Stetige Populationsmodelle

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1 Stetige Populationsmodelle Christof Straßer Autor: J.D.Murray Titel: Mathematical Biology

2 James Dickson Murray Geb.: Professor Emeritus Oxford u. Washington Bereich biologische und biomedizinische Mathematik

3 James Dickson Murray Mathematical Biology (00) I. An Introduction (Eine Einführung) II. Spatial Models and Biomedical Applications (Räumliche Modelle und biomedizinische Anwendungen) Beispiel: Biomechanik des menschlichen Körpers

4 Gliederung 1. Vorhersagen des Verhaltens in den Bereichen Technik, Biologie und Psychologie. Historische Entwicklung 3. Betrachtung der Weltbevölkerung 4. Logistisches Wachstum 5. Mathematische Darstellung eines Insektenausbruchs 6. Wahrnehmungsänderung in der Psychologie 7. Fazit

5 1. Verhaltensvorhersagen Technik Technische Errungenschaften beruhen auf Zusammenführung von Erkenntnissen (Titanic, Starfighter,.) Allgemein: Zusammenhang Geschwindigkeit und Reibung

6 . Historische Entwicklung Erster schriftlich verfasster Nachweis einer mathematischen Modellierung: Rechenmeister Leonardo von Pisa (10) Sohn aus gütigem Hause filius bonacci (wachsende Hasenpopulation)

7 3. Betrachtung der Weltpopulation dn dt N bn dn b, d positive Konstanten b>d N N 0 e ( bd ) t Malthus (1798)

8 3. Betrachtung der Weltpopulation Fruchtbarkeitsrate am Ersatz-Level:,1 (lebensfähige Geburten pro Frau) Länder (300) mit Rate, % % 005 >50%

9 3.Betrachtung der Weltpopulation Betrachtung Gesamtweltbevölkerung: 005 -, ,45 d.h. Abnahme in 6 Jahren um 0,15 d.h. Abnahme in 18 Jahren um 0,45 Folgerung: Weltbevölkerungsmaximum 030

10 4. Logistisches Wachstum Wachstum mit selbstlimitierendem Prozess dn N rn(1 ) r, K > 0 Verhulst (1838) dt K r = Wachstumsrate K = die tragende Kapazität der Umwelt ist, die von den verfügbaren Ressourcen bestimmt wird. K-N = Abweichung der Populationsgröße von der Kapazität (K-N)/K = Abweichung bezogen auf die Kapazität r(1-n/k) = die von N abhängige pro Kopf Geburtenrate

11 4. Logistisches Wachstum dn dt rn(1 N K ) r, K > 0 Verhulst (1838) Zwei Gleichgewichtszustände N=0 (instabil) dn/dt ~ rn d.h. N wächst von Anfangswert exponentiell weiter N=K (stabil) dn dt r N( r N) K Erkenntnis: N r K r exp( rt) K bestimmt die Größe der Population. t lim r K r exp( rt) K

12 4. Logistisches Wachstum Eine Population wird geregelt durch dn/dt = f(n) wobei die Gleichgewichtspunkte N die Lösungen von f(n)=0 sind. Wird f(n) auf N abgebildet, so liegen die Gleichgewichtspunkte auf der N-Achse, da dort f(n)=0 gilt. f (N) bestimmt die Stabilität des Gleichgewichtspunkts N=0 ist instabil f (0) > 0 N=K ist stabil f (K) < 0

13 4. Logistisches Wachstum Existieren weitere Gleichgewichtspunkte, so entsteht eine Sinusform mit sich abwechselnden Stabilitäten. Wird die Funktion in einem stabilen Gleichgewichtspunkt über einen Schwellenwert hinaus gestört, so strebt sie den nächsten stabilen Gleichgewichtspunkt an.

14 5. Raupen-Ausbruchs-Modell Wechselwirkung zwischen Raupen und Vögeln in Ost-Kanada dn dt r B N N( 1 ) p( N) K B Ludwig (1978) r = Geburtenrate Raupen K = Kapazität (z.b. Blattdichte) p(n) = der Population entgegenwirkende Ereignisse (z.b. Räuber)

15 5. Raupen-Ausbruchs-Modell Die Raupenpopulation wächst von nahe Null bis K p( N) BN A N A, B pos. Konstanten A = Schwellenmaß (Räuber schalten sich ein) B = Faktor, der N beeinflusst p ( N) p ( N) N N N c N c A BN ( A N ) A B( A 3N 3 ( A N ) ) pos., p(n) wächst Wendepunkt Raupenpopulation wächst Räuberpopulation schaltet sich ein 1 N c 3 A

16 5. Raupen-Ausbruchs-Modell Definition dimensionsloser Größen u N A r Ar B B q K B A B t A Mit dn dt dn du d du d du u u r u (1 ) dt d q 1 u Bestimmung der Gleichgewichtspunkte u u u = 0 ist Lösung r(1 ) (1) q 1 u weitere Gleichgewichtspunkte: Schnittpunkte der beiden Graphen u 1 u max. 1/ bei u=1 u r(1 ) q r q u r Gerade, neg. Steigung

17 5. Raupen-Ausbruchs-Modell Bei günstiger Wahl der Werte: q = 10 (fest) und r ausreichend klein ergeben sich 1, oder 3 Schnittpunkte Mit Betrachtung einer Feldlinien-Darstellung zeigt sich: u 0,u instabil df/du > 0 u 1,u 3 stabil df/du < 0

18 5. Raupen-Ausbruchs-Modell Betrachtung der Berührungspunkte beider Graphen Die Steigung beider Graphen ist gleich d du r d u ( u r) ( ) q du 1 u u 1 (1 u ) r q () eingesetzt in (1) q 3 u u 1 eingesetzt in () u r (1 u 3 ) Die Funktionen r und q sind abhängig von u d.h. sie spannen einen Raum auf

19 5. Raupen-Ausbruchs-Modell Betrachtung q r Beide Kurven treffen sich bei dr/du = dq/du =0 in einer Spitze 3 bei u 3 mit r 3 sowie q Grenzwertbetrachtung lim 0 u r lim 1 u 1 r r u (1 u 3 ) Zwischen den Kurven liegen 3 Gleichgewichtspunkte Außerhalb liegt nur 1 Gleichgewichtspunkt vor Auf den Kurven existieren Gleichgewichtspunkte Berührungspunkt = Sattelpunkt = Bifurkation

20 5. Raupen-Ausbruchs-Modell

21 5. Raupen-Ausbruchs-Modell Es zeigt sich eine Faltung, bei der es bei Überschreitung eines Schwellenwertes zu einem Sprung (Katastrophe) kommt. Erhöht sich die Population, so kommt es bei entsprechender Störung (Schwellenstörung) zum Wegverlauf ABCCD. Eine Abnahme der Population wird durch den Weg DCBBA beschrieben. Da C-C eine größere Populationssteigerung zeigt als B-B wird deutlich, dass eine Rückführung der Population länger dauert als eine Steigerung.

22 6. Wahrnehmungsänderung Das menschliche Gehirn reagiert unter bestimmten Voraussetzungen mit plötzlicher Wahrnehmungsänderung. Im Folgenden werden in Reihenfolge 8 Bilder gezeigt. Merken Sie sich die Bildnummer, bei der Sie ein völlig anderes Objekt erkennen.

23 6. Wahrnehmungsänderung Bild 1

24 6. Wahrnehmungsänderung Bild

25 6. Wahrnehmungsänderung Bild 3

26 6. Wahrnehmungsänderung Bild 4

27 6. Wahrnehmungsänderung Bild 5

28 6. Wahrnehmungsänderung Bild 6

29 6. Wahrnehmungsänderung Bild 7

30 6. Wahrnehmungsänderung Bild 8

31 7. Fazit Vorhersagen bezüglich naher Zukunft besitzen hohe Wahrscheinlichkeit. Bei Betrachtung ferner Zukunft sinkt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen der Vorhersage drastisch. D.h. für die: Technik: Nicht beachtete Faktoren können Katastrophen auslösen. Biologie: Je größer die Anzahl der am Prozess beteiligten Faktoren, desto schwieriger ist eine aussagekräftige Vorhersage. Psychologie: Sein ist wahrgenommen sein.