2 Periodische, nicht harmonische Signale

Transkript

1 Hochfrequenztechnik I Signaldarstellung im Zeit- und Frequenzbereich S/ Harmonische Signale Zeitabhängige Gröÿen, wie z. B. Spannung, Strom oder Feld, sind häug harmonische Gröÿen. Solche sinus- oder kosinusförmigen Signale lassen sich auch durch komplexe Zeiger darstellen. Ein harmonisches Spannungssignal lässt sich beispielsweise folgendermaÿen schreiben: u(t) = 0 cos(!t + ') = <( exp(j!t)) () mit dem komplexen Zeiger = 0 exp(j') () Sind die zu untersuchenden Signale nicht harmonisch, so lassen sich diese durch eine Überlagerung mehrerer harmonischer Signale gemäÿ der Fourieranalyse darstellen. Periodische, nicht harmonische Signale Periodische Signale wiederholen sich nach einer bestimmten Zeit, der Periode u(t) = u(t ) (3) Ein Beispiel für ein derartiges Signal zeigt Abb.. Solche Signale lassen sich in Form einer Fourierreihe darstellen: u(t) = + exp(j! 0 t) mit! 0 = = Hierbei sind die Koezienten die zunächst unbekannten Fourierkoezienten. Nach Multiplikation von Gl. (4) mit exp( j! 0 t) und anschlieÿender Integration von t = bis t = ergibt sich: u(t) exp( j! 0 t) dt = + = exp(j( )! 0 t) dt = 0 für 6= = für = (4) = (5) aus Gl. (5) folgt = u(t) exp( j! 0 t) dt (6) Für reelle Signale u(t) folgt aus Gl. (6), dass = v, so dass man auch schreiben kann: u(t) = < exp(j! 0 t) + 0 (7) = Für ein harmonisches Signal wie in Gl. () verbleibt nur mit =, so dass dann = gilt.

2 Hochfrequenztechnik I Signaldarstellung im Zeit- und Frequenzbereich S/ u(t) t τ Abb. : Beispiel eines periodischen, nicht harmonischen Signals. 3 Nichtperiodische Signale Ist das Signal nichtperiodisch, wie z. B. ein einzelner Puls mit der Zeitabhängigkeit u(t), kann man ähnlich vorgehen wie in Abschnitt, allerdings mit der Annahme, dass die Periode des Signals gegen unendlich geht:! ;! 0! d! ) = Wenn man diese Beziehungen nun in Gl. (4) einsetzt mit (j!) = bzw. und! = d! erhält man: d! = (j!) d! u(t) = (j!) exp(j!t) d!; (8) wobei (j!) die Fouriertransformierte von u(t), (j!) = F [u(t)], darstellt und sich analog zu Gl. (6) berechnet: (j!) = F [u(t)] = u(t) exp( j!t) dt (9) Formal kann man schreiben: u(t) (j!); (0) wobei (j!) auch als Fourierspektrum oder Spektraldichte von u(t) bezeichnet wird. 4 Eigenschaften der Fouriertransformierten Die Fouriertransformierte existiert für + ju(t)j dt < ()

3 Hochfrequenztechnik I Signaldarstellung im Zeit- und Frequenzbereich S/3 Diese Bedingung ist hinreichend, jedoch nicht notwendig. Eine weitere Bedingung ist + was eine endliche Energie des Signals u(t) impliziert. Die Fouriertransformation ist der Laplace-Transformation ähnlich: L[u(t)] = 0 ju(t)j dt < ; () u(t) exp( s t) dt mit s = + j! (3) Im Gegensatz zur Fouriertransformation berücksichtigt die Laplace-Transformation das Signal nur für positive Zeitpunkte t 0, konvergiert aber wegen > 0 unter weniger einschränkenden Bedingungen. Beide Transformationen werden in der Hochfrequenztechnik verwendet: Laplace-Transformation ist zweckmäÿig für die Berechnung von Einschaltvorgängen. Fouriertransformation ist zweckmäÿig für Signale, die für negative Zeitpunkte t < 0 nicht verschwinden. Wir wollen im Folgenden nur die Fouriertransformation betrachten. Wenn das Signal die Bedingungen Gl. () und () erfüllt, ist es wahlweise im Zeitbereich als u(t) oder im Frequenzbereich als (j!) darstellbar. Dann gelten u. a. folgende Beziehungen: Linearität u(t) (j!) =) a u(t) + b v (t) a v (t) (j!) + b V (j!) (4) V (j!) Maÿstabsänderung u(a t) ( jaj j! ) a mit a R; a 6= 0 (5) zeitliche Verschiebung Frequenzverschiebung u(t t 0 ) (j!) exp( j!t0 ) (6) u(t) exp(j! 0 t) [j(!!0 )] (7) Amplitudenmodulation u(t) cos(! 0 t) { [j(!!0 )] + [j(! +! 0 )] } (8) Ableitung n-fache Ableitung du(t) dt d n u(t) j! (j!) (9) dt n (j!)n (j!) (0)

4 Hochfrequenztechnik I Signaldarstellung im Zeit- und Frequenzbereich S/4 nter Verwendung von Gl. (0) lässt sich eine Dierentialgleichung im Zeitbereich in eine algebraische Gleichung im Frequenzbereich transformieren: Ableitung im Frequenzbereich t u(t) j d(j!) d! () Faltung u(t) v (t) = u( )v (t ) d (j!)v (j!) () Hierbei beschreibt das Symbol für die Faltung. Gl. () lässt sich durch direkte Anwendung der Denition der Fouriertransformation beweisen: u( )v (t ) d exp( j!t) dt Nach Vertauschung der Reihenfolge der Integration erhält man: Nun substituiert man t 0 = t bzw. dt 0 = dt: v (t ) exp( j!t) dt u( ) d v (t 0 ) exp( j!t 0 ) exp( j! ) dt 0 V (j!) u( ) d = v (t 0 ) exp( j!t 0 ) dt 0 u( ) exp( j! ) d = V (j!) (j!) (j!) 5 Autokorrelationsfunktion (AKF) Die Autokorrelationsfunktion beschreibt die Korrelation zwischen dem Signal zum Zeitpunkt t 0 = und zum Zeitpunkt t 0 = t, ausgedrückt durch das Produkt u( ) u( t). Bei starker Korrelation ist u( ) u( t) u ( ) u ( t), bei geringer Korrelation verschwindet u( ) u( t) im Mittel. Die Korrelation ist abhängig von t. Die Autokorrelationsfunktion ist folgendermaÿen deniert: R u (t) = u( ) u( t) d (3) = u(t) u( t) (j!)( j!) = j(j!)j für reelles u(t) (4)

5 Hochfrequenztechnik I Signaldarstellung im Zeit- und Frequenzbereich S/5 Die Fouriertransformierte der AKF entspricht somit der spektralen Energiedichte des Signals u(t). Aus Gl. (8) und (4) folgt für t = 0: R u (t = 0) = u ( ) d = j(j!)j d! = j(j!)j df mit f =! (5) Gl. (5) entspricht dem Parsevalschen Theorem. Die Gesamtenergie u (t) dt eines Signals lässt sich somit sowohl im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich darstellen. Daher bezeichnet man j(j!)j auch als spektrale Energiedichte.