Repetitorium C: Variationsrechnung, Noether-Theorem

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1 Fakultät für Phsik T1: Klassische Mechanik, SoSe 2016 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Sebastian Huber, Katharina Stadler, Lukas Weidinger Repetitorium C: Variationsrechnung, Noether-Theorem Mo-Fr, ; Tutor: Daniel Maer (b)[2](e/m/a) bedeutet: Aufgabe (b) zählt 2 Punkte und ist einfach/mittelschwer/anspruchsvoll Aufgabe 1: Noether-Theorem [6] Punkte: (a)[2](m); (b)[2](m); [2](M). Wir betrachten N freie Teilchen in drei Dimensionen. Die Lagrange-Funktion ist gegeben durch L(r i, ṙ i ) = m i 2 ṙ2 i, wobei die Vektoren r i, (i = 1... N) die Positionen der Teilchen bezeichnen. (a) Zeigen Sie, dass die Änderung von L unter der Transformation r i r i = r i + ε v t für beliebigen Vektor v die Form einer totalen Zeitableitung d dt M(r i, t, ε) hat. (b) Zeigen Sie mithilfe des Noether-Theorems, dass Q = m i ṙ i v t + m i v r i die zugehörige Erhaltungsgröße ist. Drücken Sie Q durch R = 1 M m i r i aus, wobei M = Interpretieren Sie R und die Erhaltung von Q phsikalisch. m i. Hinweis: Da der Vektor v beliebig ist, kann aus der Erhaltung von Q die Erhaltung eines Vektors gefolgert werden. Aufgabe 2: Banditen im Sumpf [9] Punkte: (a)[2](m); (b)[](m); [4](A); (d)[2](m,, Bonus). 1

2 Eine Bande von Banditen möchte so schnell wie möglich eine opportune Stelle an den Eisenbahngleisen erreichen. Da die Umgebung, in der sie sich befinden, jedoch sumpfig ist, kommen sie nur langsam voran. Nehmen Sie an, dass die Banditen bei (x 0, 0) starten und die Gleise parallel zur -Achse durch (x 1, 0) verlaufen. Der Betrag ihrer Geschwindigkeit v hänge nur von x ab und die Banditen und die Gleise befinden sich stets im Bereich positiver x. (a) Geben Sie ein Funktional für die Zeit an, die die Banditen benötigen um die Gleise zu erreichen, wenn sie einer Kurve (x) folgen. (b) Zeigen Sie, dass für den Weg, der die Zeit minimiert, cv(x) = ± 1 c2 v 2 (x) gilt. Hierbei ist c eine reelle Konstante. Hinweis: Falls F im Funktional dxf ((x), (x), x) explizit von x abhängt, so ist F F im Allgemeinen nicht x-unabhängig. Im Folgenden sei v(x) = αx, wobei α eine ortsunabhängige Konstante ist. Bestimmen Sie die Trajektorie (x), die die Zeit minimiert, wenn die Banditen mit einer Steigung = 1 starten. Eliminieren Sie dabei alle Parameter mit Ausnahme von von x 0 und nehmen Sie an, dass x 2 x 0. Ergebniskontrolle: Für x 0 = 1 und x 2 1 = 4 erreichen die Banditen die Gleise an der Stelle 5 ( 4, ). (d) Bonus: Wie viel Zeit benötigen die Banditen, um von x 0 = 1 nach x 1 = 2 zu gelangen, wenn sie mit einer Steigung = 1 starten? Wie lange braucht die konkurrierende Bande, die den geometrisch kürzesten Weg zur gleichen Gleisstelle wählt? Hinweis: dx 1 x = log x log ( c 2 x 2) 1 c 2 x 2 Aufgabe : Brachistochrone im Schwerefeld der Erde [8] Punkte: (a)[2](m); (b)[2](m); [2](A); (d)[2](m). Im uniformen Schwerefeld der Erde [mit Potential V () = g] gleite ein Massenpunkt (Masse m) reibungsfrei entlang einer Kurve γ von Anfangspunkt A = (0, 0) zum Endpunkt B = (x b, b < 0), mit Anfangsgeschwindigkeit gleich Null. Die Kurvenform γ : x (x), die die Transitzeit T minimiert, wird Brachistochrone genannt. A (0, 0) γ B x (x B, B ) 2

3 (a) Zeigen Sie, dass die Transitzeit durch folgendes Funktional gegeben ist: ˆ xb T [γ] = dx F ((x), (x)), mit F (, 1 + ) = 2 2g, = d dx. 0 (b) Zeigen Sie, dass die Brachistochrone folgende Gleichung erfüllt: ( ) 2 = mit 0 > = konst. (1) Hinweis: nutzen Sie die Tatsache, dass F nicht explizit von x abhängt, um zunächst eine x-unabhänge Erhaltungsgröße zu konstruieren. (Analogie: wenn im Lagrange-Formalismus die Lagrange-Funktion nicht explizit von der Zeit abhängt, ist die Hamilton-Funktion eine Erhaltungsgröße.) Finden Sie eine θ-parametrisierung der Brachistochrone, γ : θ (x(θ), (θ)), indem Sie Gleichung (1) mittels Separation der Variablen und der Substitution (θ) = sin 2 (θ/2) lösen. Erläutern Sie, wie und die Integrationskonstante durch x B und B festgelegt werden. (d) Alternativ zu (b) kann als unabhängige Variable verwendet und die Transitzeit durch ein Integral der Form T [γ] = B d G(x, ) (mit x = dx/d) ausgedrückt werden. Zeigen 0 Sie, dass die entsprechende Euler-Lagrange-Gleichung für die Brachistochrone äquivalent zu Gleichung (1) ist. Hinweis: Nutzen Sie die Tatsache, dass G nicht von abhängt ( zklische Variable ), um zunächst eine -unabhängige Erhaltungsgröße zu konstruieren. Aufgabe 4: Geodäten auf einer Kugel [8] Punkte: (a)[](m); (b)[2](m); [2](M); (d)[1](m). Eine Geodäte ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei vorgegebenen Punkten auf einer Kugel. (a) Eine Kurve γ auf einer Kugel mit Radius 1 sei parametrisiert durch γ : s r(s), mit r = (cos φ sin θ, sin φ sin θ, cos θ) T und Kurvengeschwindigkeit r = dr/ds. Die Länge der Kurve lässt sich als ein Funktional der Form L[γ] = dsf (φ ; θ, θ ) schreiben, mit φ = dφ/ds, θ = dθ/ds. Wie lautet die Funktion F? (b) Die Parametrisierung r(s) sei nun so gewählt, dass r = 1 (natürliche Parametrisierung). Zeigen Sie, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen für eine Geodäte auf der Kugel dann folgende Form haben: θ = sin θ cos θ (φ ) 2 d, ds (φ sin 2 θ) = 0. Sind Längengrade Geodäten? Und Breitengrade? Charakterisieren Sie Geodäten zwischen zwei beliebigen Punkten qualitativ, unter Ausnutzung der Kugelsmmetrie. (d) Geben Sie ein Beispiel für eine Kurve zwischen zwei festen Punkten, die zwar ein Extremum von L, jedoch kein Minimum ist. Aufgabe 5: Tunnel durch die Erde [6] Punkte: (a)[](m); (b)[2](m); [1](E); (d)[2](m, Bonus).

4 Betrachten Sie einen Tunnel durch die Erde, der zwei Punkte auf der Erdoberfläche verbindet (siehe Skizze). Der Tunnelverlauf sei so gewählt, dass er die Zeit T minimiert, in der eine am Tunneleingang mit Anfangsgeschwindigkeit Null losrollende Punktmasse m den Tunnel unter Einfluss der Gravitation durchrollt. Ziel dieser Aufgabe ist es, mittels der Variationsmethode eine Gleichung zu finden, die den Verlauf r = r(φ) dieses Tunnels bestimmt, wobei r den Abstand zum Erdmittelpunkt bezeichnet. Das Gravitationspotential im Inneren eines homogenen massiven Körpers ist dabei durch V (r) = αr gegeben. (Reibung und Corioliskräfte sind zu vernachlässigen). φ r x = r sin φ, = r cos φ (a) Zeigen Sie, dass man das zu minimerende Funktional als ˆ r2 + r T = T [r(φ)] = dφ 2, mit r = dr v(r) dφ, (2) schreiben kann, wobei v(r) die Geschwindigkeit der Punktmasse bezeichnet. [Hinweis: Drücken Sie zunächst das Wegelement ds durch r, dr und dφ aus.] Drücken Sie v(r) durch die Gesamtenergie E des Teilchens aus. (b) Da der Integrand (F ) in Gl. (2) nicht explizit von der Integrationsvariable φ abhängt, existiert eine φ-unabhängige Erhaltungsgröße, F F r = konstant. Nutzen Sie dies um die folgende r Differentialgleichung für den Tunnel herzuleiten: x r 4 = c 2 (E αr)(r 2 + r 2 ) mit c = konst. Bestimmen Sie durch Integration der Differentialgleichung aus (b) einen Integralausdruck für die Bahnkurve φ = φ(r). (d) (Bonus) Wir betrachten nun das gleiche Problem für eine große Hängebrücke zwischen zwei hohen Türmen auf der Erdoberfläche. Was ändert sich in Ihren Gleichungen? Vollziehen sie den Grenzübergang zu gewöhnlichen Brachistochrone im konstanten Schwerefeld. Aufgabe 6: Minimale Gleitzeit im Coulomb-Potential [7] Punkte: (a)[](m); (b)[1](m); [](A). Ein geladene Punktmasse m mit Ladung +q bewege sich reibungsfrei in einer gekrümmten, in der x--ebene verlaufenden Röhre. Deren +q, m Form sei in Polarkoordinaten durch die Röhrenfunktion ρ(φ) beschrieben, mit Anfangspunkt bei ρ 0 = ρ(φ = 0) und Endpunkt bei ρ 1 φ ρ 1 = ρ(φ = π/2) (mit ρ 1 < ρ 0 ). q ρ0 Am Ursprung sei eine Punktladung q fixiert, sodass die potentielle Coulomb-Energie des Punktteilchens in der Röhre durch V (ρ) = q 2 /ρ gegeben ist. (Das Gravitationspotential spielt in dieser Aufgabe keine Rolle.) Welche Form der Röhrenfunktion ρ(φ) minimiert die Gleitzeit τ, die die Punktmasse braucht, um entlang der Röhre vom Anfangs- zum Endpunkt zu gleiten, nachdem sie ruhend am Anfangspunkt losgelassen wurde? Leiten Sie mittels Variationsrechnung eine Differentialordnung erster Ordnung her, welche die Form der gesuchten Röhrenfunktion bestimmt. Gehen Sie dazu wie folgt vor: 4

5 (a) Schreiben Sie das zu minimierende Funktional für die Gleitzeit, τ[ρ(φ)], als ein Winkelintegral über eine Funktion I(ρ(φ), ρ (φ)), mit ρ (φ) = dρ/dφ. Zeigen Sie, dass I folgende Form hat: ρ2 + ρ 2 I(ρ, ρ ) = v(ρ), () wobei v(ρ) der Betrag der Geschwindigkeit des Punktteilchens ist. Hinweis: Drücken Sie zunächst das infinitesimale Bogenelement ds in Polarkoordinaten aus. (b) Finden Sie mittels Energie-Erhaltung die explizite Form der Funktion v(ρ). Finden Sie nun eine Differentialgleichung erster Ordnung für die gesuchte Röhrenfunktion ρ(φ). (Sie brauchen diese Gleichung nicht zu lösen.) Hinweis: Nutzen Sie dazu die Tatsache, dass I(ρ, ρ ) nicht explizit von φ abhängt! [Gesamtpunktzahl Aufgaben: 44] 5