Differenzialgleichungen
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- Tristan Esser
- vor 8 Jahren
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1 Differenzialgleichungen 1.1 Gewöhnliche DGL 1. Ordnung 1.2 Separable DGL 1.3 Lineare DGL 1.4 Bernoulli-DGL 1.5 Riccati-DGL 1.6 Lösen von DGL durch Substitution & Transformation Differenzialgleichungen 1
2 1. Differenzialgleichungen Klassifizierung Gewöhnliche DGL - Partielle DGL n-ter Ordnung 1. Ordnung Explizite Darstellung Differenzialgleichungen 2
3 2. Gewöhnliche DGL 1. Ordnung - Typisierung Separable DGL Lineare DGL Bernoulli DGL Riccati - DGL Differenzialgleichungen 3
4 2. Gewöhnliche DGL 1. Ordnung - Typisierung Beispiele Separable DGL Lineare DGL Bernoulli DGL Riccati - DGL Differenzialgleichungen 4
5 3. Separable Differenzialgleichungen Lösungsrezept in Schritten für: 1. Ermitteln der konstanten Lösung 2. Separation / Trennung der Variablen 3. Angabe der Lösungsgesamtheit Differenzialgleichungen 5
6 3. Separable Differenzialgleichungen 1. Konstante Lösung : Beispiel: Differenzialgleichungen 6
7 3. Separable Differenzialgleichungen 2. Separation : Beispiel: Differenzialgleichungen 7
8 3. Separable Differenzialgleichungen 3. Lösungsgesamtheit : Beispiel: Konstante Lösung + Lösung durch Separation,,,, Differenzialgleichungen 8
9 4. Lineare Differenzialgleichungen Lösungsrezept in Schritten für: 1. Homogene Lösung 2. Partikuläre Lösung 3. Lösungsgesamtheit Differenzialgleichungen 9
10 3. Lineare Differenzialgleichungen 1. Homogene Lösung : Fragestellung zur Lösung: Welche Funktion wird bei Differenziation reproduziert? Differenzialgleichungen 10
11 3. Lineare Differenzialgleichungen Zu lösen: Ansatz: mit Begründung: Differenzialgleichungen 11
12 3. Lineare Differenzialgleichungen 2. Partikuläre Lösung : Ansatz: Differenzialgleichungen 12
13 3. Lineare Differenzialgleichungen 3. Lösungsgesamtheit : Differenzialgleichungen 13
14 3. Lineare Differenzialgleichungen Lösen von linearen Differenzialgleichungen: Beispiel Aufgabenstellung: DGL-Typ? Umformung: => Lineare DGL Homogene Lösung: Differenzialgleichungen 14
15 3. Lineare Differenzialgleichungen Partikuläre Lösung mit : Lösungsgesamtheit: Differenzialgleichungen 15
16 5. Bernoulli - Differenzialgleichungen Lösungsrezept in Schritten für: Konstante Lösung Rückführung auf eine lineare DGL durch Substitution Resubstitution Lösungsgesamtheit Differenzialgleichungen 16
17 5. Bernoulli - Differenzialgleichungen 1. Konstante Lösung : Für findet man immer eine Lösung durch: Anmerkungen: Ist, so liegt eine lineare DGL vor. Keine Lösung für Differenzialgleichungen 17
18 5. Bernoulli - Differenzialgleichungen 2. Rückführung auf lineare DGL durch Substitution : Substitution : Ansatz: Differenzialgleichungen 18
19 5. Bernoulli - Differenzialgleichungen 2. Rückführung auf lineare DGL durch Substitution : Bernoulli DGL In den Ansatz eingesetzt Differenzialgleichungen 19
20 5. Bernoulli - Differenzialgleichungen 2. Rückführung auf lineare DGL durch Substitution : ergibt Lineare DGL mit Differenzialgleichungen 20
21 5. Bernoulli - Differenzialgleichungen 3. Nach dem Lösen der linearen DGL nach Resubstitution mit: 4. Lösungsgesamtheit : Konstante Lösung, falls gegeben + Lösung der auf die lineare Form zurückgeführte DGL Differenzialgleichungen 21
22 6. Riccati - Differenzialgleichungen 1. Partikuläre Lösung 2. Rückführung auf eine Bernoulli - DGL durch Substitution 2.1 Rückführung auf eine Lineare DGL durch Substitution II 2.2 Resubstitution II 3. Resubstitution I 4. Lösungsgesamtheit Differenzialgleichungen 22
23 6. Riccati - Differenzialgleichungen 1. Partikuläre Lösung : Eine Lösung ist bereits bekannt Eine Lösung muss geraten werden!! Überprüfung von durch Einsetzen in: Differenzialgleichungen 23
24 6. Riccati - Differenzialgleichungen 2. Rückführung auf eine Bernoulli - DGL durch Substitution I : Substitution mit: Ansatz: und Einsetzen der aufgelösten Riccati DGL: Differenzialgleichungen 24
25 6. Riccati - Differenzialgleichungen 2. Rückführung auf eine Bernoulli - DGL durch Substitution I : ergibt Bernoulli -DGL mit Differenzialgleichungen 25
26 6. Riccati - Differenzialgleichungen 3. Nach dem Lösen der Bernoulli DGL nach erfolgt die Resubstitution I : 4. Lösungsgesamtheit : Partikuläre Lösung + Lösung der auf die Bernoulli Form und anschließend auf die lineare Form zurückgeführten DGL Differenzialgleichungen 26
27 6. Riccati - Differenzialgleichungen Beispiel: => Riccati DGL 1. Partikuläre Lösung: => Vermutung für partikuläre Lösung: bzw. Differenzialgleichungen 27
28 6. Riccati - Differenzialgleichungen Überprüfung der Vermutung => Einsetzen : Glück gehabt! Differenzialgleichungen 28
29 6. Riccati - Differenzialgleichungen 2. Schritt: Substitution der Riccati DGL mit: Ergebnis: Entspricht Bernoulli DGL!! mit: Differenzialgleichungen 29
30 6. Riccati - Differenzialgleichungen also weiter mit dem Lösungsschema für Bernoulli DGLs: Wegen ist eine Lösung der Bernoulli DGL: Nächster Schritt: Substitution, genau wie bei Bernoulli DGLs: Differenzialgleichungen 30
31 6. Riccati - Differenzialgleichungen Einsetzen liefert: Schema für linearen DGLs Differenzialgleichungen 31
32 6. Riccati - Differenzialgleichungen Nun noch insgesamt 2x Resubstitution: 1. Schritt: Resubstitution mit 2. Schritt: Resubstitution mit Differenzialgleichungen 32
33 6. Riccati - Differenzialgleichungen Letzter Schritt: Angabe der Lösungsgesamtheit der Riccati DGL Differenzialgleichungen 33
34 6. Ausblick allgemeine Transformation & Substitution Zum Abschluss des Kapitels noch eine Anmerkung: Häufig haben DGLs leider nicht genau die Form einer der vorgestellten DGL-Typen Zusätzlich sind noch Transformations- und Substitutionsschritte erforderlich, um eine der bekannten Formen zu erhalten! Dazu noch 2 Beispiele für separable DGLs: Differenzialgleichungen 34
35 6. Ausblick allgemeine Transformation & Substitution Ziel der Umformung: Separable DGL erhalten Beispiel 1: Sog. homogene oder Ähnlichkeits-DGL Substitution mit Beispiel 2: Substitution mit Differenzialgleichungen 35
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