4 Die Laplace-Transformation

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1 4 Die Laplace-ransformation 4. Definitionen, Beispiele und Regeln In der Wirklichkeit hat man es meist mit Signalen zu tun, die erst zu einem bestimmten Zeitpunkt ausgelöst werden. Um solche Einschaltvorgänge zu berücksichtigen, betrachtet man Funktionen, die für t < verschwinden. Um außerdem eine größere Menge von Funktionen transformieren zu können, fügt man einen konvergenzerzeugenden Faktor e αt ein. Zusammen ergibt das die Laplacetransformation f(t L f(α + j σ : F [f(te αt ](σ f(te (α+j σt dt. Definition: Unter einer L-Funktion verstehen wir eine Funktion f : R C mit folgenden Eigenschaften:. f(t für t <. 2. f ist stückweise stetig für t, insbesondere existiert f(+. 3. Das Laplace-Integral mit Re(s > absolut. f(te st dt konvergiert für wenigstens ein s C Ist Re(s > Re(s, so ist f(te st f(te s t. Konvergiert also das Laplace- Integral L f(s absolut, so auch L f(s für jedes s mit Re(s > Re(s. Ist also f eine L-Funktion, so gibt es eine kleinste reelle Zahl α, so dass L f(s für alle s mit Re s > α definiert ist, aber in keinem Punkt s C mit Re s < α. Das genaue Konvergenzgebiet von L f ist also die Halbene R α : {s Re s > α }. Der Rand gehört entweder ganz dazu oder überhaupt nicht. Da f(t für t < ist, kann auch die ganze Ebene als Konvergenzgebiet vorkommen. Man nennt α die Abszisse absoluter Konvergenz für das Laplace-Integral von f. Definition: Eine stückweise stetige Funktion f : R + : {t R : t } C wächst höchstens exponentiell (von der Ordnung a, wenn es Konstanten a >, M > und > gibt, so dass f(t M e at für t gilt. 4.. Satz: Wächst die (stückweise stetige Funktion f : R + C höchstens exponentiell, so ist f eine L-Funktion, deren Abszisse absoluter Konvergenz a ist.

2 2 4 Die Laplace-ransformation Beweis. f wachse höchstens exponentiell von der Ordnung a. Ist z α + j σ, mit α > a, so gibt es Konstanten und M, so dass für t gilt: f(te zt f(t e αt M e (a αt M e a α t. Die Funktion auf der rechten Seite ist (absolut integrierbar, denn es ist R ( lim e a α t dt lim R R a α R e a α t a α e a α. Bemerkung: Für Funktionen, die auf (, verschwinden, gilt: a Wachsen die Funktionen f und g höchstens exponentiell, so auch f + g und fg. b Polynome (und erst recht alle beschränkten Funktionen wachsen höchstens exponentiell. Ist nämlich p(t ein Polynom, so strebt der Quotient p(t/e t für t gegen Null, und es muss zu jedem M > ein > geben, so dass p(t M e t für t gilt. c Sei f : R + C stückweise stetig differenzierbar. Wächst die Ableitung f höchstens exponentiell, so gilt dies auch für f (mit gleicher Ordnung. Ist nämlich f (t M e at abschätzen: für t, so kann man folgendermaßen f(x f( + x f (t dt f( + M x e at dt f( + M a eax M e ax für eine geeignete Konstante M und x. d Wachsen f, g : R C höchstens exponentiell, so auch die Faltung f g(t f(ug(t u du t f(ug(t u du. Auf den Beweis verzichten wir hier. Die Funktionen /t und e t2 gehören nicht zur Klasse der höchstens exponentiell wachsenden Funktionen.

3 4. Definitionen, Beispiele und Regeln 3 Beispiele: a Wir beginnen mit der Heavisidefunktion { für t <, H(t : für t. Dann ist L H(s e s t dt s e s t s (für Re s > b Für a > definieren wir die modifizierte Heavisidefunktion H a durch { für t a H a (t H(t a sonst. Dann erhalten wir L H a (s a e s t dt s e s t a e as s (für Re s > oder: H a (t e as s. c Die Bedingung f(t für t < (erreichbar durch Multiplikation mit der Heaviside-Funktion sei künftig automatisch vorausgesetzt. Für > sei f(t sin(t. Dann errechnen wir L f(s 2j 2j 2j sin(t e st dt ( e (j st dt e (j +st dt ( j s e(j st + j + s e (j +st ( j s + j + s 2 + s 2 für Re s >. Damit haben wir sin(t und analog cos(t 2 + s 2 s 2 + s. 2 d Sei f : R C eine periodische, stückweise stetige Funktion. Ist die Periode, so gilt für jedes s C mit positivem Realteil:

4 4 4 Die Laplace-ransformation L f(s k f(te st dt e s k (k+ k f(t + k e s(t+k dt f(te st dt f(te st dt ( e Ist k > ganzzahlig und setzen wir f k (t t k, so finden wir L (f k (s t k e s t dt s tk e s t + k s k s Induktiv erhalten wir damit: f Sei nun g a (t : e at. Dann ist L (g a (s Wir schreiben auch t k e s t dt f(te st dt k t k e s t dt k s L (f k (s für Re s >. L (f k (s k! s k+ für Re(s >. e k s e (a s t dt a s e(a s t, für Re s > a. s a g a (t s a. Wir stellen nun einige Rechenregeln für die Laplacetransformation zusammen, ähnlich wie bei der Fouriertransformation. Alle vorkommenden Funktionen mögen für t < verschwinden und höchstens exponentiell wachsen Satz (Eigenschaften der Laplace-ransformation: Sei f(t F (s und g(t G(s. Dann gilt:. Linearität: a f(t + b g(t a F (s + b G(s. 2. Ähnlichkeitssatz: f(at a F ( s. (für a R, a > a 3. Verschiebungssatz (Verschiebung im Zeitbereich: f(t e s F (s. (für R (Man beachte, dass f(t links vom Nullpunkt abgeschnitten werden muss!

5 4. Definitionen, Beispiele und Regeln 5 4. Dämpfungssatz (Verschiebung im Bildbereich: e ct f(t F (s + c. (für c C Beweis. ist trivial. 2 Ist a R, a >, so gilt: L [f(at] a 3 Für R ist L [f(t ] f(ate st dt a e s f(τe (s/aτ dτ a F ( s a. f(t e st dt f(ate (s/aat a dt f(τe s(τ+ dτ f(τe sτ dτ e s F (s. 4 Schließlich ist L [e ct f(t] Sei etwa f(t t 2 e t. f(te (s+ct dt F (s + c. 4 e 2 Dann sieht f(3t folgendermaßen aus, 2 4 e 2 2/3 und f(t 2 folgendermaßen: 4 e Wegen t 2 2 s 3 finden wir als Laplacetransformierte zu f(t e t t 2 : f(t F (s 2 ( + s 3.

6 6 4 Die Laplace-ransformation Mit den gewonnenen Regeln folgt: f(3t ( s 3 F 3 2/3 ( + s/3 3 8 (3 + s 3 und f(t 2 e 2s F (s 2e 2s ( + s 3 für Re s >. Wie die Fouriertransformation führt auch die Laplacetransformation eine Differentiation wieder in eine Multiplikation über: 4..3 Satz: Die Funktion f verschwinde für t < und sei stückweise stetig differenzierbar für t. Außerdem wachse f höchstens exponentiell. Dann existiert F : L f, und es gilt: f (t s F (s f(+. Beweis. Mit f wächst auch f höchstens exponentiell von gleicher Ordnung a, ist also eine L-Funktion. Ist Re s > a, so ist L f (s f (te st dt f(te st lim ε f(εe sε + s f(t( se st dt Mit vollständiger Induktion zeigt man leicht: f(te st dt f(+ + s F (s Satz: f verschwinde für t < und sei n-mal stückweise stetig differenzierbar für t. Außerdem wachse f (n höchstens exponentiell. Dann wächst auch f höchstens exponentiell, und mit F L f gilt: f (n (t s n F (s s n f(+ s n 2 f (+... f (n ( Satz: Die Funktion h(t sei stetig für t >, und es existiere der einseitige Grenzwert h(+. Wenn h höchstens exponentiell wächst, dann existiert die Laplace-ransformierte H(s von h(t, und damit auch die Laplace-ransformierte von und es gilt: f(t : t h(τ dτ, f(t s H(s.

7 4. Definitionen, Beispiele und Regeln 7 Beweis. Da f (t h(t für t > ist, folgt aus den Voraussetzungen und den vorangegangenen Sätzen, dass die Laplace-ransformierte F (s von f existiert. Außerdem ist f in t stetig, mit f(. Also ist H(s s F (s und f(t F (s s H(s. Beispiel: Es ist (sin 2 t 2 sin t cos t sin 2t, also L [sin 2 t](s s L [sin 2t](s 2 s(s Bei der Differentiation und Integration im Bildbereich erhält man ähnliche Ergebnisse. Allerdings benötigt man dazu den Begriff der komplexen Differentiation, den wir hier nicht in voller Allgemeinheit einführen konnten. In einfachen Fällen geht es aber wie im Reellen, es ist (z n nz n, (/z /z 2, (f g (z f (zg(z + f(zg (z ( f (z f (zg(z f(zg (z und. g g(z 2 In diesem Sinne gilt: 4..6 Satz: Aus der Beziehung f(t F (s folgt: t n f(t ( n F (n (s. Auf den Beweis verzichten wir hier, weil er mathematische Methoden erfordert, die uns nicht zur Verfügung stehen Beispiele A. Es gilt e at und. Damit folgt: s a ( te at s a (s a 2 t 2 e at B. Sei f(t : t 2 sin(t für t. ( 2 s a (s a. 3 Aus der Beziehung sin(t folgt dann: s ( ( 2s f(t 2(s s 2 (s s (s (s (2 3s 2 (s