Variation mit Nebenbedingungen
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- Rudolf Abel
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1 Variation mit Nebenbedingungen Lagrange-Multiplikatoren Welcher Punkt minimiert unter der Nebenbedingung (NB) absolutes Minimum Ohne NB wäre Antwort: 2 Gl. für 2 Unbekannte Aber: NB verknüpft x,y unabhängige Variation v. x,y nicht erlaubt Minimiere f(x,y) mit NB g(x,y) = 0 Beispiel: Finde Minimum v. Lösungsweg 1: Eliminiere y aus g(x,y) = 0 mit NB: d.h., finde y als Fk. v x : (1) in f: [Berücksichtigt NB!] Minimiere : Kettenregel Finde : (3) gelöst liefert (4) eingesetzt in (1) liefert
2 Lösungsweg 2: Ignoriere zunächst die NB und deren Verknüpfung von x,y und minimiere die erweiterte Funktion, Nebenbedingung nach "Lagrange-Multiplikator" 3 unabhängige Variationsparameter: Variation nach generiert dann die NB per Konstruktion (aber erst "hinterher"). Beispiel: "Lagrange-Multiplikator" Eliminiere : NB wird automatisch generiert! (5) in (2) = Funktion v. (4) und (6) nach x,y lösen! =(18.4,5)'
3 Satz: Lösungsweg 2 ist äquivalent zu Lösungsweg 1: Beweis: Schreibe NB g(x,y) = 0 in folgende Form: Wende nun Lösungsweg 2 an auf Minimierung v., mit NB (3) enthält: (4) in (3): (2) in (6) einsetzen: = Ergebnis v. Lösungsweg 1. Verallgemeinerung 1: Funktion mehrerer Variablen sei extremal, mit NB an alle für jedes Lösungsweg: Extremiere nach "Lagrange-Multiplikator (LM)" N+R Gleichungen, N+R Nebenbedingungen Kernidee v. LM: Gebe NB zunächst auf während Minimierung, aber wähle Funktion so, dass die NB generiert.
4 Verallgemeinerung 2: Funktional mit "isoperimetrischen" NB "isoperimetrisch" = "gleicher Umfang": Griechen: Welche Kurve mit gegebenem Umfang minimiert eingeschlossene Fläche? sei extremal, legt einen Parameter fest mit NB Lösungsweg: finde Extrema von: Variation bezüglich : ELG Variation bezüglich : reproduziert NB (2) (4) und (5) sind gemeinsam zu lösen!! Verallgemeinerung 3: Funktional: Extrema mit Holonomen NB Geschw. kommt nicht vor sei extremal, z.b. mit holonomer NB: NB an alle für jedes muss für jedes x gelten, legt also eine Funktion fest schärfere NB als (71b.2) Zurückführung auf isoperimetrische B: Teile auf in M Intervalle der Länge Schreibe (2) als Check: (4) gelte und im Limes
5 Verallgemeinertes Funktional: [reproduziert (24.3), also auch Im Limes diskreter Index kontinuierlicher Index Euler-Lagrange für : Fazit: Lagrange-Multiplikator wird eine Funktion v. x Variation nach reproduziert NB: Variation nach gilt für alle Formal: Variation nach Formal: "Funktionalableitung": Ableitung eines Funktionals nach einer Funktion!
6 Hamiltonprinzip für System mit holonomen NB liefert LG1 Betrachte mit Zwangsbedingungen: also: Koordinaten sind nicht unabhängig, also keine guten verallg. Koordinaten Wirkung: HP besagt: Dynamische Evolution so, dass wobei Variationsproblem mit holonomen NB! Erweiterte Lagrange-Funktion: EL(25.6): Fazit: Bemerkungen zu HP Elegante, kompakte Formulierung der dyn. Evolution in einer einzigen Gl. Hilft jedoch nicht für praktische Lösungen: ELG muss sowieso gelöst werden L ist sehr einfach zu bestimmen beschreibt Zwangskräfte
7 Zusammenfassung: Variation mit Nebenbedingungen Variation mit NB für die Variablen sei extremal, mit NB Lösungsweg: Extremiere nach "Lagrange-Multiplikator (LM)" Variation mit "isoperimetrischen" NB für die Funktionen legt einen Parameter fest sei extremal, mit NB Lösungsweg: Extremiere mit Variation bezüglich : ELG Variation bezüglich : Zusammenfassung: Variation mit Nebenbedingungen Variation mit holonomen NB für die Funktionen muss für jedes x gelten, legt also eine Funktion fest sei extremal, mit NB Lösungsweg: Extremiere mit Variation bzgl Variation bezüglich Hamiltonprinzip für System mit holonomen NB: Wirkung: Dynamische Evolution so, dass wobei Erweiterte Lagrange-Funktion: Variation bezüglich Variation bezüglich
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Differentialund Integralrechnung Von G. M. Fichtenholz Mit 168 Abbildungen Dreizehnte Auflage /' M^ntrKkiVr.. s^os«^
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Stroppel Musterlösung 0. 09. 03, 80min Aufgabe 7 Punkte) Gegeben seien folgende Potenzreihen: ) n fx) = n xn, gx) = n= + ) n n x+) n. 3 n= a) Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius und den Entwicklungspunkt.
f(x, y) = 0 Anschaulich bedeutet das, dass der im Rechteck I J = {(x, y) x I, y J}
9 Der Satz über implizite Funktionen 41 9 Der Satz über implizite Funktionen Wir haben bisher Funktionen g( von einer reellen Variablen immer durch Formelausdrücke g( dargestellt Der Zusammenhang zwischen
Klasse ST13a HeSe 13/14 ungr. Serie 14 (Kurvendiskussion, Extremalprobleme)
Klasse ST1a HeSe 1/1 ungr MAE1 Serie 1 (Kurvendiskussion, Extremalprobleme) Aufgabe 1 Bestimmen Sie alle Extremal- und Wendepunkte sowie die Steigung der Wendetangenten für y = f(x) = x 5 65 x + 180x.
Mathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 8. Funktionen von mehreren Variablen Kapitel 8.3 Anwendungen der partiellen Differentiation (Teil 1): Kettenregel und Linearisierung
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.3 Anwendungen (Teil 1): Kettenregel und Linearisierung
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.3 Anwendungen (Teil 1): Kettenregel und Linearisierung www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2
Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. F. Hettlich Dr. S. Schmitt Dipl.-Math. J. Kusch Karlsruhe, den 09.06.20 Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik
1.3.2 Partielle und totale Ableitung
0 1.3. Partielle und totale Ableitung Ziel: Verallgemeinerung der Differential- und Integralrechnung auf mehrere Dimensionen Eine Verallgemeinerung von einfachen (eindimensionalen, 1D skalaren Funktion