefer Ebene, um Energieerhaltung zu zeigen. Welche andere Erhaltungsgröße finden Sie aus den Euler-Lagrangegleichungen? Hinweis: Sie sollen hier die Euler-Lagrangegleichungen verwenden, ohne sie zu lösen. Hausaufgabe 4: Harmonischer Oszillator mit Variationsprinzip [8] Punkte: (a)[3](m); (b)[1](e); [1.5](E); (d)[.5](m). Ein eindimensionaler harmonischer Oszillator wird durch die Lagrangefunktion L = 1 mẋ 1 kx beschrieben. Wir nehmen nun an, dass wir die Lösung des harmonischen Oszillators nicht kennen, aber festgestellt haben, dass die Bewegung periodisch verläuft. Wir beschreiben daher die Bewegung durch den Ansatz x(t) = a j cos (jωt) j=0 mit unbekannter Frequenz ω (der Oszillator befindet sich damit zur Zeit t = 0 an einem Umkehrpunkt). Die Parameter a j und ω beschreiben damit eine Schar von Bahnkurven; die richtige dieser Bahnen finden wir durch das Hamiltonsche Prinzip: das Wirkungsintegral wird für die richtige Bahn stationär. (a) Stellen Sie das Wirkungintegral für zwei Zeiten t 1 und t auf, die gerade eine Periode T = π/ω auseinanderliegen und berechnen Sie das Wirkungsintegral. Nutzen Sie die Beziehungen sin x sin y = 1 [cos (x y) cos (x + y)] cos x cos y = 1 [cos (x y) + cos (x + y)] um zu erkennen, welche Integralausdrücke verschwinden. (b) Nutzen Sie das Hamiltonsche Prinzip, um aus dem berechneten Wirkungsintegral die bekannte Lösung des harmonischen Oszillators zu finden. Wir wollen nun zeigen, dass das Wirkungsintegral S = t 0 Ldt für die Bewegung x(t) = b sin ω 0t mit ω 0 = k/m, weder minimal noch maximal ist, sondern einen Sattelpunkt hat, falls t größer als die halbe Periodendauer, T/ = π/ω 0 ist. Verwenden Sie dazu den Ansatz x(t) = x(t) + ɛη(t) mit η(0) = η(t ) = 0, den Sie in S einsetzen und partiell integrieren. Begründen Sie, dass der Term proportional zu ɛ verschwindet und geben Sie den ɛ Term an. 4

5 (d) Zeigen Sie, dass Variationen der Form η(t) = l=1 ( ) lπ b l sin t t so gewählt werden können, dass das Wirkungsintegral größer oder kleiner als das für die Bahn x(t) werden kann. Die physikalische Lösung ist also ein Sattelpunkt des Wirkungsintegrals. [Gesamtpunktzahl Hausaufgaben: 3] 5