Formelsammlung. (diese Version: ) I. Funktionen mit einer unabhängingen (erklärenden) Variable. dy dx. oder. 2 Zweite Ableitungen: f (x)

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1 ormelsammlung Übung zur Einführung in die Volkswirtschaftslehre und Grundzüge der mikroökonomischen Theorie WS 00/0 Jutta Wasserrab / Jens Großer Universität Köln Staatswissenschaftlches Seminar Lehrstuhl Prof. C.C. von Weizsäcker diese Version: I. unktionen mit einer unabhängingen erklärenden Variable Beisiele: + Notationen: abhängige bzw. zu erklärende Variable bei grahischen Darstellungen i.d.r. auf der vertikalen Achse zu finden unabhängige bzw. erklärende Variable bei grahischen Darstellungen i.d.r. auf der horizontalen Achse zu finden a b c... Konstanten f unktion zwischen und Erste Ableitungen: f bzw. df d oder d d d f d Zweite Ableitungen: f bzw. oder d d alls mit verschiedenen unktionen gearbeitet wird : g h... f. Bei verschiedenen unktionen: f g h... df dg dh bzw.... d d d.

2 bei mehreren unktionen f g h d f d h d bzw. oder d d d d d d d Ableitungsregeln: f a f 0 Konstante unktionen Regel n f n f c d [ f + g ] d d [ f g ] d d [ f g ] d d [ f g ] d n f n Potenzregel n f cn verallgemeinerte Potenzregel f + g Summenregel f g Subtraktionsregel f g + g f Produktregel f g g f [ g ] Quotientenregel falls z f und g dann gilt: dz d dz d f g Kettenregel d d Eonentialfunktionen: f e a f be g f e f e bzw. f a abe Eonential-unktion Regel g g e verallg. Eonential-unktion Regel f Logarthmusfunktionen: f ln f Logarithmus-unktion Regel Bei verschiedenen unktionen: g h... d f d g d h f bzw..... d d d

3 f ln g g f verallg. Logarithmus-unktion Regel g Rechenregeln für Logarithmusfunktionen: Im folgenden sind u v Konstanten oder unktionen: ln uv ln u + ln v u v > 0 Logarithmus eines Produktes u ln ln u ln v u v > 0 Logarithmus eines Quotienten v ln u a aln u u > 0 Logarithmus einer Potenz Aufgeaßt: für Summen und Subtraktionen von Logarithmen gilt nicht: ln u ± v ln u ± ln v Otimierung Relative Etrema: Notwendige Bedingung Nullstellenbestimmung: f 0 Hinreichende Bedingung: Relatives Maimum: f < 0 Relatives Minimum: f > 0 Der obere Inde * zeigt an daß es sich um ein Etremum also eine ausgewählten Punkt der unktion handelt. Binomische ormeln: u v können sowohl Konstante als auch Variablen sein manchmal hilfreich bei Berechnung von Etrema u + uv + v u + v u uv + v u v u v u + v u v

4 II. unktionen mit zwei bzw. n unabhängingen erklärenden Variable Beisiele: + Notationen: + + abhängige bzw. zu erklärende Variable... unabhängige bzw. erklärende Variablen Hier wird gleichzeitig n angenommen das die erklärenden Variablen nicht nur unabhängig sind von sondern auch untereinander d.h. sie begrenzen sich nicht gegenseitig. Diese Annahme gilt nicht immer siehe Etrema und Nebenbedingungen f unktion zwischen und den zwei unabhängigen Variablen und 4 Erste artielle Ableitungen: f f bzw. oder f f bzw. oder Wenn deutlich ist was die unabhängigen Variablen sind z.b. aus der Aufgabenstellung kann man auch die verkürzte Schreibweise f und f verwenden. 5 4 alls mit verschiedenen unktionen gearbeitet wird: g h... 5 Bei verschiedenen unktionen: f f g f h bzw. h f f. g h g g h

5 III. Imlizite unktionen bei zwei Variablen: Beisiel: Notationen: 4 f elizite unktion 4 0 imlizite unktion 0 imlizite unktion zwischen und [ bzw 0. denn häufig werden die Variablen auch und genannt ] Sich: 0 beschreibt die unktion f imlizit. Ableitungsregel: d + d 0 d d Motivation: Häufig liegt die elizite unktion nur imlizit vor siehe z.b. Nutzenfunktionen und ein Umformen wäre recht mühsam. Wir zeigen nun anhand von zwei Beisielen wann die Ableitung der imlizite unktionen gebraucht wird bzw. nützlich ist: Beisiel : 4 0 a Ableitung der eliziten unktion: Durch einfaches Umformen erreichen wir: f 4 d f d b Ableitung der imliziten unktion:

6 d d d d Beisiel : a Ableitung der eliziten unktion: Durch Umformen erreichen wir: f 0 0 / f 0 / 0 / 0 b Ableitung der imliziten unktion: d d d d Da aber 0 [siehe a] sind die beiden Nenner der ersten Ableitung gleich und somit beide Ableitungen identisch. Bei etwas schwierigeren unktionen stellt sich die Ableitung der imliziten unktion als die relativ leichtere Alternative heraus. Häufig reicht diese auch aus z.b. wenn man zusätzliche Informationen bezüglich des Otiums hat siehe Budgetgerade und Grenzrate der Substitution der Indifferenzkurve. IV. Etrema und Nebenbedingungen: Motivation: Hier sind die erklärenden Variablen und nicht mehr unabhäging voneinander z.b. muß + 60 sein Beisiel: Budgetgerade

7 Lagrange-Multilikator Methode: Notationen: z f und g c Restriktion L f + λ [ c g ] Lagrange-unktion Otimierung: Notwendige Bedingungen L L L λ c g 0 f f λg λg 0 0 Beisiel : U Nutzenfunktion und Y + Budgetbeschränkung a Otimierung mit der Lagrange-Multilikator-Methode: L U + λ Y Lagrange-unktion Erste Ableitungen: Y 0 L λ L U λ 0 L U λ 0 Auflösen: λ λ U U und U λ U U U Vergleiche dieses Ergbenins mit der grahischen Herleitung

8 V. Präferenzen Notationen: B A f [ bzw. A > B] B A ~ [ bzw. A B] B A [ bzw. A < B] Aiome rationalen Verhaltens: Vollständigkeit: Die Menge der möglichen Relationen zwischen allen Alternativen. Bei zwei Alternativen sind dies: A f B A ~ B A B Transitivität: A f B B f C A f C VI. Homogenität von unktionen und Skalenerträge Definition: Eine unktion f... mit... > 0 ist homogen vom Grade r falls für jedes t > 0 N N r f t... t t f... gilt. N N alls das nicht gilt wird die unktion inhomogen genannt. Beisiele: t 0 f f t t t f f also ist die t unktion homogen vom Grade 0.

9 / f f t t t t / t / t / t f tf also ist die unktion homogen vom Grade. Cobb-Douglas Produktionsfunktion: Q v v v v α β α β α+ β α β α + β Q tv tv tv tv t v v t Q v also ist die unktion v homogen vom Grade Skalenerträge: α+ β. Bei roortionaler Variation der Inutfaktoren bei Produktionsfunktionen: t < abnehmende Skalenerträge diseconomies of scale t konstante Skalenerträge t > zunehmende Skalenerträge economies of scale VII. Zinseszinsfaktor e wobei r Zinsatz und T Periode. Herleitung: Diskrete Zeitabstände: K K0 + r K K0 + r + r... K T K0 + r T Kontinuierliche Zeitabstände d.h. der Zins häuft sich kontinuierlich übers Jahr an: K T K0e Wird aus der diskreten ormel wie folgt hergeleitet:

10 K T K0 + r T r K 0 + T r r K + 0 m r m K m + 0 lim + e m m m r T lim K 0 + K0 m m e m Beisiel: Die Kosten k T we aus dem Kaital- und Zinsmodell von Böhm-Bawerk.