Differenzen/Differentialgleichungen Gegenüberstellung und Analogien sneaky, Mai 2007

Transkript

1 Differenzengleichung Differentialgleichung 1. Ordnung (konstante Koeff.) Gestalt x n+1 =ax n +b allgemeine Lösung x n = a n x 0 +b((a n -1)/(a-1)) für a 1 oder x n = x 0 +b n für a=1 partikuläre Lösung x 0 Startwert gegeben, c ausrechnen, c in allgem. Lösung einsetzen 1. Ordnung (Koeffiz. abhängig von n) 1. Ordnung Gestalt allgemeine Lösung Gestalt allgemeine Lösung x n+1 =a n x n +b n b n =0: homogene Diffglchg. b n 0: inhomogene Diffglchg. allg. Lösung homogen (x n (h) ) x n+1 =a n x n x n =x n (h) +x n x n (h)... allg. Lösung der homogenen Glchg x n... partik. Lösung der inhomogenen Glchg. x n (h) = c ai... allg. Lösung, für partikuläre Startwert einsetzen, c berechnen, in x n (h) einsetzen y +a(x)y=0... homogen y +a(x)y=s(x)... inhomogen, s(x) heißt Störfunktion allg. Lösung homogen (y h (x)) y +a(x)y=0 y(x)=y h (x)+y p (x) y h (x)... allg. Lösung der homogenen Glchg. y p (x)... partik. Lösung der inhomogenen Glchg Trennung der Variablen: dy/d=- a(x)dx (y und y nach links bringen, alles andere nach rechts: y /y=-a(x)... dx integrieren ln y = - a(x)dx+c 0... ln y = c 1 * e - a(x)dx... c1=e c0 ) Seite 1/5

2 part. Lösung inhomogen (xn) x n+1 =a n x n +b n x n =c n a i (Variation der Konstanten) x n (h) = c*... => Ansatz: x n = c n *... Einsetzen in die Diff.glchg., c n berechnen (dabei die n s bei c und in konstanten Faktoren tlw. +1) part. Lösung inhomogen (y p (x)) y +a(x)y=s(x) y p (x) = c(x) e - a(x)dx (Variation der Konstanten) y h (x) = c*... => Ansatz y p (x) = c(x) *... Einsetzen in die Diff.glchg., c(x) berechnen (dabei y zu c ) Graphische Darstellung und Qualitative Methoden Wir betrachten x n+1 =f(x), Diffglchg. 1. Ordnung (es sei f stetig und x 0,x 1,x 2,... die Lösungsfolge. D.h., das Ergebnis ist immer eine Funktion des Schrittes davor.) Wenn f(x*)=x*, dann ist x* ein Fixpunkt von f. D.h. von x n auf x n+1 ist die Veränderung der Folge gleich Null. Man kann die Fixpunkte berechnen, wenn man die Rekursionsgleichung kennt, dann setzt man die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder Δx=0 und löst die Gleichung: Δx=x n+1 -x n => x n+1 =x n +Δx x* heißt Gleichgewichtspunkt der Differenzengleichung. Definition (Stabilität von Gleichgewichtslagen): Ein Gleichgewicht x* heißt stabil, wenn es zu jedem ε>0 ein δ=δ(ε)>0 gibt, sodass für alle Lösungsfolgen (x n ) mit x 0 -x* <δ gilt: x n -x* <ε für alle n Element N. Nichtlineare Differentialgleichung Qualitative Methoden Wir betrachten y =f(y), DGL 1. Ordnung (im Allgemeinen ist f nicht von x abhängig = autonome DGL) Wenn y =f(y)=0, dann heißt y* Gleichgewichtspunkt der Differentialgleichung. Damit ist y=y* eine konstante Lösung der Differentialgleichung. Ein Gleichgewichtspunkt y* kann (analog zu Diffglchg.) stabil (die Lösung bleibt in der Nähe von y*), asymptotisch stabil (die Lösung konvergiert zu einem Gleichgewicht y*) oder instabil (die Lösung verlässt jede ε-umgebung) sein. Satz: Ein Gleichgewichtspunkt y* von y =f(y) ist asymptotisch stabil, falls f (y*)<0 und instabil, falls f (y*)>0 ist. (Bei f (y*) keine Aussage möglich). Seite 2/5

3 Ein Gleichgewicht x* heißt asymptotisch stabil, wenn es außerdem ein δ>0 gibt, sodass für alle Lösungsfolgen (x n ) mit x 0 -x* <δ gilt: lim x n =x* (n ) Satz: Ein Fixpunkt x* der Differenzengleichung x n+1 =f(x n ) ist asymptotisch stabil, falls f (x*) <1 und instabil, falls f (x*) >1 Globales Lösungsverhalten bzw. Langzeitverhalten: y =f(y) Änderungsverhalten => f(y) > 0... y ist wachsend f(y) = 0... y ist stationär f(y) < 0... y ist fallend (Dazu Grafiken und Beispiel des logistischen Wachstums) (Dazu Grafiken und Einzeichnen stabiler/instabiler Punkte) 2. Ordnung (konstante Koeffiz.) 2. Ordnung (konstante Koeffiz.) Gestalt (homogen) allgemeine Lösung Gestalt (homogen) allgemeine Lösung x n+2 +ax n+1 +bx n =0 Ansatz x n = λ n => λ 2 +aλ+b=0, charakt. Glchg. 1λ 2 ausrechnen a 2-4b>0 => λ 1 λ 2, reel x n =c 1 λ 1 n +c 2 λ 2 n y (x)+ay +by=0 Exponentialansatz y(x)=e λx => λ 2 +aλ+b=0, charakt. Glchg. 1λ 2 ausrechnen a 2-4b>0 => λ 1 λ 2, reel y(x)=c 1 e λ 1 x +c 2 e λ 2 x a 2-4b<0 => λ 1, λ 2 konjugiert komplex x n =r n (c 1 cos n ϕ+c 2 sin n ϕ) a 2-4b=0 => λ 1 =λ 2, reel x n =(c 1 +c 2 n) λ 1 a 2-4b<0 => λ 1, λ 2 konjugiert komplex y(x)=e αx (c 1 cos βx+c 2 sin βx) a 2-4b=0 => λ 1 =λ 2, reel y(x)=(c 1 +c 2 x)e λ 1 x Seite 3/5

4 partikuläre Lösung x 0 Startwert gegeben, c 1,c 2 ausrechnen, c s in allgem. Lösung einsetzen Gestalt (inhomogen) allgemeine Lösung Gestalt (inhomogen) x n+2 +ax n+1 +bx n =s n... Störfunktion x n =x n (h) +x n x n (h)... allg. Lösung der homogenen Glchg x n... partik. Lösung der inhomogenen Glchg. y (x)+ay +by=s(x)... Störfunktion y(x)=y h (x)+y p (x) y h (x)... allg. Lösung der homogenen Glchg. y p (x)... partik. Lösung der inhomogenen Glchg allg. Lösung homogen (x n (h) ) allg. Lösung homogen (y n (x)) siehe oben part. Lösung inhomogen (x n ) siehe oben part. Lösung inhomogen (y p (x)) x n+2 +ax n+1 +bx n =s n x n =... Methode des unbestimmten Ansatzes: y (x)+ay +by=s(x) y p (x)=... Methode des unbestimmten Ansatzes: Störfunktion s n Versuchslösung x n Störfunktion s(x) Versuchslösung y p (x) 1 oder Konstant A a 0 +a 1 x+...+a k x k (A 0 +A 1 x+...+a k x k )e µx, µ=0 r n Ar n (a 0 +a 1 x+...+a k x k )e µx (A 0 +A 1 x+...+a k x k )e µx sin(rn) oder cos(rn) Asin(rn)+Bcos(rn) n k oder Polynom mit Grad k A 0 + A 1 n + A 2 n A k n k n k *r n (A 0 + A 1 n + A 2 n A k n k ) r n Zusatz: Enthält die Versuchslösung x n eine Funktion, welche Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung ist, dann muss dieser Ansatz mit n multipliziert werden; Vorgangsweise gegebenenfalls wiederholen. Zusatz: Erfüllt ein Summand die homogene Gleichung, so ist der gesamte Lösungsansatz mit x zu multiplizieren, dies gegebenenfalls wiederholen. Seite 4/5

5 Superpositionssatz: sind x n (1) und x n (2) partikuläre Lösungen der inhomogenen Gleichung zu den Störfunktionen s n (1) bzw. s n (2) dann ist x n = x n (1) + x n (2) partikuläre Lösung zur Störfunktion s n (1) + s n (2) Seite 5/5