Vorkurs Mathematik. Christoph Hindermann. Funktionen, Ableitungen und Optimierung

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1 Kapitel 3 Funktionen, Ableitungen und Optimierung Christoph Hindermann Vorkurs Mathematik 1

2 Vorkurs Mathematik 2

3 3.1 Funktionen Motivation Funktionen reeller Veränderlicher gehören zu den wichtigsten Untersuchungs- und Darstellungsmitteln für die Beschreibung und die Veranschaulichung ökonomischer Sachverhalte und Zusammenhänge. Beispiel: Entwicklung der Gesamtkosten eines Unternehmens in Abhängigkeit der produzierten Menge. Im Einzelnen geht es um die folgenden Themen: Zentrale Begriffe und Definitionen; wichtige Eigenschaften von Funktionen Begriff der Konveität Funktionen mit mehreren Variablen Vorkurs Mathematik 3

4 3.1 Funktionen Definition: Abbildung oder Funktion Seien X und Y Mengen. Eine Vorschrift f, die jedem X genau ein y Y zuordnet, heißt Abbildung oder Funktion von der Menge X in der Menge Y. Wir schreiben: f : X Y oder elementweise X f ( )= y Y Die Menge aller Werte, die für zugelassen werden, heißt Definitionsbereich D(f) der Funktion. Die Menge der Werte, die y=f() annimmt, heißt Wertebereich W(f) der Funktion. D( f )=[ 0,+ ) Beispiel: f ( )= 0,5 W ( f )=[ 0,+ ) Was ist der Definitions- und Wertebereich der Funktion: f ( )=( 5) 0,5 Vorkurs Mathematik 4

5 3.1 Funktionen Eigenschaften von Funktionen Gleichheit zweier Funktionen Zwei Funktionen f() und g() heißen gleich, wenn D(f)=D(g) und f()=g() für alle D. Beispiel: f ( )=5 g ( )= Vorkurs Mathematik 5

6 3.1 Funktionen Eigenschaften von Funktionen Beschränktheit von Funktionen Sei f() eine Funktion in ihrem Definitionsbereich D(f). Dann heißt f nach oben beschränkt, falls es eine reelle Zahl k R gibt, so dass für alle D(r) gilt: f ( ) k Analog heißt f nach unten beschränkt falls es ein k R gibt mit f ( ) k für alle D(f). Eine Funktion f heißt beschränkt, wenn f sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. Beispiel: f ( )= lim ± lim = =1 Beurteilen Sie die Beschränktheit der Funktion: f ( )= 1 2 (untere Schranke) (obere Schranke) Vorkurs Mathematik 6

7 3.1 Funktionen Eigenschaften von Funktionen Umkehrfunktionen Eine Funktion y=f() mit D(f), y W(f) heißt eineindeutig, wenn es zu jedem y genau einen Wert gibt. Zur eineindeutigen Funktion y=f() eistiert eine Umkehrfunktion oder inverse Funktion =g( y)= f 1 ( y). Es gilt: D ( f 1 )=W ( f ) und W ( f 1 )=D ( f ). Beispiel: f ( )=5+ f 1 ( )= 5 Gibt es eine Umkehrfunktion zu f()= 2? Vorkurs Mathematik 7

8 3.1 Funktionen Eigenschaften von Funktionen Monotonie Sei I R ein Intervall und f : I R eine Funktion. Dann heißt f() streng monoton steigend, falls für alle 1, 2 I gilt: 1 < 2 f ( 1 )< f ( 2 ) y y= y= 2 für 0 streng monoton fallend, falls für alle 1, 2 I gilt: 1 < 2 f ( 1 )> f ( 2 ) y y=5 y= 1 für 0 Vorkurs Mathematik 8

9 3.1 Funktionen Eigenschaften von Funktionen Monotonie Sei I R ein Intervall und f : I R eine Funktion. Dann heißt f() monoton steigend, falls für alle 1, 2 I gilt: 1 < 2 f ( 1 ) f ( 2 ) y 4 y= { 4 für für >5 monoton fallend, falls für alle 1, 2 I gilt: y 5 1 < 2 f ( 1 ) f ( 2 ) 4 y= { 4 für für >5 5 Vorkurs Mathematik 9

10 3.1 Funktionen Eigenschaften von Funktionen Aufgaben Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen, falls möglich, die inverse Funktion! a) b) c) d) e) f) f ( )= 2 f ( )= f ( )=ln(2 )+ln () f ( )=ln( ) ln (2 ) f ( )=e e 2 f ( )=+ln () Vorkurs Mathematik 10

11 3.1 Funktionen Konveität Konvee Punktmengen Eine Punktmenge K wird als konve bezeichnet, wenn zwischen zwei Punkten 1, 2 K alle Punkte der Verbindungsstrecke zwischen diesen Punkten in der Menge K enthalten sind. D.h. es muss für alle möglichen Punkte 1, 2 K gelten: λ 1 +(1 λ) 2 K für alle λ [0, 1] Konvee Menge A B Nicht-konvee Menge A B Vorkurs Mathematik 11

12 3.1 Funktionen Konveität Konvee und konkave Funktionen Sei I R und f : I R eine Funktion. Dabei sei 1, 2 I und λ [0, 1]. Wir sprechen dann von einer konveen Funkion, wenn gilt: f (λ 1 +(1 λ) 2 ) λ f ( 1 )+(1 λ) f ( 2 ) Alternativ sprechen wir von einer konkaven Funktion, wenn gilt: f (λ 1 +(1 λ) 2 ) λ f ( 1 )+(1 λ) f ( 2 ) Vorkurs Mathematik 12

13 3.1 Funktionen Konveität Konvee und konkave Funktionen Konvee Funkion: f (λ 1 +(1 λ) 2 ) λ f ( 1 )+(1 λ) f ( 2 ) f() f( 2 ) λf( 1 )+(1-λ)f( 2 ) f(λ 1 +(1-λ) 2 ) Ist f()= 2 eine konvee Funktion? Nehmen Sie an, dass 1 =1, 2 =3 und λ=0,5. f( 1 ) 1 λ 1 +(1-λ) 2 2 Vorkurs Mathematik 13

14 3.1 Funktionen Konveität Konvee und konkave Funktionen Konkave Funkion: f (λ 1 +(1 λ) 2 ) λ f ( 1 )+(1 λ) f ( 2 ) f() f( 2 ) f(λ 1 +(1-λ) 2 ) λf( 1 )+(1-λ)f( 2 ) Ist f()= 0,5 eine konvee Funktion ( 0)? Nehmen Sie an, dass 1 =1, 2 =4 und λ=0,5. f( 1 ) 1 λ 1 +(1-λ) 2 2 Vorkurs Mathematik 14

15 3.1 Funktionen Konveität Konvee und konkave Funktionen und konvee Mengen Eine andere Möglichkeit die Konveität bzw. Konkavität einer Funktion zu bestimmen bietet der Epigraph bzw. Hypograph. Dabei ist der Epigraph einer reellwertigen Funktion die Menge aller Punkte, die auf oder über ihrem Graph liegen. Dabei gilt, dass der Epigraph einer konveen Funktion eine konvee Menge ist. f() Zeichnen Sie eine konvee Funktion in das nebenstehende Diagramm, deren Epigraph, und die konvee Menge. Vorkurs Mathematik 15

16 3.1 Funktionen Konveität Konvee und konkave Funktionen und konvee Mengen Eine andere Möglichkeit die Konveität bzw. Konkavität einer Funktion zu bestimmen bietet der Epigraph bzw. Hypograph. Dabei ist der Hypograph einer reellwertigen Funktion die Menge aller Punkte, die auf oder unter ihrem Graph liegen. Dabei gilt, dass der Hypograph einer konkaven Funktion eine konvee Menge ist. f() Zeichnen Sie eine konkave Funktion in das nebenstehende Diagramm, deren Hypograph, und die konvee Menge. Vorkurs Mathematik 16

17 3.1 Funktionen Konveität Konvee und konkave Funktionen Sei I R und f : I Reine Funktion. Dabei sei 1, 2 I und λ [0, 1]. Eine streng konvee Funkion liegt vor, wenn gilt: f (λ 1 +(1 λ) 2 )<λ f ( 1 )+(1 λ) f ( 2 ) Alternativ liegt eine streng konkave Funktion vor, wenn gilt: f (λ 1 +(1 λ) 2 )>λ f ( 1 )+(1 λ) f ( 2 ) Vorkurs Mathematik 17

18 3.1 Funktionen Konveität Konvee und konkave Funktionen Alternativ wird in der Prais auch oft die zweite Ableitung auf einem Definitionsbereich untersucht: y f() ist konve auf W, wenn f ' ' ( ) 0 für alle W Beispiel: y=3 2 y' =6 y' ' =6 0 f() ist konkav auf W, wenn f ' ' ( ) 0 für alle W y Beispiel: y=2 0,5 y' = 0,5 y' ' = 0,5 1,5 0 für 0 Vorkurs Mathematik 18

19 3.1 Funktionen Funktionenstypen Polynome vom Grade n: P n ()=a 0 +a 1 +a a n n f() a>0 Lineare Funktionen: f ()=a +b f() a>0 Quadratische Funktionen: f ()=a 2 +b+c Kubische Funktionen: f ()=a 3 +b 2 +c+d f() a<0 Vorkurs Mathematik 19

20 3.1 Funktionen Funktionenstypen Potenzfunktionen f ()= a,a R f() a>1 a=1 Eponent a>0: 1 0<a<1 Eponent a<0: f() >a>-1 a=-1 a<-1 Vorkurs Mathematik 20 Überlegen Sie: Wovon hängt es ab, ob eine Potenzfunktion konkav oder konve ist?

21 3.1 Funktionen Funktionenstypen Eponentialfunktionen f ()=a, a R + {1} 0,5 a 10 e Vorkurs Mathematik 21

22 3.1 Funktionen Funktionenstypen Logarithmusfunktionen f ()=log a ( ), a R + {1} log 2 () ln() log() 0 1 Überlegen Sie: Wovon hängt es ab, ob eine Logarithmusfunktion konkav oder konve ist? log 0,5 () [Des Weiteren werden in diesem Zusammenhang oft noch trigonometrische Funktionen genannt. Diese werden hier jedoch nicht behandelt.] Vorkurs Mathematik 22

23 3.1 Funktionen Funktionen mehrerer Variablen Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen ist eine Abbildung von f :R n R. Bisher: f :R R. Graph: Tupel (,y) beschreibt Linien im R 2. y Erste Erweiterung: z = f (, y) f :R 2 R Graph: Tripel (,y,z) beschreibt Flächen im R 3. Vorkurs Mathematik 23

24 3.1 Funktionen Funktionen mehrerer Variablen Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen ist eine Abbildung von f :R n R. Allgemein: y= f ( 1, 2,, n ) f :R n R Graph: (n+1)-tupel ( 1, 2,, n,y) beschreibt Hyperflächen im R n+1. Merke! Funktionen mit mehreren Variablen nennt man auch oft multivariate Funktionen. Funktionen die nur von einer Variablen abhängen werden univariate Funktionen genannt. Konveität ist analog zu den univariten Funktionen definiert. Vorkurs Mathematik 24

25 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Motivation Neben der reinen funktionalen Zuordnung von Variablen spielt insbesondere in ökonomischen Anwendungen die Frage der Änderungstendenz einer Funktion eine große Rolle: Für den Anbieter eines Gutes auf einem Markt ist es nicht nur wichtig zu wissen, wie hoch sein Erlös bei einem bestimmten (festen) Marktpreis ist, sondern auch, wie sich sein Erlös ändert, wenn sich der Preis ändert. Analysiert man die Auswirkungen einer Lohnerhöhung auf das Güternachfrageverhalten von Haushalten, ist es u.a. wichtig zu wissen, wie die Konsumausgaben der Haushalte sich ändern, wenn das (verfügbare) Haushaltseinkommen um einen bestimmten Betrag ansteigt. Vorkurs Mathematik 25

26 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Differenzenquotient und Differenzialquotient Differenzenquotient Der Differenzenquotient drückt die Änderungstendenz einer Funktion aus. Bei linearen Funktionen sind Differenzenquotient und erste Ableitung identisch. Betrachten Sie die allgemeine lineare Funktion: f ( )= y=n+m Der Anstieg m ist gegeben durch: m= Δ f ( ) Δ = ( f ( 0+Δ ) f ( 0 )) Δ mit Δ = 1 0 Vorkurs Mathematik 26

27 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Differenzenquotient und Differenzialquotient Differenzenquotient Der Anstieg m ist gegeben durch: m= Δ f ( ) Δ = ( f ( 0+Δ ) f ( 0 )) Δ mit Δ = 1 0 y Δ f ( ) m n 0 Δ Vorkurs Mathematik 27

28 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Differenzenquotient und Differenzialquotient Differentialquotient (erste Ableitung) Gegeben sei eine Funktion y=f() mit dem Definitionsbereich D(f). Eistiert für einen Wert 0 D(f) der Grenzwert Δ f ( ) lim = lim Δ 0 Δ Δ 0 f ( 0 +Δ) f ( 0 ) Δ So heißt dieser Grenzwert Differentialquotient oder erste Ableitung der Funktion f and der Stelle 0. Er gibt die Steigung der Funktion an der Stelle f( 0 ) an. Schreibweisen: f ' ( 0 ) y ' ( 0 ) y' = 0 dy d = 0 d f ( ) d = 0 Vorkurs Mathematik 28

29 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Differenzenquotient und Differenzialquotient Differentialquotient (erste Ableitung) Der Anstieg m ist gegeben durch: y m= lim Δ 0 Δ f ( ) Δ = lim Δ 0 f ( 0 +Δ) f ( 0 ) Δ Δ f ( ) m n 0 Δ Vorkurs Mathematik 29

30 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Die Ableitungsfunktion Eistiert zu einer Funktion y=f() in jedem Punkt eines Intervalls I (mit I D(f) ) die erste Ableitung f (), so heißt f (in I) differenzierbar. Die Funktion f, die jedem I die zugehörige (erste) Ableitung f () von f zuordnet, heißt abgeleitete Funktion von f oder Ableitungsfunktion von f. Beispiel: f ( )=2 2 f ' ( )=4 Vorkurs Mathematik 30

31 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Die Ableitung elementarer Funktionen Konstante Funktion Die konstanten Funktion f() c f ( )=c(c R, c=konst.) ist überall differenzierbar und es gilt: f () f ' ( )=0 0 Vorkurs Mathematik 31

32 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Die Ableitung elementarer Funktionen Potenzfunktion f() f()= 2 Die Potenzfunktion f ( )= n (n N) ist überall differenzierbar und es gilt: f () f ()=2 f ' ( )=n n 1 0 Vorkurs Mathematik 32

33 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Die Ableitung elementarer Funktionen Potenzfunktion (Verallgemeinerung) f() f()= 0,5 Ebenso gilt für die Funktionen f ()= m (m Z ; R {0}) f ( )= r (r R ; R + ) dass sie überall differenzierbar sind: f () f ()=0,5-0,5 f ' ( )=m m 1 f ' ( )=r r 1 0 Vorkurs Mathematik 33

34 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Ableitungsregeln 1. Konstanter Faktor: y=c f ( ) mit c=konst. y' =c f ' ( ) Beispiel: y=3 2 y ' =3(2 ) 2. Summenregel: y= f ( )±g ( ) y ' = f ' ( )±g ' ( ) Beispiel: y= ,5 y' =6 +2-0,5 3. Produktregel: y= f ( ) g ( ) y' = f ' ( ) g ( )+ f ( ) g ' ( ) Beispiel: y= ,5 y' = ,5 =24 1,5 +6 1,5 =30 1,5 Vorkurs Mathematik 34

35 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Ableitungsregeln 4. Quotientenregel: y= f ( ) mit g ( ) 0 y ' = g( ) Hinweis: Oft ist es einfacher, den Quotienten in ein Produkt umzuformen, sodass die Produktregel angewandt werden kann. Beispiel: y= 3 2 y' = 6 4 0, ,5 4 0, Kettenregel: y= f ( g()) y ' = f ' (z ) g ' ( ) f ' ( ) g ( ) f ( ) g ' ( ) g ( ) 2 = 24 1,5 6 1,5 16 = 9 8 0,5 Hinweis: Hierbei ist f(z) die äußere Funktion und g() die innere Funktion. Beispiel: y=(3+ 4 ) 3 y' =3(3+ 4 ) 2 (4 3 ) Vorkurs Mathematik 35

36 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Ableitungsregeln 6. Ableitung einer Logarithmischen Funktion: y=ln g ( ) mit g ( )>0 y' = g ' ( ) g( ) Beispiel: y=ln 2 2 y' = 4 = Ableitung einer allgemeinen natürlichen Eponentialfunktion: y=e g( ) y' =g ' ( ) e g ( ) Beispiel: y=e (2 2 ) y' =4 e (2 2 ) [Es eistieren weitere Regeln, diese werden hier aber nicht behandelt.] Vorkurs Mathematik 36

37 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Ableitungsregeln Aufgaben Leiten Sie die folgenden univariaten Funktionen ab! a) f) b) g) c) f ( )=(ln ) 2 e h) d) i) e) f ( )=e f ( )=2 ln +ln 3 f ( )= f ( )= 1 2+ f ( )= f ( )=(5 3) 5 f ( )=( ) 4 f ( )= 3 ( ) 5 Vorkurs Mathematik 37

38 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Höhere Ableitungen Zweite Ableitungen Gegeben sei eine differenzierbare Funktion y=f(). Ist ihre erste Ableitung f () ihrerseits differenzierbar, dann heißt f zweimal differenzierbar. Die erste Ableitung von f () heißt dann zweite Ableitung der Funktion y=f(). Wir schreiben: d 2 y d 2 d 2 f ( ) d 2 y' ' f ' ' ( ) Beispiel: y=3 2 y' =6 y' ' =6 Vorkurs Mathematik 38

39 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Höhere Ableitungen n-te Ableitungen Gegeben sei eine differenzierbare Funktion y=f(). Ist diese n-fach differenzierbar, so kann die n-te Ableitung von f als (erste) Ableitung der (n-1)-ten Ableitung von f gebildet werden. Wir schreiben: d n y d n d n f ( ) d n y (n) f (n) ( ) Vorkurs Mathematik 39

40 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Partielle Ableitungen Partielle Ableitung erster Ordnung Gegeben sie die Funktion z = f (, y). Eistieren für alle Punkte (, y) D ( f ) die Grenzwerte lim Δ 0 f ( +Δ, y) f (, y) Δ und f (, y) lim Δ y 0 f (, y+δ) f (, y) Δ y f (, y) y so heißt die Funktion partiell differenzierbar nach und y. Vorkurs Mathematik 40

41 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Partielle Ableitungen Partielle Ableitung erster Ordnung Die partiellen Differentialquotienten nennt man auch die partielle Ableitung erster Ordnung. Man schreibt für die partielle Ableitung nach : nach y: f (, y) f (, y) y f ' (, y) f ' y (, y) Beispiel: f (, y) =3 y 2 +2( y) ( y) f (, y)=3 y 2 +( y) 2 f (, y) =6 y+2( y) ( ) y Vorkurs Mathematik 41

42 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Partielle Ableitungen Partielle Ableitung erster Ordnung Verallgemeinerung Gegeben sei die Funktion y=f( 1, 2,, n ). Die erste Ableitung von f nach einem beliebigen i (i=1,,n) mit j =konstant für alle i j heißt partielle Ableitung der Funktion f nach i und wird wie folgt bezeichnet: f ( y) i f ( 1,, n ) i f ' i ( 1,, n ) Vorkurs Mathematik 42

43 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Höhere partielle Ableitungen Partielle Ableitung zweiter Ordnung Gegeben sei eine Funktion mit n unabhängigen Variablen y=f( 1,, n ) und deren n partiellen Ableitung erster Ordnung: f ( y) i mit i=1,...,n Leitet man diese wiederum partiell nach den Variablen j (j=1,,n) ab, so erhält man n 2 partielle Ableitungen zweiter Ordnung der Funktion f. 2 y i j 2 f i j f ' i j ( 1,..., n ) Vorkurs Mathematik 43

44 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Höhere partielle Ableitungen Partielle Ableitung zweiter Ordnung Gegeben sei eine Funktion mit n unabhängigen Variablen y=f( 1,, n ) und deren n partiellen Ableitung erster Ordnung: f ( y) i mit i=1,...,n Wird zweimal nach derselben Variable differenziert, so schreibt man 2 y i i meist: 2 y i 2 Vorkurs Mathematik 44

45 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Höhere partielle Ableitungen Aufgaben Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung. a) f (, y)=+ y f) b) f (, y)= y g) c) f (, y)= 2 + y 2 h) d) i) f (, y)=e 0.5 +e 0.5 y f (, y)=+ y y f (, y)=2 y+2 f (, y)= 2 y 2 f (, y)=a α y β e) f (, y)=ln( 2 )ln( y) Vorkurs Mathematik 45

46 3.2 Grundlagen der Differentialrechnung Höhere partielle Ableitungen Aufgabe Die gesamtwirtschaftliche Produktion lässt sich mittels der Produktionsfunktion darstellen, wobei N die Menge an Arbeit und K die Menge an Kapital darstellt: Y (N, K )=N α K β ; 0 <α,β<1 a) Zeichnen Sie die Produktionsfunktion in einem Y-N-Diagramm. b) Bilden Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung. Interpretation? c) Bilden Sie die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung. Interpretation? d) Zeichnen Sie, im obigen Y-N-Diagramm die Auswirkung, wenn sich der Kapitalstock K erhöht. Vorkurs Mathematik 46

47 3.3 Optimierung Allgemein versteht man unter Optimierung das Auffinden von Etremwerten einer Funktion. Wir wollen uns in diesem Kapitel darauf beschränken, differenzierbare Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung auf ihre Etremwerte hin zu untersuchen. Das Lösen von Optimierungsproblemen stellt die mit Abstand wichtigste Anwendung mathematischer Methoden in ökonomischen Anwendungen dar. Zum Beispiel nehmen wir an, das ein Unternehmer seinen Gewinn maimieren möchte: G= p Erlös Kosten Die Frage ist nun, was die optimale Produktionsmenge ist, wenn der Preis p 10, 20 oder 30 beträgt. Vorkurs Mathematik 47

48 3.3 Optimierung Die grafische Lösung würde wie folgt aussehen: G= p Erlös Kosten Vorkurs Mathematik 48

49 3.3 Optimierung Monotonie differenzierbarer Funktionen Gegeben sei eine differenzierbare Funktion. Gilt für alle : f ' ( ) 0 a), so ist f im Intervall I monoton steigend; f ' ( ) 0 b), so ist f im Inverall I monoton fallend. f ' ( )=0 y= f ( ) I D( f ) I Gilt nur für höchstens abzählbar viele so ist f streng monoton steigend bzw. fallend. y Monoton fallend Streng monoton steigend Streng monoton fallend Monoton steigend Vorkurs Mathematik 49

50 3.3 Optimierung Krümmungsverhalten differenzierbarer Funktionen Gegeben sei eine differenzierbare Funktion. Gilt für alle : f ' ' ( )>0 a), so ist f im Intervall I konve; y= f ( ) I D( f ) f f f Beispiel: y= 2 f f f f ' ' ( )<0 b), so ist f im Intervall I konkav. Beispiel: y= 0,5 Vorkurs Mathematik 50

51 3.3 Optimierung Notwendige und hinreichende Bedingung für einen Etremwert y= f ( ) Gegeben sei eine differenzierbare Funktion. Notwendige Bedinung für einen Etremwert der Funktion an der Stelle 0 D( f ) ist, dass die erste Ableitung null wird: f ' ( 0 )=0 Quadratische Funktion Kubische Funktion Lineare Funktion f f f f ' ( 0 )=0 f ' ( 0 )=0 f ' ( 0 ' )= ein Etremwert kein oder zwei Etremwerte keine Etremwerte Vorkurs Mathematik 51

52 3.3 Optimierung Notwendige und hinreichende Bedingung für einen Etremwert y= f ( ) 0 D( f ) Die zweimal differenzierbare Funktion besitze an der Stelle einen stationären Punkt (d.h. es gelte f ' ( 0 )=0). Hinreichende Bedingung für einen Etremwert 0 ist, dass f ' ' ( ) 0 gilt. Inbesondere besitzt f an der Stelle 0 f f a) ein relatives Maimum, wenn f ' ' ( )<0gilt; Beispiel: y= ( 3) 2 +5 f f b) ein relatives Minimum, wenn f ' ' ( )>0 gilt. f f Beispiel: y=( 3) 2 +5 Vorkurs Mathematik 52

53 3.3 Optimierung Notwendige und hinreichende Bedingung für einen Etremwert y= f ( ) Gegeben sei eine differenzierbare Funktion. Notwendige Bedingung für einen Etremwert der Funktion an der Stelle 0 D( f ) ist, dass die erste Ableitung null wird: f ' ( 0 )=0 Zeigen Sie, dass die kubische Funktion f ( )=a 3 +b 2 +c+d zwei Etrema (ein lokales Maimum und ein lokales Minimum) besitzt, wenn b 2 >3 ac gilt. Können Sie auch die Bedinung ableiten, wann eine kubische Funktion keinen Etremwert hat? Warum gibt es streng genommen keine kubische Funktion, die nur einen Etremwert hat? Vorkurs Mathematik 53

54 3.3 Optimierung Notwendige und hinreichende Bedingung für einen Etremwert Zudem unterscheiden wir zwischen lokalen und globalen Etrema. Gegeben sei eine Funktion mit dem Definitionsbereich U R. Lokale Etrema liegen vor, wenn wenn es sich um Etrema innerhalb eines bestimmten Intervalls I=(a,b) des Definitionsbereichs U handelt. Für ein lokales Minimum muss gelten, dass f ( 0 ) f ( ) für alle I. Für ein lokales Maimum muss gelten, dass f ( 0 ) f ( ) für alle I. Globale Etrema liegen vor, wenn es sich um Etrema über den gesamten Definitionsbereich U handelt. Ein globales Minimum liegt vor, wenn f ( 0 ) f ( ) für alle U. Ein globales Maimum liegt vor, wenn f ( 0 ) f ( ) für alle U. Vorkurs Mathematik 54

55 3.3 Optimierung Notwendige und hinreichende Bedingung für einen Etremwert Zudem unterscheiden wir zwischen lokalen und globalen Etrema. Illustration f Globales Maimum Lokales Maimum Globales Minimum Lokales Minimum Beachte: Sofern die Funktionswerte unendlich werden, gibt es keine globalen Maima. Bestimmen Sie die globalen Maima der Funktion f ( )= 2. Gleiches gilt, wenn man die globalen Maima in einem offenen Intervall bestimmen will. Bestimmen Sie die globalen Maima für die Funktion f ( )= 3 ; ( 2 ; 2). Vorkurs Mathematik 55

56 3.3 Optimierung Wendepunkte y= f ( ) D( f ) Gegeben sei eine Funktion. Eine Stelle heißt Wendepunkt, wenn die Funktion links von eine andere Krümmung besitzt als rechts von. Die Wendepunkte einer zweimal differenzierbaren Funktion sind genau die relativen Etrema der ersten Ableitung f ' ( ) von f. Es gilt insbesondere: f a) in einem konve/konkav-wendepunkt ist maimal; f ' y= f ( ) b) in einem konkav/konve-wendepunkt ist minimal. f ' f Vorkurs Mathematik 56

57 3.3 Optimierung Wendepunkte Zur Illustration (anhand einer Sättigungsfunktion) a) in einem konve/konkav-wendepunkt ist maimal; f f f f ' W W W b) in einem konkav/konve-wendepunkt ist f ' minimal. f f f W W W Vorkurs Mathematik 57

58 3.3 Optimierung Wendepunkte Zur Illustration (anhand einer kubischen Funktion) f ( )=0, f ' ( )=0, f ' ' ( )=0,24 4 Beim Wendepunkt gilt, dass f =0 ist. 0,24 W 4=0 W = 52 3 Da f > 0 ist, ist f minimal. Somit haben wir einen konkav/konve-wendepunkt. Vorkurs Mathematik 58

59 3.3 Optimierung Zusammenfassung: Optimierung von Funktionen einer Variablen y= f ( ) D( f ) Die Funktion soll eine differenzierbare Funktion für alle sein. Liegt ein Etremwert im Inneren von D(f), so stellt sich das unbeschränkte Optimierungsproblem wie folgt dar: ma f ( ) min f ( ) Bedingung erster Ordnung f ' ( 0 )=0 f ' ( 0 )=0 Bedingung zweiter Ordnung f ' ' ( 0 )<0 f ' ' ( 0 )>0 Vorkurs Mathematik 59

60 3.3 Optimierung Zusammenfassung: Optimierung von Funktionen einer Variablen Aufgaben Bestimmen und charakterisieren Sie die Etremwerte der folgenden univariaten Funktionen. a) f ( )= 2 1 e) b) f) f ( )= c) g) f ( )=+ 1 f ( )= f ( )= f ( )= 4 (1 ) 2 d) f ( )= Vorkurs Mathematik 60

61 3.3 Optimierung Zusammenfassung: Optimierung von Funktionen einer Variablen Aufgabe Eingangs hatten wir die Gewinnfunktion des Unternehmens definiert: G= p Erlös Kosten a) Ermitteln Sie rechnerisch die gewinnoptimale Menge, wenn p=27 ist. b) Gehen Sie nun davon aus, dass der Preis p unbekannt ist. Ermitteln Sie in Abhängigkeit von p die gewinnmaimale Menge (p). Vorkurs Mathematik 61

62 3.3 Optimierung Zusammenfassung: Optimierung von Funktionen einer Variablen Aufgabe Die Gewinnfunktion des Unternehmens lautet nun: G= p Ermitteln Sie rechnerisch die gewinnoptimale Menge, wenn p=11 ist. Vorkurs Mathematik 62

63 3.3 Optimierung Zusammenfassung: Optimierung von Funktionen einer Variablen Aufgabe Gegeben sei die Funktion: n f ( )= i =1 e 2 π i a) Schreiben Sie die Funktion für n=3 aus. b) Logarithmieren Sie die Funktion aus a) und bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung. Vorkurs Mathematik 63

64 3.4 Grundlegende Integralrechnung Das unbestimmte Integral Integration kann als Gegenteil von Differentation verstanden werden Ist eine Funktion F() differenzierbar, so sei f() ihre erste Ableitung; F() ist dann unbestimmte Integral von f() In Integralschreibweise schreibt man: F ( )= f ( )d dabei ist F() die Stammfunktion von f() f() ist die zu integrierende Funktion (Integrand) d kennzeichnet die Variable, über die integriert wird (hier ) Beispiel: f ( )= 3 F ( )=1/ 4 4 +c wobei c die Integrationskonstante ist Vorkurs Mathematik 64

65 3.4 Grundlegende Integralrechnung Das bestimmte Integral wenn nicht allgemein, sondern in bestimmten Grenzen integriert wird, spricht man vom bestimmten Integral mit dem bestimmten Integral kann man den Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion f() und der Abzisse (-Achse) in einem bestimmten Intervall berechnen man schreibt: b F ( )= a f ( )d, mit a als Unter- und b als Obergrenze Vorkurs Mathematik 65

66 3.4 Grundlegende Integralrechnung Hauptsatz der Integral- und der Differentialrechnung Seien f eine auf dem Intervall [a,b] stetige Funktion und F eine stetige, auf dem offenen Intervall (a,b) differenzierbare Funktion mit f ( )=F ' ( ) für alle (a, b) Dann kann das Integral von f über [a,b] berechnet werden gemäß: b a f ( )=F (b) F (a) Die Lösung des bestimmten Integrals ist unabhängig von der Integrationskonstante c: b a f ( )=F (b)+c ( F (a)+c)=f (b) F (a) Vorkurs Mathematik 66

67 3.4 Grundlegende Integralrechnung Hauptsatz der Integral- und der Differentialrechnung Beispiel: 3 F ( )= 0 3 d 3 f b F ( )= a f ( )d F ( )=[ c]0 F ( )=[ c] [ c] F ( )=20,25 Wie groß ist die Fläche, wenn man von -2 bis +3 integriert? 0 3 Vorkurs Mathematik 67

68 3.4 Grundlegende Integralrechnung Wichtige Integrationsregeln Einfache Eponentenregel Für die (stückweise) stetige Funktion f und c R gilt: a d= 1 a+1 a +1 +c Faktor- und Summenregel Sei [a,b] ein Intervall. Für (stückweise) stetige Funktionen f, g und Zahlen c, d R gilt: b a b c f (t )+d g (t )dt=c a b f (t)dt +d a g (t)dt Vorkurs Mathematik 68

69 3.4 Grundlegende Integralrechnung Wichtige Integrationsregeln Weitere Regeln Für eine auf dem Intervall [a,b] stetige Funktion f gilt: c c f (t )dt=0 und b a a f (t )dt= b f (t)dt Vorkurs Mathematik 69

70 3.4 Grundlegende Integralrechnung Wichtige Integrationsregeln Aufgaben Bestimmen Sie folgende Integrale! a) b) c) d) e) 13 d (t 3 +2 t 3)dt ( 1) 2 d (2 + 2 )d (t 3 t 4 )dt Vorkurs Mathematik 70

71 3.4 Grundlegende Integralrechnung Wichtige Integrationsregeln Aufgabe Ein Unternehmer möchte ein Unternehmen gründen. Typischerweise erzielt der Unternehmensgründer zunächst Verluste ( Death Valley ) und erst nach einer gewissen Zeit Gewinne. Dabei soll folgender Gewinn in Abhängigkeit der Zeit gelten: G=(t 3) 2 9 a) Ermitteln Sie den gesamten Verlust, der innerhalb der ersten sechs Jahre entsteht. b) Hat der Unternehmer in den ersten 10 Jahren insgesamt einen Gewinn erzielt? Falls ja, wie hoch ist dieser? Vorkurs Mathematik 71