Fakultät für Physik Jan von Delft, Olga Goulko, Florian Bauer T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 2012/13. T0: Nachholklausur. Mittwoch,

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2 Fakultät für Physik Jan von Delft, Olga Goulko, Florian Bauer T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 202/3 T0: Nachholklausur Mittwoch, Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studiengang: ECTS-Punkte: 9 / 6 (zutre endes umkreisen) Übungsgruppe: Jede Aufgabe ist auf einem eigenen Blatt zu lösen. Extra Blätter: sind auf Nachfrage von der aufsichtführenden Person erhältlich; sollten (auf jedem Blatt) mit Ihrem Namen und der Nummer der darauf bearbeiteten Aufgabe versehen werden; sollten oben links nicht beschrieben werden, um Platz zum Tackern lassen; sollten bei Abgabe korrekt sortiert zwischen die anderen Aufgaben gelegt werden lösen Sie dazu vor Abgabe die Tackerklammer der Klausurangabe, bringen Sie alle Blättern (inklusive Extrablätter) in die richtige Reihenfolge, und lassen Sie das ganze Paket von der aufsichtführenden Person zusammentackern. Achten Sie darauf, dass alle relevanten Blätter abgegeben werden. Fehlende Aufgaben werden mit null Punkten bewertet. Es sind keine Hilfsmittel erlaubt. Bearbeitungszeit, Gesamtpunktzahl: Bachelor (9 ECTS-Punkte): 80 min für 2 Aufgaben, insgesamt 60 Punkte Lehramt und Nebenfach (6 ECTS-Punkte): 20 min für 8 Aufgaben, ingesamt 40 Punkte Für Lehramt und Nebenfach: Es dürfen beliebige 8 der 2 Aufgaben bearbeitet werden; die ersten 8 befassen sich mit dem für Lehramt und Nebenfach relevanten Sto. Werden mehr als 8 Aufgaben bearbeitet, dann wird die Gesamtpunktzahl aus der Summe der besten 8 gebildet. Aufgabe Summe Punktzahl Erreichte Punktzahl Korrektor

3 Aufgabe. Integrale mit der -Funktion (a) (b) Lösen Sie die folgenden Integrale I a = I b = ˆ ˆ dx (x dx (x 2 )cos(x)sin(3x) ) [ln(x)+cos(2 x)] (c) I c = ˆ dx (x 2 4)e x2 2

4 Aufgabe 2. Diagonalisierung einer hermitischen 3 3 Matrix (a) Finden Sie die Eigenwerte und normierten Eigenvektoren für folgende Matrix: M 0 i A. 0 i (b) Konstruieren Sie mit den Ergebnissen aus (a) eine diagonalisierende Ähnlichkeitstransformation S für M, sowie deren Inverse, S. (c) Überprüfen Sie durch explizites Ausmultiplizieren, dass die in (b) konstruierte Ähnlichkeitstransformation S die Matrix M wirklich diagonalisiert. 3

5 Aufgabe 3. Basistransformation in 2 : Streckung und Drehung a) Die Skizze zeigt zwei Basen für den Euklidischen Raum 2 : Basis = {v, v 2 } und Basis 2 = {v 0, v 0 2}. Finden Sie die durch v j = v 0 it ij definierte Basistransformation T von Basis 2 zu Basis explizit. v 2 v 2 v b) Diese Basistransformation läßt sich als Kombination T = SD einer Streckung S gefolgt von einer Drehung D schreiben. Finden Sie S und D explizit. v c) Finden Sie T. d) Gegeben sei der Euklidische Vektor a = v 0 ix 0 i 2 2, mit Koordinatenvektor x 0 =(, ) T bezüglich der Basis 2. Zeichnen Sie a in die Skizze ein. Berechnen Sie mittels einer Basistransformation den Koordinatenvektor x von a bezüglich der Basis. Vergewissern Sie sich mittels der Skizze, dass die Koordinatenvektoren x und x 0 denselben Euklidischen Vektor a darstellen. 4

6 Aufgabe 4. Linienintegral in Cartesischen und krummlinigen Koordinaten Gegeben Sei das Vektorfeld 0 0 F 0A z z Berechen Sie explizit das Linienintegral dr F von a=(, 0, 0) T nach b =(0, 0, ) T entlang den folgenden zwei Wegen: b (a) : eine gerade Linie; (b) 2: ein Segment eines Kreises mit Radius R = um den Ursprung. 2 y (c) Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Ergebnissen in (a) und (b)? Erläutern Sie! a x 5

7 Aufgabe 5. Volumenintegral mit Zylinderkoordinaten Berechnen Sie in Zylinderkoordinaten das Volumenintegral ˆ I = dv z G über dem Gebiet G = {r apple z apple, 0 apple apple 2, apple z( + cos( ))}. 6

8 Aufgabe 6. Taylor-Entwicklung um x 0 = Entwickeln Sie die Funktion f(x) =e x ln(x) um x 0 =biseinschließlichderordnungo(x x 0 ) 2. 7

9 Aufgabe 7. Iteratives Lösen einer Di erentialgleichung für ẋ Lösen Sie folgende Di erentialgleichung für die Funktion x(t) iterativmittelseinerreihenentwicklung für kleine t, bis einschließlich der 2.Ordnung: ẋ +sint = p x, x(0) =. 8

10 Aufgabe 8. Fourier-Transformation von te t Berechnen Sie die Fourier-Transformierte f(!) = ˆ dt f(t)e i!t der Funktion f(t) =te t, wobei > 0einepositiveKonstanteist. 9

11 Aufgabe 9. Inhomogene lineare Di erentialgleichung, Variation der Konstanten Die Funktion x(t) erfülle die inhomogene lineare Di erentialgleichung ẋ + tx =e t2 2, mit Anfangsbedingung x(0) =. () (a) Finden Sie die Lösung x h (t) derentsprechendenhomogenendi erentialgleichung. (b) Finden Sie die partikuläre Lösung x p (t) derinhomogenendi erentialgleichung () mittels Variation der Konstanten. 0

12 Aufgabe 0. Inhomogene lineare Di erentialgleichung, Green sche Funktion Die Funktion x(t) erfülle die inhomogene lineare Di erentialgleichung ẋ + x =2t. (2) (a) Wie lautet die definierende Gleichung für die entsprechende Green sche Funktion G(t)? (b) Finden Sie G(t), indem Sie die in (a) angegebene Gleichung Fourier-transformieren mittels G(t) = G(!)e i!t,dann G(!) bestimmen und schließlich rücktransformieren. d! 2 Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis folgendes Integral verwenden (gilt für eine beliebige positive Konstante a): ˆ d! e i!t für t 0 2 a i! = e at (t), wobei (t) = 0 für t<0. (c) Finden Sie nun mittels G(t) einepartikuläre Lösung x p (t) derdi erentialgleichung (2).

13 Aufgabe. Fluß des Feldes einer Punktladung durch eine Kugelschale Satz von Gauß Betrachten Sie das Vektorfeld 0 F(r) = r r = ya, 3 r 3 z mit r =(x, y, z) T 6= 0, r = p x 2 + y 2 + z 2. (a) Berechnen sie den Fluss K = O K ds F durch die Oberfäche O K einer am Ursprung zentrierten Kugel K mit Radius R>0: K = {r r<r}. (b) Berechnen Sie [mittels des Ergebnisses von (a)] den Fluss S = O S ds F durch die Oberfläche O S einer am Ursprung zentrierten Kugelschale S, die inneren Radius R > 0 und äusseren Radius R 2 hat: S = {r R apple r apple R 2 }. (c) Berechnen Sie den in (b) definierten Fluss S mittels dem Satz von Gauß. Berechnen Sie die dafür benötigte Divergenz von F auf zwei Weisen: erstens in Kugelkoordinaten, zweitens in kartesischen Koordinaten. Hinweis: für F = F r e r + F e + F e gilt: r F r (r2 F r r (F sin ' r 2

14 Aufgabe 2. Residuensatz Betrachten Sie die Funktion f(z) = 4z (z 2)(z +) 2. (a) ( Punkt) Geben Sie alle Polstellen von f(z) unddiedazugehörigen Ordnungen an. (b) (4 Punkte) Berechnen Sie jeweils die Integrale f(z)dz für folgende gegen den Uhrzeigersinn verlaufende geschlossene Konturen: () einen Kreis mit Radius R =umz =2; (2) einen Kreis mit Radius R =umz = ; (3) einen Kreis mit Radius R = 4 um den Ursprung. Hinweis: Für eine analytische Funktion f(z) miteinempolm-ter Ordnung bei z 0 ist das entsprechende Residuum gegeben durch: Res(f,z 0 )= h d m (m )! lim z!z 0 dz m i (z z 0 ) m f(z) (mit 0! = ). 3