Grundlagen der Differentialrechnung i) Einführung

Transkript

1 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler i) Einführung Regine Brunner,

2 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler i) Einführung Verhalten einer Funktion bestimmt wirtschaftliche Entscheidungen Bsp.: Lohnt sich eine Investition? In welchem Umfang sollte produziert werden? Wie verändern sich Kosten/Gewinn, wenn mehr produziert wird? In welchem Verhältnis sollten Arbeit und Kapital eingesetzt werden? Wie verändert sich dieses Verhältnis, wenn Arbeit/Kapital teurer wird? Regine Brunner,

3 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler i) Einführung Verhalten einer Funktion bestimmt wirtschaftliche Entscheidungen Anstieg der jeweiligen Funktion benötigt: wie verändert sich der Funktionswert, wenn die unabhängige Variable um h Einheiten verändert wird? Regine Brunner,

4 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler i) Einführung y y = f() dy Durchschnittlicher Anstieg der Funktion im Intervall ([ 0 ; 0 +h],[y ][y 0 ; y ]) ist dy/d y h d 0 = h Regine Brunner,

5 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler i) Einführung y = f() y dy y 0 Durchschnittlicher Anstieg der Funktion im Intervall ([ 0 ; 0 +h ],[y 0 ; y ]) ist dy/d 0 d = h 0 +h 0 +h Regine Brunner,

6 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler i) Einführung y = f() y dy y 0 Durchschnittlicher Anstieg der Funktion im Intervall ([ 0 ; 0 +h ],[y 0 ; y ]) ist dy/d 0 0 +h 0 +h 0 +h d = h Regine Brunner,

7 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler i) Einführung y = f() y 0 Anstieg der Funktion im Punkt ( 0, y 0 )ist dy/d mit d = h 0 0 Regine Brunner,

8 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler i) Einführung Herleitung des Anstiegs einer Funktion im Intervall ([ 0 ; 0 +h], [f( ( 0 ); f( ( 0 +h)]) dy f (0 h)- f ( 0 d h ) Regine Brunner,

9 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler i) Einführung Herleitung des Anstiegs einer Funktion im Punkt (( 0, f( ( 0 )) dy lim f (0 h)- f ( 0 h 0 d h ) Regine Brunner,

10 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler i) Einführung Ein Beispiel: i f( () = 7² dy f ( 0 h)- f ( 0 d h ) 7( 0 h)² 3( 0 h) ² 30 4 (Veränderung im Funktionswert relativ zur Veränderung in der unabhängigen h Variable) Regine Brunner,

11 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler i) Einführung Ein Beispiel: i f( () = 7² dy 7( h)² 3( 0 h) ² 3 0 d h 0 4 In f() wird =( 0 + h) eingesetzt f( 0 + h) (neuer Funktionswert aus veränderter Variable ) Regine Brunner,

12 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler i) Einführung Ein Beispiel: i f( () = 7² dy 7( h)² 3( 0 h) ² 3 0 d h 0 4 In f() wird = 0 eingesetzt f( 0 ) (alter Funktionswert aus unveränderter Variable ) Regine Brunner,

13 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler i) Einführung Ein Beispiel: i f( () = 7² dy 7( h)² 3( 0 h) ² 3 0 d h 0 4 Binomische Formel (und Klammern) aufgelöst: 7 ² 140h 7h² 30 3h ² 3 0 h 0 4 Regine Brunner,

14 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler i) Einführung Ein Beispiel: i f( () = 7² dy 7( h)² 3( 0 h) ² 3 0 d h 0 7 ² 140h 7h² 30 3h ² 3 0 h 0 Zusammengefasst: h 7h² 3h h Regine Brunner,

15 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler i) Einführung Ein Beispiel: i f( () = 7² dy 7( h)² 3( 0 h) ² 3 0 d h 0 7 ² 140h 7h² 30 3h ² 3 0 h h 7h² 3h h h gekürzt: h 3 Regine Brunner,

16 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler i) Einführung Ein Beispiel: f () = 7² dy d dy d h h Entspricht der 1. Ableitung der Funktion an der Stelle 0 dy f ( h)- f ( ) Eistiert f '( ) lim 0 0 0, dann ist f an der Stelle d h0 h 0 differenzierbar. Das Finden der Ableitung heißt Differentiation. Regine Brunner,

17 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler ii) Zweidimensionale Funktionen Regine Brunner,

18 Zweidimensionale Funktionen : eine abhängige und eine unabhängige Variable Beispiele: f() = f() = 3² 2 1 f() = ln Regine Brunner,

19 Ableitung einfacher Funktionen Grenzwertberechnung kein Problem Aber wie können wir komplizierte Funktionen differenzieren? Beispiel: 3 3² 2e 1 f ( ) 4 ln( 5 ) Vereinfachende Ableitungsregeln hilfreich! Regine Brunner,

20 Notation: Für y = f() sind f '( ), y', dy d, f ( ) der 1. Ableitung von f an der Stelle verwendbar. und f synonym als Kennzeichnung Regine Brunner,

21 Einfache Regeln der Differentiation Y 1.) Konstanten f() = A A f () f () = 0 Regine Brunner,

22 Einfache Regeln der Differentiation 1.) Konstanten Beispiel: Zusammenhang zwischen Luftfeuchtigkeit F in % und Ihrem Kontostand M in. Nehmen Sie an, Sie hätten 10 auf Ihrem Konto. Wie reagiert Ihr Kontostand auf Veränderungen in der Luftfeuchtigkeit? M = g(f) = 10 g (F) = 0 Regine Brunner,

23 Einfache Regeln der Differentiation 2.) Verschiebung um eine Konstante f() = A + g() Y f () g() () f () = g () A Regine Brunner,

24 Einfache Regeln der Differentiation 2.) Verschiebung um eine Konstante Bi Beispiel illh Lohn eines Verkäufers: käf Ein Verkäufer bekommt ein festes Grundgehalt F sowie eine Provision, d.h. einen bestimmten Prozentsatz v vom Umsatz U. Wie verändert sich dann sein Lohn L, wenn der Umsatz steigt? L L = f(u) = v U + F L = f (U) f (U) f(u) = v F U Regine Brunner,

25 Einfache Regeln der Differentiation 3.) Vervielfachung f() = A g() Y f () g() () f () = A g () Regine Brunner,

26 Einfache Regeln der Differentiation 3.) Vervielfachung Bi Beispiel illh Lohn eines Verkäufers: käf Die Geschäftsführung hat beschlossen, die Umsatzbeteiligung zu verdoppeln. Wie verändert sich dann sein Lohn L, wenn der Umsatz steigt? L = f(u) = 2v U + F L f (U) = 2v L = f (U) F U Regine Brunner,

27 einfache Regeln der Differentiation 4.) Addition zweier Funktionen F() = f() + g() Y F() g() F () = f ()+ g () f() Regine Brunner,

28 Einfache Regeln der Differentiation 4.) Addition zweier Funktionen Beispiel Unternehmen: Jeder Angestellte A verursacht dem Unternehmen monatlich Lohnkosten w und Kaffeekosten k (nehmen Sie an, das Unternehmen stellt den Kaffee). Wie verändern sich die Gesamtkosten C des Unternehmens mit steigender Angestelltenzahl? C = f(a) = w A+k A f (A) = w + k Regine Brunner,

29 Weitere Regeln der Differentiation 5.) Potenzen f() = a mit a = konst. f () = a a-1 Regine Brunner,

30 Weitere Regeln der Differentiation 5.) Potenzen; Beispiel: f()= 1 4 f ()= 4 f ()= Regine Brunner,

31 Weitere Regeln der Differentiation 6.) Multiplikation zweier Funktionen F() = f() g() F () = f () g() + g () f() Regine Brunner,

32 Weitere Regeln der Differentiation 6.) Multiplikation zweier Funktionen; Beispiel: f() = (10+)² (+5)³ f ()=2(10+) (+5)³ + 3(+5)² (10+)² f ()= (10+) (+5)² [5+40] Regine Brunner,

33 Weitere Regeln der Differentiation 7.) Division zweier Funktionen F( ) f ( ) g( ) F' ( ) f ' ( ) g( ) g' ( g( ) 2 ) f ( ) Regine Brunner,

34 Weitere Regeln der Differentiation 7.) Division zweier Funktionen; Beispiel: (10 )² f() = ( 5)³ f ()= f()= f ()= ) 2(10 ) ( 5)³ - 3( 5)² (10 6 ( 5 ) (10 ) 20 4 ( 5 ) )² Regine Brunner,

35 Weitere Regeln der Differentiation 8.) verkettete Funktionen F() = f(g()) F () = f (g()) g () äußere Ableitung mal innere Ableitung Besonderheit: eine Veränderung in verändert tden Funktionswert t g() () und darüber auch f(g()). Regine Brunner,

36 Weitere Regeln der Differentiation 8.) verkettete Funktionen; Beispiel: f() = f ()= f ()= Regine Brunner,

37 Weitere Regeln der Differentiation 9.) Eponentialfunktionen a) die natürliche Eponentialfunktion f() = e f ()= f()= e b) allgemeine Eponentialfunktionen f() = a f () = a lna Regine Brunner,

38 Weitere Regeln der Differentiation 9.) Eponentialfunktionen a) die natürliche Eponentialfunktion; Beispiel: f() = e -(3+2) ² f ()= e -(3+2) 2)² ² [-2 (3+2)[ 3] (3 2)² f ()= 6 (3+2) e -(3+2) Regine Brunner,

39 Weitere Regeln der Differentiation 9.) Eponentialfunktionen b) allgemeine Eponentialfunktionen; Beispiel: f() = 2 2 f () f() = 2 2 ln2 f () = 2 2 ln(2) 2 f () = ln(2) Regine Brunner,

40 Weitere Regeln der Differentiation 10.) ln Funktionen f() ln( ( ), für 0 ln( ), für 0 f '( ) , für, für 0 0 Regine Brunner,

41 Weitere Regeln der Differentiation 10.) ln Funktionen; Beispiel: f() ln( 2 ) f ' ( f ' ( ) ) 1 ( 2 ) 2 1 Regine Brunner,

42 Regeln der Differentiation Zurück zu unserem Beispiel: f ( ) 3 3² 2e 1 ln( 4 5 ) Keine Panik. Wir zerlegen uns gedanklich die Funktion und planen das Vorgehen: 1. Schritt) Äußerste Form ist ein Bruch mit im Zähler und Nenner. Hierfür werden wir dann wohl die Quotientenregel benutzen. Das sieht dann so aus: f () = (Ableitung des Zählers Nenner) (Ableitung des Nenners Zähler) Nenner² Regine Brunner,

43 1. Schritt) Definieren wir nun den Zähler als g() und den Nenner als h(), sieht das Ganze so aus: f '( ) g' ( ) h( ) g( ) h' ( h( ) 2 ) 2Shitt)N 2. Schritt) Nun gilt es nur noch die Ableitungen für Zähler und Nenner zu finden 3 a) g() = 3² 2e 1 = 1/ 3 3² 2e 1 Hier ist die äußere Funktion eine simple Potenzfunktion und die innere Funktion die Summe aus Potenz-, Eponentialfunktion und einer Konstanten. DAS können wir problemlos ableiten. Wir erinnern uns, dass die Kettenregel besagt: äußere Ableitung innere Ableitung Regine Brunner,

44 2. Schritt) a) Dann fügen wir also zusammen: Äußere Ableitung ist:... Innere Ableitung ist: 1/ 3' 1 2 / 3... Ableitung des Zählers lautet t also: 3 ' 3² 2e 1 6 2e g' ( ) ² 2e 1 6 2e Regine Brunner,

45 2. Schritt) b) h( ) ln( 5 ) 4 Äußere Funktion ist hier die ln-funktion. Das ist einfach Wer gut aufgepasst hat, weiß, dass die innere Funktion wieder nur eine Differenz aus zwei Potenzfunktionen ist. Fügen wir also wieder zusammen: Äußere Ableitung ist: Innere Ableitung ist: Ableitung des Nenners: ln(...) 1 (...) 4 1/ 2 ' 3 1 1/ h' ( ) / Regine Brunner,

46 3. Schritt) Nun müssen wir das Puzzle noch zusammensetzen aus 1) f ' ( ) g' ( ) h( ) g( ) h' ( h( ) 2 ) 2 1 aus 2a) g() = 3 ² 2e 1 1 / 3 ; g' ( ) 3² 2e e 3 4 aus 2b) h( ) ln( 5 ) ; h' ( ) / 2 5 Regine Brunner,

47 3. Schritt) Nun müssen wir das Puzzle noch zusammensetzen sodass: f ' ( ) g' ( ) h( ) g( h( ) 2 ) h' ( ) f ' ( ) 6 2e l( ln( 3 3² 2e ) 2 3 1/ ² 2e ln( 5 ) Regine Brunner,