Vergessen Sie nicht, sich zur Klausur anzumelden Anmeldeschluÿ am Freitag, den 20. Juli!!

Transkript

1 Vergessen Sie nicht, sich zur Klausur anzumelden Anmeldeschluÿ am Freitag, den 20. Juli!! Erst den Anmeldungszettel im Studienbüro holen Dann den Anmeldungszettel vor Zimmer 208. in den richtigen Kasten werfen Wenn Ihnen das Studienbüro keinen Anmeldungszettel gibt, weil Sie kein Testat haben, dann gehen Sie zunächst zu Frau Behrens (Zimmer 207.2)

2 Tipps für die Klausur Lernen Sie nicht auf Lücke. Das rächt sich... Rechen Sie viele alte Klausuren ohne vorher in die Lösung zu schauen... Machen Sie sich einen Zeitplan (noch 8 Tage bis zur Klausur... ) Lesen Sie am Anfang die Aufgaben zuerst ganz durch! Schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Blatt! Verbringen Sie nicht zuviel Zeit mit einer Aufgabe. Prüfen Sie Ihr Ergebnis (Probe!). Schreiben Sie keine Romane aus dem Skript ab. Bringen Sie einen Tacker mit.

3 Tipps zum Lösen der Aufgaben Schreiben Sie ordentlich!!!! Schreiben Sie hin, was Sie tun. Beispielsweise den Namen oder die Nummer des Satzes, den Sie benutzen! Wenn Sie einen Satz aus dem Skript benutzen, dann prüfen Sie seine Vorraussetzungen! Wenn Sie Lösungen "raten"(also irgendwie auf die Lösung kommen, ohne zu rechnen), dann schreiben Sie hin, dass Sie geraten haben und zeigen Sie, dass das geratenen (Zwischen-) Ergebnis passt!

4 Themen heute: Integration partielle Integration Substitutionsregel Existenz von Integralen, uneigentliche Integrale Partialbruchzerlegung: reell oder komplex? Fourierkoezienten Mittelwertsregel: warum prüft man f? Dierentialgleichungen Ansatz vom Typ der rechten Seite Laplacetransformation Verschiebungssatz vs. Dämpfungssatz Oene und abgeschlossene Mengen

5 Integration Was Sie im Schlaf beherschen müssen: Partielle Integration für bestimmte Integrale: b a b u (x)v(x) dx = [u(x)v(x)] b a u(x)v (x) dx a... für unbestimmte Integrale: u (x)v(x) dx = u(x)v(x) u(x)v (x) dx Wenn Sie partiell integrieren wollen, brauchen Sie eine Funktion u', die Sie einfach aueiten können und eine Funktion v, die Sie einfach ableiten können. Beispiel: }{{} e 2t sin(t) dt = }{{} u v

6 Substitutionsregel... für bestimmte Integrale: g(α) = a, g(β) = b, Substitution x = g(t), dx = dt g (t), b a f(x) dx = β α f(g(t))g (t) dt... für unbestimmte Integrale: Substitution x = g(t), dx g (t), f(x) dx = f(g(t))g (t) dt Substitutionsregel ist praktisch bei Integralen der Form f(g(t)) h(g(t)) g (t) dt g(t) = = x f(x) h(x) dx Spezialfall : dt = g (t) g(t) dt = ln ( g(t) ) + C Beispiel: sin(t) = x cos(t) dt = sin(t) x dx = ln x + C = ln sin(t) + C

7 Existenz von Integralen... kein Thema bei beschränkten Integranden auf beschränkten Intervallen. Aber: Achtung bei unbeschränkten Integranden, z.b. 0 x dx Integrand unbeschränkt oder unbeschränkten Intervallen, z.b. x dx Intervall unbeschränkt. Wie prüft man Existenz solch eines Integrals?... im Sinn eines uneigentlichen Integrals: Existiert lim A 0 A x A dx? Existiert lim A x dx?... im Sinn des Lebesgue Integrals: Existiert lim A 0 x dx? Existiert lim A A A x dx?

8 Praktisches Kriterium für Existenz im Lebesgue-Sinn: Wenn f(t) g(t) und g(t) dt = lim A A g(t) dt <, dann existiert auch f(t) dt als Lebesgue Integral! Schreiben Sie nicht: e x = [ e x ] = e + e = e sondern e x = lim A [ e x ] A = lim A e A + e = e

9 Beispiel: Für welche α R existiert das Integral 0 arctan(x + 2) ln(x)x α dx als Lebesgue-Integral? Problem: ln(x) unbeschränkt an der 0, x α unbeschränkt an der 0 für α < 0, Integrationsgebiet unbeschränkt. Also: Aufteilen des Integrals: 0 arctan(x + 2) ln(x)x α dx = arctan(x + 2) ln(x)x α dx 0 }{{} A + arctan(x + 2) ln(x)x α dx }{{} A 2 und Existenz von A und A 2 getrennt untersuchen! α 0: A 2 existiert nicht! lim x arctan(x + 2) = π/2, ln(x)x α ist unbeschränkt. α < 0:

10 Partialbruchzerlegung: reell oder komplex? Gegeben: rationaler Ausdruck, z.b. f(s) = 2s s 6 2s 5 + 3s 4 + 3s 2 2s + Gesucht: Partialbruchzerlegung von f, also Zerlegung von f als Summe von Termen der Form A s s 0 und B Cs + D und (s s ) 2 s 2 + s 2 Die Zahlen s 0, s, s 2,... kommen aus Faktorisierung des Nennerpolynoms s 6 2s 5 + 3s 4 + 3s 2 2s +. Wie geht man bei einer Partialbruchzerlegung vor? (Seite 3 Skript HM2). Schritt: Falls Zählergrad > Nennergrad Polynomdivision: Zählerpolynom \ Nennerpolynom 2. Faktorisierung des Nennerpolynoms. Hier muÿ man oft Nullstellen raten. Zahlen wie 2,, 0,, 2 sind gute Kandidaten 2s f(x) = (s ) 2 (s 2 + ) 2 3. Ansatz 2s (s ) 2 (s 2 + ) = A 2 s + Wie wählt man den Ansatz? B (s ) + Cs + D 2 s Es + F (s 2 + ) 2

11 Linearfaktor Ansatz (s s j ) k A s s j + (s 2 + s j ) k, s j > 0 A s + B s 2 + s j A 2 (s s j ) A ks + B k (s 2 + s j ) k A k (s s j ) k Sie können den irreduziblen Faktor (s 2 + ) auch komplex zerlegen in (s 2 + ) = (s + i)(s i) und dann folgenden Ansatz machen: 2s (s ) 2 (s 2 + ) = A 2 s + B (s ) + C 2 + E s i + F (s i) 2 s + i + D (s + i) 2

12 Konstanten A, B, C,... ausrechnen: In der letzten Gleichung mit Nenner (s ) 2 (s 2 + ) 2 multiplizieren: 2s = A(s )(s 2 + ) 2 + B(s 2 + ) 2 + C(s ) 2 (s i) 2 (s + i) + D(s ) 2 (s i) 2 + E(s ) 2 (s i)(s + i) 2 + F (s ) 2 (s + i) 2 Dann: Entweder Koezientenvergleich + LGS lösen, oder geschickt Zahlen für s einsetzen, oder Ableiten. Sowohl die relle als auch die komplexe Form der Partialbruchzerlegung führen zum Ziel.

13 Fourierkoezienten Mittelwertsregel (Satz 2.3): f eine stückweise stetig dierenzierbare 2π periodische Funktion, x 0 [ π, π]. Wenn die links-und rechtsseitigen Grenzwerte und lim x x 0,x>x 0 f(x) =: f + (x 0 ) und lim x x 0,x>x 0 f (x) und lim f(x) =: f (x 0 ) x x 0,x<x 0 lim f (x) x x 0,x<x 0 alle existieren, dann gilt: Die Fourierreihe von f an der Stelle x 0 konvegiert gegen /2(f + (x 0 ) + f (x 0 )) n Z c k e ikx 0 = f +(x 0 ) + f (x 0 ) 2 Sie müssen die Vorraussetzungen an f prüfen, obwohl, der Wert lim x x0,x x 0 f (x) nicht in die Berechnung des Wertes der Fourierreihe eingeht. (Weil Sie Satz 2.3 anwenden und der Beweis von Satz 2.3 diese Vorraussetzungen braucht.)

14 Dierentialgleichungen Lineare DGL mit konstanten Koezienten homogen: a n u (n) (x) + a n u (n ) (x) + + a 0 u(x) = 0 e λx Ansatz charakteristisches Polynom p(λ) = a n λ n + a n λ n + + a 0 = 0 mit Nullstellen λ n Lösungen e λnx Beispiel: y (3) + y + 4y + 4y = 0 p(λ) = λ 3 + λ 2 + 4λ + 4 = (λ + )(λ + 2i)(λ 2i) Lösungen der homogenen Gleichung: e x, e 2ix, e 2ix

15 Jetzt: Inhomogene Gleichung: a n u (n) (x)+a n u (n ) (x) + + a 0 u(x) = q(x) }{{} Polynom v.g. m e µx Ansatz für partikuläre Lösung: u p (x) = x k r(x) e µx }{{} Polynom v.g. m Dabei ist k die Vielfachheit von µ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms p(λ). Also: Beispiel: µ ist keine Nullstelle: k = 0 µ ist eine einfache Nullstelle: k = µ ist eine doppelte Nullstelle: k = 2,... y (3) + y + 4y + 4y = e 2x p(λ) = (λ + )(λ + 2i)(λ 2i) 2 ist keine Nullstelle von p Ansatz v.t.d.r.s.: u p (x) = A e 2x y (3) + y + 4y + 4y = x 2 e 2x p(λ) = (λ + )(λ + 2i)(λ 2i) 2 ist keine Nullstelle von p Ansatz v.t.d.r.s.: u p (x) = ( Ax 2 + Bx + C ) e 2x

16 y (3) + y + 4y + 4y = e x p(λ) = (λ + )(λ + 2i)(λ 2i) ist einfache Nullstelle von p Ansatz v.t.d.r.s.: u p (x) = Ax e x y (3) + y + 4y + 4y = x 2 e x p(λ) = (λ + )(λ + 2i)(λ 2i) ist einfache Nullstelle von p Ansatz v.t.d.r.s.: u p (x) = ( Ax 2 + Bx + C ) x e x

17 Alles was Sie wissen müssen: a n u (n) (x)+a n u (n ) (x) + + a 0 u(x) = e µ x q (x) cos(µ }{{} 2 x) + q 2 (x) sin(µ }{{} 2 x) Gradm Gradm Ansatz vom Typ der rechten Seite: u p (x) = x k e µ x r (x) cos(µ }{{} 2 x) + r 2 (x) sin(µ }{{} 2 x) Gradm Gradm Dabei ist k die Vielfachheit von µ + iµ 2 als Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Also: µ + iµ 2 ist keine Nullstelle: k = 0 µ + iµ 2 ist eine einfache Nullstelle: k = µ + iµ 2 ist eine doppelte Nullstelle: k = 2,... y (3) + y + 4y + 4y = sin( 2x)e 0 x p(λ) = (λ + )(λ + 2i)(λ 2i) 0 2i ist einfache Nullstelle von p Ansatz v.t.d.r.s.: u p (x) = x [A sin( 2x)]

18 Laplacetransformation Der Verschiebungssatz und der Dämpfungssatz sind zwei Seiten der gleichen Medaille... der Dämpfungssatz: Wenn man im Urbildbeich mit e at dämpft, dann verschiebt man im Bildbereich: L ( e at f(t) ) = L(f(t))(s a)... der Verschiebungssatz: Wenn man im Urbildbeich um a > 0 verschiebt, dann dämpft man im Bildbereich um a: { 0, 0 t < a, g(t) = f(t a), t a L (g(t)) = e as L(f(t))(s)

19 Man kann das aber auch anderst deuten: Wenn man im Bildbereich mit e as dämpft, dann verschiebt man im Urbildbereich um a Verschiebung im Urbildbereich Dämpfung im Bildbereich Dämpfung im Urbildbereich Verschiebung im Bildbereich

20 Oene und abgeschlossene Mengen Der einfachste Fall: eine Kugel K = {x R 3 : x 2 } Für x R 3 mit x < ndet man immer eine Kugel um x, die ganz in K liegt (Z.b. K(x, ( x 2 )/2 ) ) Für x R 3 mit x > ndet man immer eine Kugel um x, die ganz auÿerhalb von K liegt (Z.b. K(x, ( x 2 )/2 ) ) Für x R 3 mit x = liegt jede Kugel um x sowohl innerhalb als auch auÿerhalb von K. Betrachten wir z.b. K(x, δ), dann liegt ( + δ/2)x K, ( δ/2)x K, aber beide Punkte liegen in der Kugel K(x, δ) um x mit Radius δ. Also: K ist oen und der Rand von K ist die Menge K = {x R 3 : x 2 = }

21 Das gilt auch allgemein: Sei F : R n R eine stetige Funktion. Dann ist die Menge M = {x R n : F (x) < C} M = {x R n : F (x) = C} oen, und der Rand von M Achtung: Wenn F nicht stetig ist, stimmt das nicht! Beispiel: M = {x R 2 : H(x ) < } Heavisidefunktion: H(x ) = für x 0 und 0 sonst. Dann ist M die ganze linke Halbebene, M = {x R 2 : x < 0} und der Rand ist M = {x R 2 : x = 0}. Das ist aber nicht die Menge {x R 2 : H(x ) = }