Systemanalyse und Modellbildung

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1 Systemanalyse und Modellbildung Universität Koblenz-Landau Fachbereich 7: Natur- und Umweltwissenschaften Institut für Umweltwissenschaften Dr. Horst Niemes

2 6. Nichtlineare Modelle 6.1 Nichtlineare Modelle mit einer Systemvariablen: Autonome nichtlineare Modelle dv ( t) Die allgemeine Form der Differentialgleichung = g( V ~ ( t), t) zeigt, dass die Funktion g explizit und via die Systemvariable implizit von der Zeit abhängen. Kann die äußere von der inneren Relation getrennt werden, erhalten wir ~ dv ( t) ~ für allgemeine Form die spezielle Form: = R( t) + f ( V ( t)) Beispiel: Logistisches Wachstumsmodell dn( t) = k ( N) N wobei für k p (N) eine Funktion gewählt wird, die von einem dt p maximalen Wert bei N=0 linear abnimmt und für N max null wird, d.h. N k p = k0 p (1 ) N. N max dt ~ dt

3 Aus dn( t) dt N( t) = N max N k p (1 ) N N max N 0 k 0 t 0 p N N e + N 0 max = ergibt sich die allgemeine Lösung: Taylorreihe!

4 6. Nichtlineare Modelle 6.1 Nichtlineare Modelle mit einer Systemvariablen: Fixpunkte autonomer nichtlinearer Modelle mit einer Systemvariable Lineare eindimensionale Modelle haben nur einen Fixpunkt, nichtlineare Modelle können jedoch mehrere Fixpunkte haben. Voraussetzung bei eindimensionalen autonomen Modellen: Die äußere Relation ist konstant, da sonst keine Fixpunkte existieren, d.h. die äußere Relation wird implizit in die vereinfachte Veränderungsfunktion wie folgt aufgenommen: ~ ~ dv ( t) ~ ~ = g( V ( t)) mit k Nullstellen, für die gilt: ( dv g V ) = 0 bzw. = 0, i = 1,..., k, beim dt Erreichen des Fixpunktes. i dt ~ V i

5 Formal wird die Stabilität in der Umgebung der Fixpunkte über die Entwicklung einer Taylorreihe für kleine Änderungen der Variablen gezeigt (siehe Seite 132 bei Imboden, Koch 2004). Uns genügt das Ergebnis formal und in graphischer Form: d ~ V < 0 stabiler Zustand ~ V > dt ~ V dt ~ 0 V i i Ableitung sind zu betrachten d instabiler Zustand, dv = 0 höhere ~ dt ~ V i

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7 6. Nichtlineare Modelle 6.1 Nichtlineare Modelle mit einer Systemvariablen: Fixpunkte nichtautonomer nichtlinearer Modelle mit einer Systemvariable Annahme: Die externe Relation lasse sich explizit von der internen Relation trennen. Folglich erfüllen die stationären Zustände des Systems die Bedingung: ~ ~ f ( V i ) = R( t) für i = 1,..., k beim Erreichen des Fixpunktes. Voraussetzung ist, dass R(t) zumindest für eine gewisse Zeit einen konstanten Wert R(t) =R 0 annimmt. Beispiel: Fischteich mit logistischem Wachstum

8 Fische wachsen mit der logistischen Wachstumsfunktion. Gleichzeitig wird pro Zeiteinheit eine bestimmte Anzahl an Fischen abgefischt. 1, wobei f(n) die logistische Wachstumskurve sei In der folgenden Grafik sieht man, falls > gibt es keine Fixpunkte mehr und die Fische sterben aus.

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10 6. Nichtlineare Modelle 6.1 Nichtlineare Modelle mit einer Systemvariablen: Hysterese bei nichtlinearen Modelle mit einer Systemvariable Bei nichtlinearen Modellen existieren zu einer konstanten Relation mehrere stationäre Zustände. Wird die äußere Relation adiabatisch (d.h. genügend langsam) geändert, tritt das Phänomen der Hysteresis auf. Fixpunkte sind durch folgende Bedingung definiert:, ü 1,, Wenn f(v) eine stetige Funktion ist und die Gerade (-J) mindestens einmal schneidet, dann muss f(v) abwechslungsweise einmal von oben und einmal von unten durch die Gerade (-) gehen, d.h.:

11 Im ersten Fall ist die Steigung negativ, also der Fixpunkt stabil. Im zweiten Fall ist die Steigung positiv, also der Fixpunkt instabil. Im dritten Fall ist die Steigung wieder negativ, also der Fixpunkt wieder stabil. Die stabilen und instabilen Voraussetzung ist, dass R(t) zumindest für eine gewisse Zeit einen konstanten Wert R(t) =R 0 annimmt. Die Funktion f(v) sei ein Polynom dritten Grades (siehe Abbildung): Dann haben wir ein lokales Minimum an der Stelle V A (mit Wert f A < 0) und ein lokales Maximum an der Stelle V B (mit Wert f B > 0) hat. Wir erhalten also Bereiche mit stabilen Fixpunkten und einen Bereich, die von unterschiedlichen Sprungstellen aus übersprungen werden. Dieses Phänomen wird Hysterese genannt. (mehr Details auf Seite 138 und 139).

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13 Magnetisierung Sättigung: Maximale Ausrichtung Remanenz-Kurve Remanenz Angelegte Feldstärke Feldstärke Koerzitivkraft Analogie: Hysterese-Kurve für magnetisierbares Material

14 6. Nichtlineare Modelle 6.1 Nichtlineare Modelle mit einer Systemvariablen: Beispiel: Nichtlineares Phosphormodell Die Phosphor-Einlagerung ins Sediment ist jetzt nicht mehr lineare Funktion des mittleren Phosphor Gehaltes (k s C). Die Phosphor- Sedimentationsrate nimmt mit wachsender Konzentration ab und kann sogar negativ werden. Aus der dynamische Gleichung, h ü, d.h.

15 erhalten wir zunächst: ü. Der nichtautonome Inputterm k w C ist im allgemeinen Fall zeitlich nicht konstant; also werden keine stationären Zustände erreicht. Dennoch ist es nützlich, fiktive stationäre Zustände in Abhängigkeit einer konstant angenommenen Inputkonzentration zu analysieren. Wir suchen nach einem statischen Modell mit:, welches implizit im dynamischen Modell steckt.

16 Das Modell besteht eigentlich aus der Überlagerung von zwei linearen Modellen, eine sogenannte Superposition von den zwei Fixpunktgeraden: + ü < ü Die Fixpunktgerade A in der nachstehenden Abbildung hat die Steigung:. Die Fixpunktgerade B hat die Steigung 1.

17 Anpassungsvorgang: C in sei erst so klein, dass die stationäre Konzentration < ist. Wächst C in langsam, erreicht diese Konzentration bei einer Inputkonzentration C * den kritischen Wert, wo er von der Fixpunktgerade A auf die obere Fixpunktgerade B springt:: Bewegt sich umgekehrt das Modell von großen Konzentrationen auf der Fixgerade B abwärts, wird es nicht bei auf die Fixgerade A springen.

18 Ergebnis: 1.Das Modell hat kritische Zustände, in denen kleinste Veränderungen des Inputs (äußere Relation) zu großen Veränderungen der Systemvariablen führen. 2.Es gibt einen Bereich der Inputgröße, in dem das Verhalten des Systems von der Vorgeschichte abhängt (Hysterese). 3.Bei nichtlinearen Modellen treten Synergismen auf, d.h. die Wirkung von Einzelereignissen auf die Systemvariable ist nicht gleich deren Summenwirkung.

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20 6. Nichtlineare Modelle 6.2 Nichtlineare Boxmodelle mit mehreren Systemvariablen: Die Jacobi Matrix Mehr Vielfalt, aber eingeschränkte Lösbarkeit der nichtlinearen Differentialgleichungen. Meist sind nur nummerische Lösungsverfahren möglich. Die Konzentration liegt deshalb darauf, wie das System sich in der Nähe eines Stationär Zustandes verhält. Ausgang ist folgendes System von n dimensionale Differentialgleichungen:,,, 1,,

21 Fixpunkte oder Stationäre Zustände sind q Lösungen des n- dimensionalen gewöhnlichen, aber nichtlinearen Gleichungssystems: 0,,,, 1,, 1,2,,. Das System befindet sich in der Nähe eines Fixpunktes k, bedeutet formal bzw. als Vektor geschrieben folgendes: +, 1,,. + Da am Fixpunkt selbst alle Veränderungsfunktionen g i null sind, können diese in der Umgebung von durch folgende

22 Taylorreihe approximieren, wobei nach dem ersten Term abgebrochen wird und der senkrechte Strich bedeutet, dass die partiellen Ableitungen am Fixpunkt zu berechnen sind: +,, Da konstant ist gilt, wird die allgemeine Gleichung näherungsweise zu einem n-dimensionalen linearen System mit der Abweichungsvariablen :

23 ,, 1,,,, Letzteres kann auch als Matrix geschrieben werden: geschrieben: und wir erhalten in Matrixform

24 Die Stabilisierungsuntersuchung erfolgt über die Eigenwerte. Für ein System mit zwei Variablem erhalten wir in Analogie zum linearen System folgende grafisch dargestellten Stabilitätseigenschaften für das nichtlineare System:

25 Charakterisierung der Stationären Zustände im zweidimensionalen Modell a)stabiler Stern b)instabiler Stern c)sattelpunkt (instabil) d)stabiler Stationärzustand mit Oszillation e)instabiler Stationärzustand mit Oszillation f) Ungedämpfte Oszillation: Zentrum

26 6. Nichtlineare Modelle 6.2 Nichtlineare Boxmodelle mit mehreren Systemvariablen: Räuber-Beute-Modelle Beispiel 1: Räuber-Beute Modell von Lotka-Volterra (1926) 1.Eine Population von Beutetieren B vermehrt sich mit Nettorate k 1. 2.Eine Population von Räubern R stirbt mit einer spezifischen Nettorate k 2. 3.Die Beutetiere werden von den Räubern gefressen, was zu einer Vermehrung der Räuber und einer Verminderung der Beutetiere um den Betrag k 3 BR führt.

27 Mathematische Beschreibung: + k 1 B k 3 BR k 2 R Beute Räuber Neben den trivialen Fixpunkten 0, 0 existieren die zwei Fixpunkte:, Formaler Test der Stabilität (statt mit der einfachen Methode über die Jacobi-Matrix) erfolgt durch die wie folgt definierten Abweichungen der Populationsgrößen von diesen Stabilitätszuständen:,

28 Da die beiden Fixpunkte konstant sind, erhalten wir Nach einigen algebraischen Umformungen erhält man folgende Differentialgleichungen mit den neuen Variablen:, Die Methode der Linearisierung besteht darin, nur kleine Abweichungen zuzulassen, d.h. das Produkt von kleinen Größen,, wird weggelassen. Also gilt:,

29 Nachstehende Abbildung zeigt die beiden Geschwindigkeitskurven des Modells, dessen Eigenwerte rein imaginär sind, weil die Matrix des linearen Gleichungssystems folgende Form hat 0 und deren charakteristische Gleichung lautet 0 μ + 0. μ mit der Lösung: ±. Das Modell könnte drei verschiedene Verhaltensmuster haben: 1.Es bewegt sich auf den Fixpunkt zu 2.Es bewegt sich vom Fixpunkt weg, oder 3.Es kreist auf einer geschlossenen Bahn um den Fixpunkt.

30 Das Lotka-Volterra-Model hat das dritte Merkmal.

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32 6. Nichtlineare Modelle 6.2 Nichtlineare Boxmodelle mit mehreren Systemvariablen: Räuber-Beute-Modelle Beispiel 2: Räuber-Beute Modell mit Selbstwechselwirkung 1.Bei größeren Beutepopulationen können sich diese behindern oder gar auffressen, was durch einen weiteren Term der Form berücksichtigt wird: 2.Eine Population von Räubern R stirbt mit einer spezifischen Nettorate k 2.

33 3.Die Beutetiere werden von den Räubern gefressen, was zu einer Vermehrung der Räuber und einer Verminderung der Beutetiere um den Betrag k 3 BR führt. Mathematische Beschreibung: + Neben den trivialen Fixpunkten: 0, 0, ergeben sich für die nicht trivialen Fixpunkte folgende leichte Änderungen:

34 , Ohne näher darauf einzugehen, lauten dann die approximierten linearen Gleichungen:, Sei:, dann erhalten wir folgende Eigenwerte mit einem sehr kleinen, negativen Realteil, der allerdings zu einem stabilen Fixpunkt führt: ±,

35 Das dynamische Verhalten zeigt nachstehende Abbildung:

36 6. Nichtlineare Modelle 6.2. Nichtlineare Boxmodelle mit mehreren Systemvariablen: Räuber-Beute-Modelle Beispiel 3: Räuber-Beute Modell von Holling-Tanner 1.Wechselwirkung zwischen Beute B und Räuber R in der ersten der beiden nachstehenden Differentialgleichungen, wobei der erste Term das logistische Wachstum der Beute und B K die Gleichgewichtsbedingung der Beute ist, wenn es keine Räuber gibt. 2.Der zweite Term in der ersten Gleichung simuliert die Dezimierung der Beute durch den Räuber, allerdings mit

37 beschränkter Fresslust, welche für B>> K B den von B unabhängigen Wert von (-wr) erreicht. 3.Die zweite Gleichung beschreibt das Wachstum der Räuberpopulation, welches nur positiv ist, falls JR/B < 1, d.h. R < B/J ist. Die Räuber können nur dann wachsen, falls mindestens J Beuten pro Räuber zu Verfügung stehen ,,,,, >0 2

38 Das Modell führt ebenfalls zu periodischen Schwankungen von B und R um einen Gleichgewichtswert; es ist aber im Gegensatz zum von Lotka-Volterra-Modell strukturell stabil. Neben den trivialen (B=R=0) und dem halbtrivialen Fixpunkt (R=0, B=B K ) besitzt das Modell den nichttrivialen Fixpunkt:,, der sich dem Schnittpunkt einer Parabel und einer Geraden ergibt. Für db/dt=0 und dr/dt=0 erhält für die Parabel und Gerade aus den Gleichungen (1) bzw. (2) folgende Gleichungen, aus denen der nichttriviale Fixpunkt bestimmt wird:

39 Die Lösungen sind geschlossene Kurven um den nichttrivialen Fixpunkt. Die Trajektorien bewegen sich auf eine Attraktionskurve zu und folgen ihr dann. Eine solche Kurve nennt man Grenzzyklus.

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41 Bei nichtlinearen Modellen mit drei und mehr Variablen können chaotische Zustände sich einstellen.