Kurvenuntersuchungen und gemeinsame Punkte zweier Schaubilder (ganzrationaler) Funktionen:
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- Lieselotte Frei
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1 Kurvenuntersuchungen und gemeinsame Punkte zweier Schaubilder (ganzrationaler) Funktionen: Aufgabe I Gegeben sind die Schaubilder und die Funktionsterme zweier Funktionen f und g: 4 2 f ( x) = x x + 8 und g( x) = 5 x 2 2 jeweils mit x R. Ordnen Sie die Funktionsterme den Schaubildern zu. Begründen Sie Ihre Zuordnung. 2. Untersuchen Sie die Schaubilder auf Symmetrie. 3. Lesen Sie aus der Zeichnung die Achsenschnittpunkte ab und geben Sie diese an: Ermitteln Sie anschließend rechnerisch mit und ohne Verwendung des GTR die jeweiligen Achsenschnittpunkte der beiden Kurven K f und K g. 4. Geben Sie die Extrempunkte der beiden Schaubilder an. 5. Lesen Sie aus der Zeichnung diejenigen Punkte ab, die die beiden Kurven gemeinsam haben. Ermitteln Sie anschließend rechnerisch mit und ohne Verwendung des GTR die Schnittpunkte der beiden Kurven K f und K g! Schneiden sich die Schaubilder tatsächlich? Aufgabe II Gegeben ist die Funktion f mit f ( x) ( x 2) ( x ) ( x 2) 2 3 = + + x R Skizzieren Sie den Kurvenverlauf. Untersuchen Sie das Schaubild auf Symmetrie. Ermitteln Sie die Achsenschnittpunkte und die Extrempunkte. (Ansätze mit und ohne GTR!!) Aufgabe III x 3969 Gegeben sind die Funktionen g und h mit g( x) = x und h( x) = 9,6 sin x x R. Betrachten Sie die Schaubilder im Display Ihres GTR wählen Sie ZOOM Standard. Was fällt Ihnen auf? Untersuchen Sie die beiden Schaubilder auf Symmetrie und geben Sie markante Punkte an. Weitere Übungen: zusammengestellt von M.J. Seite
2 Lösungshinweise/ Gedanken zu Schnittpunkte zweier ganzrationaler Funktionen:, Lösungshinweise zu Aufgabe I Symmetrie Beide gerade Funktionen Symmetrie zur y-achse, da nur Geraden Hochzahlen von x Achsenschnittpunkte y-achse: S yf (0 / 8) S yg (0 / 5) x-achse: Ansatz: bzw. g(x) = 0 GTR liefert: für f: x = x = x = x = Exakt: x = - (24-8 3) x = (24-8 3) x = - ( ) x = ( ) und g: +/- 0 3,623 gemeinsame Punkte: Rechnerischer Ansatz: f(x) = g(x) liefert wieder Schnittstellen f(x) = g(x) f(x) - g(x) = 0 / x 4 - x = 5 ½ x 2 alles auf eine Seite / x 4 - ½ x = 0 * (normieren) x 4-24 x = 0 Typ Substitution z = x 2 z 2 24 z + 44 = 0 binomische Formel ( z 2) 2 = 0 liefert: z = 2 z 2 = 2 jeweils Resubstitution: x = 2 x 3 = 2 doppelte Lsg x 2 = - 2 x 4 = - 2 doppelte Lsg Einsetzen in f(x) oder g(x) liefert jeweils die y-werte y = - (beachte Symmetrie!!) wir haben zwei Berührpunkte: P (- 2/ -) P 2 ( 2/ -) Merke: einfache Lösung => richtiges Schneiden doppelte Lösung => nur berühren dreifache Lösung => Schneiden und Berühren bzw. Durchsetzen zusammengestellt von M.J. Seite 2
3 Lösungshinweise zu Aufgabe II 2 3 = + + = ( 6... ) f ( x) ( x 2) ( x ) ( x 2).Wert / Term 6 x +... x + = Ganzrationale Funktion 6-ten Grades 6 x +... Über den möglichen Verlauf / x 6 + positiver Streckungsfaktor Kurve kommt von oben und geht nach oben weg. -/ = -2,4 y-achsenabschnitt x,2 = - 2 ist doppelte Lösung=> Berührstelle -2 x 3,4,5 = x 6 = -2 ist dreifache Lösung => die Kurve durchsetzt die x-achse ist einfache Lösung => Schnittstelle -2 Aufgrund der zum Ursprung assymmetrischen Lage der Nullstellen, kann die Kurve weder symmetrisch zur Y-Achse noch symmetrisch zum Ursprung sein Die Vorüberlegungen liefern folgenden groben Verlauf Gefahr: Bei ZOOM-Standard. fehlen wesentliche Eigenschaften - globaler Verlauf ist falsch - Nullstelle fehlt - -Tiefpunkt ist nicht sichtbar Gefahr bei Der lokale Verlauf im Bereich von x = -2 bis x = geht verloren zusammengestellt von M.J. Seite 3
4 Passendes Beispiel aus der Mode: In Internet-Shops, werden oftmals die Kleidungsstücke sowohl global / ganz als auch detailliert / lokal / als Muster angezeigt. Auch hier gibt es i.d.r. eine ZOOM-Funktion zusammengestellt von M.J. Seite 4
5 Lösungshinweise zu Aufgabe III Bei dieser Aufgabe, geht es u.a. darum, dass man bei falscher Wahl des sichtbaren Bereichs, (fast) nicht erkennen kann, um welchen Funktionstyp es sich tatsächlich handelt. - ähnliche Nullstellen - ähnliche HP, TP - ähnliche Verläufe zwischen den Nullstellen - Wählt man den Ausschnitt: x-werte zwischen -6,5 und +6,5, so erkennt man nicht, ob es eine Funktion 3. Grades oder eine Sinusfunktion ist. Beide sind symmetrisch zum Ursprung zusammengestellt von M.J. Seite 5
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c) Das Schaubild von verläuft im Schnittpunkt mit der y-achse steiler als die erste Winkelhalbierende.
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