Musterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Semestrale Mathematik 4 für Physik (Analysis 3) I...

Transkript

1 Note I II Name Vorname Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVESITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik Semestrale Mathematik 4 für Physik (Analysis 3) Prof. Dr. S. Warzel 9. Februar 2, 8:5 9:45 Uhr, MW I Erstkorrektur Hörsaal: eihe: Platz: Hinweise: Überprüfen Sie die Vollständigkeit der Angabe: 7 Aufgaben II Zweitkorrektur Bearbeitungszeit: 9 min Erlaubte Hilfsmittel: zwei selbsterstellte DIN A4-Seiten Bei Multiple-Choice-Aufgaben sind genau die zutreffenden Aussagen anzukreuzen. Bei Aufgaben mit Kästchen werden nur die esultate in diesen Kästchen berücksichtigt. Nur von der Aufsicht auszufüllen: Hörsaal verlassen von bis Vorzeitig abgegeben um Besondere Bemerkungen: Musterlösung

2 . Fluss durch eine Oberfläche [7 Punkte] Sei S : { (x, y, z) 3 5x 2 + y 2 + 6z 2 2 } so orientiert, dass der Normalenvektor vom Ursprung weg zeigt. Berechnen Sie den Fluss von y z F (x, y, z) x + z () x y durch S. Sei V das von S V eingeschlossene Volumen (V ist ein Ellipsoid). Nach dem Satz von Gauß ist der Fluß von F durch die Oberfläche S mit der Divergenz von F verknüpft. Da F divergenzfrei ist, div F x (y z) + y ( x + z) + z (x y), verschwindet die rechte Seite: F n ds S } {{ } V div F dx Bemerkung: Es gibt 2 Punkte auf die Definition des Flusses ist und 2 Punkte auf die Anwendung des Satzes von Gauß.

3 2. Zirkulation durch den and einer Fläche [8 Punkte] Sei S : { (x, y, z) 3 x 2 + y 2 + z 2 z } so orientiert, dass der Normalenvektor vom Ursprung weg zeigt, und y + 4 v(x, y, z) tanh z + 2x cosh(x 2 + z 2 ) + e 4y2 ein Vektorfeld. Bestimmen Sie die Zirkulation von v durch den and von S. Wir benutzen den Satz von Stokes: der and der Halbkugel S ist eine Kreislinie S in der xy- Ebene, die im mathematisch positiven Sinne, also gegen den Uhrzeigersinn, orientiert ist. Nach dem Satz von Stokes können wir alternativ den Fluss von rot v durch irgendeine Oberfläche D mit and S D wählen. Sei D : { (x, y, z) 3 x 2 + y 2 z } die Kreisscheibe in der xy-ebene, die so orientiert sei, dass der Normalenvektor durch n (,, ) gegeben ist. Dann gilt v dr rot v n ds S }{{ } D D D (rot v) x (rot v) y } {{ } denn der Flächeninhalt der Kreisscheibe mit adius ist π. (rot v) x (rot v) y ds(x, y) x (tanh z + 2x) y (y + 4) }{{} }{{} ds(x, y) ds(x, y) π, Alternativ kann man das auch direkt ausrechnen: die Kreislinie wird in Polarkoordinaten parametrisiert. Dann rechnet man nach, dass das Integral gleich π ist, v dr S }{{} 2π 2π Hierbei haben wir benutzt, dass 2π ist sowie D sin φ + 4 sin φ dφ + 2 cos φ + cos φ cosh(cos 2 φ + ) + e 4 sin2 φ }{{} } {{ } dφ ( sin 2 φ 4 sin φ + 2 cos 2 φ ) π + + 2π π. dφ sin 2 φ 2π π dφ cos 2 φ 2π dφ sin φ. Bemerkung: Es gibt 2 Punkte auf die Definition der Zirkulation und 2 Punkte auf die Anwendung des Satzes von Stokes.

4 3. esiduenkalkül [8 Punkte] Seien α,..., α N C paarweise verschieden und (a) f hat bei α k eine f(z) N (z α k ). k hebbare Singularität X Pol. Ordnung Pol 2. Ordnung Pol. Ordnung (b) Bestimmen Sie das esiduum von f bei z α : es α (f) 2 j N wesentliche Singularität α α j (c) Geben Sie den Hauptteil der Laurent-eihe von f um z α an: H(z) : n c n (z α ) n es α (f) z α (d) Bestimmen Sie den Konvergenzradius des Nebenteils N(z) : n c n(z α ) n der Laurent- eihe von f um z α : min { α k α } k 2,..., N [3] Zur Teilaufgabe (d): Da die α k, k,..., N, paarweise verschieden sind, hat f die Partialbruchzerlegung f(z) N k b k z α k b z α + N k2 b k z α k H(z) + N(z) wobei die Konstanten b k es αk (f) die esiduen von f an der Stelle α k sind. Dann ist der äußere Konvergenzradius der Laurent-eihe von f, also der Konvergenzradius des Nebenteils N, gleich dem Abstand zum nächsten Pol. Denn für jedes α k, k 2,..., N, kann (z α k ) um z α entwickelt werden, z α k (α k α ) (z α ) α k α z α ( ) z n α. α k α α k α n α k α Die geometrische eihe konvergiert solange z α < α k α ist. Die Potenzreihe von f konvergiert also, solange alle Potenzreihen zu (z α k ) konvergieren. Der Konvergenzradius ist also der Abstand zum nächsten Pol, min { α k α k 2,..., N }.

5 4. Fourier-Transformation [ Punkte] Gegeben sei f :, f(x) x 2 + ε 2, mit ε >. Berechnen Sie die Fourier-Transformierte ˆf. Die Fourier-Transformierte ist definiert als ˆf(k) 2π dx e ikx x 2 + ε 2. Wir berechnen dieses Integral im Komplexen [2 Punkte]: wir schließen die Strecke [, +] in der komplexen Ebene durch beispielsweise einen Halbkreis γ in der oberen Halbebene. Dann ist das Integral der Funktion e ikz über die Kurve [, +] γ z 2 +ε 2 gleich dem eingeschlossenen esiduum bei +iε mal 2πi, + ( ) dx e ikx x 2 + ε γ 2 + dz e ikz e ikz z 2 + ε 2 +2πi es iε z 2 + ε 2 2πi e ikiε iε + iε π e+εk ε. Das Pluszeichen erklärt sich dadurch, dass [, +] γ im mathematisch positiven Sinne durchlaufen wird. Um zu sehen, für welche k der zweite Term im Grenzfall verschwindet, schätzen wir ihn betragsmäßig ab: dz γ e ikz z 2 + ε 2 π dt ie it e ikeit π 2 e i2t + ε 2 dt e ik(cos t+i sin t) π dt +k sin t e Der Integrand verschwindet genau dann fast überall punktweise für große, wenn k ist. Daher erhalten wir für k ( + ) lim dx e ikx x 2 + ε γ 2 + dz e ikz z 2 + ε 2 dx e ikx x 2 + ε 2 π e+εk ε. Um das Integral für k berechnen zu können, müssen wir die Strecke [, +] nach unten mit einem Halbkreis γ schließen. Dann ist das esiduum an der Stelle iε eingeschlossen. Damit die Kurve im mathematisch positiven durchlaufen wir, lautet die Gleichung in diesem Fall (man achte auf die Integralgrenzen) + dx e ikx x 2 + ε γ 2 + dz e ikz z 2 2πi es + ε2 π e εk ε. ( e ikz z 2 + ε 2 ) 2πi e ik( iε) iε iε Das Integral über den Hilfsweg trägt im Grenzfall nicht bei und wir erhalten so für k dx e ikx e εk x 2 +π + ε2 ε. Die Fourier-Transformierte ˆf ist also gegeben durch ˆf(k) 2π π 2 e ε k ε dx e ikx x 2 + ε 2 π e ε k 2π ε.

6 5. Wärmeleitungsgleichung mit Quellterm [8 Punkte] Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte ĝ(k, t) von g(x, t), so dass für f S() die Funktion ϕ(x, t) : f(y) g(x y, t) dy das Anfangswertproblem ϕ(x, ) f(x) zur Gleichung löst. t ϕ(x, t) ( 2 x m 2) ϕ(x, t) Das Integral aus der Angabe ist die Faltung von f und g in der Ortsvariable x: für alle f, g(, t) L () gilt (Fϕ)(k, t) ˆϕ(k, t) ( F(g(, t) f) ) (k) ( F ( f g(, t)) ) (k) 2π (Ff)(k) (Fg)(k, t) Die Differentialgleichung 2π ˆf(k) ĝ(k, t). kann Fourier-transformiert werden: Diese Gleichung hat die Lösung und man liest ab, dass sein muss. t ϕ(x, t) ( 2 x m 2) ϕ(x, t) t ˆϕ(k, t) (k 2 + m 2 ) ˆϕ(k, t) ˆϕ(k, t) e (k2 +m 2 )t ˆϕ(k, ) e (k2 +m 2 )t ˆf(k) ĝ(k, t) 2π e (k2 +m 2 )t

7 6. echnen mit Distributionen [4 Punkte] Bestimmen Sie die distributionelle Ableitung von f :, { + x f(x) x <. Die distributionelle Ableitung von f kann man ausrechnen, indem man das Integral bei aufteilt: ( d dx f, φ) ( f, φ ) Also ist d dxf(x) 2δ(x). dx f(x) φ (x) + [ φ(x) ] φ() + φ() ( 2δ, φ ) dx φ (x) + dx φ(x) [ φ(x) ] + + dx φ (x) + dx φ(x)

8 7. Operatoren auf Hilbert-äumen [7 Punkte] Sei T λ : L 2 ( n ) L 2 ( n ) der durch (T λ ψ)(x) : λ n /2 ψ(λx) definierte Operator, wobei λ > ist. (a) Bestimmen Sie den adjungierten Operator: (T λ φ)(x) λ n/2 φ( x /λ) (T /λ φ)(x) [3] (b) T λ ist für alle λ selbstadjungiert eine Orthonormalbasis positiv ein orthogonaler Projektor X unitär Seien A, B selbstadjungierte beschränkte Operatoren auf einem Hilbert-aum H. (c) Zeigen Sie, dass aus AB auch BA folgt: (AB) B A BA (a) Seien φ, ψ L 2 ( n ). Dann setzen wir T λ in das Skalarprodukt ein: φ, T λ ψ dx φ(x) (T λ ψ)(x) dx φ(x) λ n /2 ψ(λx) Nach einem Variablenwechsel, y : λx, erhalten wir φ, T λ ψ dy λ n φ( y /λ) λ n /2 ψ(y) dy λ n/2 φ( y /λ) ψ(y) dy (T /λ φ)(y) ψ(y) T /λ φ, ψ. Der adjungierte Operator T λ T /λ ist also gegeben durch [3 Punkte] (T λ φ)(x) (T /λφ)(x) λ n/2 φ( x /λ). (b) Wir müssen zeigen, dass der adjungierte Operator Tλ auch das Inverse Tλ ist. Für jedes φ L 2 ( n ) gilt ( T/λ T λ φ ) (x) λ n/2 (T λ φ)( x /λ) λ n/2 λ n /2 φ ( λ /λ) x φ(x), das heißt Tλ T /λ ist ein Linksinverses. Analog zeigt man, dass Tλ das echtsinverse ist. Somit ist die Adjungierte auch das Inverse, Tλ T λ, und T λ ist unitär.