Lokaloszillator. Wir nehmen zunächst ein harmonisches Eingangssignal u s (t) an: ^U 0 exp(j! 0 t) + c:c: ; (2)

Transkript

1 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/1 Das Ziel eines Mischers besteht darin, ein Signal einer Frequenz! 1 auf eine andere Frequenz! 2 umzusetzen. Beispielsweise liegt das Eingangssignal von einer Antenne bei einer hohen Frequenz vor, welches dann zur einfacheren Signalverarbeitung auf eine kleinere Frequenz umgesetzt werden soll. Diese Funktion wird von einem sog. Mischer vorgenommen. 1 Mischprinzipien Das Prinzip eines Mischers besteht darin, das Eingangssignal mit einem Lokal-Oszillator-Signal zu multiplizieren, wie in Abb. 1 schematisch dargestellt ist. Eingangssignal u s (t) ω 1 u ZF (t) Zwischenfrequenzsignal ω z = ω 0 ω 1 ω 0 Lokaloszillator Abb. 1: Grundprinzip eines Mischers. Wir nehmen zunächst ein harmonisches Eingangssignal u s (t) an: u s (t) = < [ U S exp(j! 1 t) ] = ^U S cos(! 1 t + ' 1 ) = 1 2 [ US exp(j! 1 t) + U S exp( j! 1t) ] (1) Der Zeiger U S ist dabei durch U S = ^U S exp(j' 1 ) charakterisiert. Der Lokaloszillator hat die feste Frequenz! 0, u 0 (t) = 1 2 ( ) ^U 0 exp(j! 0 t) + c:c: ; (2) wobei c:c: für konjugiert komplex (engl. conjugate complex) steht. Der Mischer vollzieht eine Multiplikation von u 0 (t) und u s (t): u s (t) u 0 (t) = 1 { [ ] [ ^U 0 U S exp[j(! 0 +! 1 )t] + c:c + ^U 0 U S 4 exp[j(! 0! 1 )t] + c:c:] } (3) Nach der Multiplikation entstehen damit Signale sowohl bei der Summenfrequenz (! 0 +! 1 ) als auch bei der Dierenzfrequenz (! 0! 1 ). Wir gehen zunächst von einem Mischer aus, der das Eingangssignal von einer hohen Frequenz! 1 auf eine niedrige Frequenz! z = j! 0! 1 j, der sogenannten Zwischenfrequenz, umsetzt. Es wird dann nur die Dierenzfrequenz aus Gl. (3) verwendet (nach entsprechender Filterung), so dass sich für das Zwischenfrequenzsignal ergibt: u ZF (t) = A 1 2 ^U 0 ^U S cos(! z t ' 1 ) für! 0 >! 1 (4) bzw. u ZF (t) = A 1 2 ^U 0 ^U S cos(! z t + ' 1 ) für! 0 <! 1 (5) A ist dabei eine charakteristische Konstante des Multiplizierers. u ZF (t) gibt dabei sowohl die Amplitude ^U S als auch die Phase ' 1 des Eingangssignals wieder, wobei die Phase für! 0 <! 1 in Gleichlage und für! 0 >! 1 in Kehrlage wiedergegeben wird.

2 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/2 Wir unterscheiden damit zwischen Gleichlage- und Kehrlage-Mischern. Weiterhin unterscheiden wir zwischen Aufwärts- und Abwärtsmischern, je nachdem ob! z gröÿer oder kleiner als! 1 ist. Wir kommen damit zu folgenden Mischprinzipien: 1.! 0 <! 1 : a)! z =! 1! 0 : Abwärtsmischer in Gleichlage b)! z =! 1 +! 0 : Aufwärtsmischer in Gleichlage 2.! 0 >! 1 : a)! z =! 0! 1 : Abwärtsmischer in Kehrlage (für! z <! 1, sonst Aufwärtsmischer) b)! z =! 0 +! 1 : Aufwärtsmischer in Gleichlage Die obigen Betrachtungen lassen sich auch auf nicht-harmonische Signale u s (t) verallgemeinern, wobei u s (t) durch seine Fouriertransformierte U S (j!) dargestellt wird: u s (t) US (j!) (6) Mit einem Lokaloszillator-Signal u 0 (t) = 2 cos(! 0 t) (7) gilt dann u s (t) u 0 (t) = U S ( j(!!0 ) ) + U S ( j(! +!0 ) ) : (8) Das Eingangsignal wird damit um die Frequenz! 0 sowohl nach oben als auch nach unten verschoben, es bleibt aber ansonsten unverändert, so dass keine Informationen verloren gehen. Für einen Abwärtsmischer in Kehrlage entsprechend 2a) in obiger Darstellung (! 0 >! 1,! z =! 0! 1 ) ergibt sich das Spektrum in Abb. 2. Als Ausgangssignal werden die Spektralkomponenten um! z =! 0! 1 herum herausgeltert. U S (j(ω + ω 0)) U S (jω) U S (j(ω ω 0)) (ω 0 + ω 1) ω 0 ω 1 (ω 0 ω 1) +(ω 0 ω 1) +ω 1 +ω 0 +(ω 0 + ω 1) Abb. 2: Eingangs- und Ausgangsspektrum für einen Kehrlage-Abwärtsmischer. 1.1 Spiegelfrequenz Wenn wir einen Kehrlage-Abwärtsmischer voraussetzen mit einer festen (durch die Wahl des Filters am Ausgang festgelegten) Zwischenfrequenz! z, liegt die gewünschte Eingangsfrequenz bei! 1 =! 0! z. Es ist allerdings zu beachten, dass dann auch (unerwünscht) ein Eingangssignal bei der Frequenz

3 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/3! 0 1 =! 0 +! z auf die gleiche Zwischenfrequenz! z umgesetzt wird.! 0 1 wird als Spiegelfrequenz bezeichnet, und der Abstand zwischen Soll-Eingangsfrequenz und Spiegelfrequenz ist durch! 0 1! 1 = 2! z ; (9) also die doppelte Zwischenfrequenz gegeben. Um damit ein eindeutiges Zwischenfrequenzsignal zu ermöglichen, muss die Spiegelfrequenz am Eingang durch entsprechende Filterung unterdrückt werden. Es ist damit ein Kompromiss zu nden zwischen einer einfachen Filterrealisierung am Eingang (möglichst hohe Zwischenfrequenz) und einer unproblematischen Signalverarbeitung (möglichst niedrige Zwischenfrequenz). Gegebenenfalls können auch mehrere Mischstufen hintereinander geschaltet werden (zunächst hohe Zwischenfrequenz und am Ausgang niedrige Zwischenfrequenz). 2 Realisierung von Mischern mit nichtlinearen Kennlinien Die Multiplikation auch bei hohen Frequenzen lässt sich durch nichtlineare Kennlinien realisieren. Beispielsweise eignen sich dazu nichtlineare Kennlinien zwischen Strom und Spannung bei Dioden und Transistoren. Abb. 3: Strom und Spannung bei Dioden und Transistoren. Der Zusammenhang zwischen dem Strom i (t) und der Spannung u(t) ist dabei durch i = f (u) (10) gegeben mit der nichtlinearen Funktion f (u). Zur Vereinfachung wollen wir hier annehmen, dass der Strom i instantan der Spannung u folgt und Ladungsspeichereekte vernachlässigt werden können. 2.1 Hochfrequenzgleichrichtung Bevor wir uns dem eigentlichen Mischer zuwenden, wollen wir eine nichtlineare Kennlinie i = f (u) betrachten, die nur von einem harmonischen Signal u(t) = U g + ^U cos(!t): (11) ausgesteuert wird. Es sei ( ) u(t) i (t) = f (u(t)) = I S exp 1 (12)

4 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/4 Abb. 4: Beispielhafter Verlauf von u(t) und i (t) bei einer Diodenkennlinie (hier mit ^U = U g = 0; 6 ). und mit dem Sperrstrom I S und der Temperaturspannung = kt (U e T = 26 mv bei Raumtemperatur T = 290 K). Im Abb. 4 ist der Verlauf zwischen u(t) und i (t) beispielhaft skizziert. Der Strom i (t) ist dann immer noch periodisch mit der Periodendauer = 2, so dass dann i (t) als! Fourierreihe geschrieben werden kann: +1 i (t) = A m exp(jm!t) (13) m= 1 mit den Fourierkozienten A m = 1 +=2 =2 i (t) exp( jm!t) dt = 1 +=2 =2 I S [ U g + ^U ] cos(!t) exp 1 exp( jm!t) dt (14) Zur Lösung von Gl. (14) wird die modizierte Besselfunktion I m (x ) der Ordnung m eingeführt: I m (x ) = exp(x cos y ) cos(my ) dy ; (15) so dass sich aus Gl. (14) ergibt: ( ) ( ) U g ^U A m = I S exp I m A 0 = I S exp ( U g ) I 0 ( ^U ) 1 für m 6= 0 (16) für m = 0 (17) In Abb. 5 sind modizierte Besselfunktionen beispielhaft dargestellt. Solange die Diodenkennlinie nur schwach ausgesteuert wird ( ^U ), ergibt sich auch für den Strom ein nahezu harmonischer Verlauf, wobei die Verzerrungen durch die Fourierkoezienten A m mit m 2 charakterisiert werden. Gelegentlich wird auch ein Klirrfaktor eingeführt, wobei der Klirrfaktor der Ordnung m gegeben ist als k m = A m A 1 : (18)

5 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/5 I m I 0 I 1 I 2 I 3 Abb. 5: Modizierte Besselfunktionen I m (x ) der Ordnung m = 0 : : : 3. x Zur einfacheren Analyse von A m ist es zweckmäÿig, Näherungen für I m (x ) für kleine und groÿe Argumente von x einzuführen. So gilt für x 1: ( ) x m für m 6= 0 (19) I m (x ) 1 m! I 0 (x ) 1 + x 2 2 während für x 1 sich alle I m (x ) dem Grenzwert 2 für m = 0 (20) I m (x ) exp(x p ) 2x (21) nähern. Beispiel: Als Beispiel werde die Gleichrichterschaltung in Abb. 6 betrachtet. Die Kapazität C sei sehr groÿ, so dass an ihr nur die Gleichspannung U g abfällt. U g hängt zusammen mit dem Gleichstrom von i (t), der sich mit Gl. (13) zu A 0 ergibt. Damit gilt U g = A 0 R (22) und damit ergibt sich mit Gl. (17) U g = I S R exp ( U g ) ( ) ^U I 0 1 ; (23) woraus sich die Gleichrichtspannung U g als Funktion der Hochfrequenz-Wechselspannung ^U bestimmen lässt. Für ^U folgt aus Gl. (23) mit Gl. (20): U g = ^U 2 1 ; (24) 2 + I S R

6 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/6 so dass man dann auch von einer quadratischen Gleichrichtung spricht. Für ^U folgt aus Gl. (23) mit Gl. (21): U g = ^U; (25) so dass man dann von linearer Hochfrequenz-Gleichrichtung spricht. Abb. 6: Schaltung zur Hochfrequenzgleichrichtung. 2.2 Mischer mit nichtlinearer Transistorkennlinie Wir betrachten entsprechend Abb. 3 einen Transistor, der mit einer Überlagerung aus Signal- und Lokaloszillator-Spannung ausgesteuert wird. Es gilt damit für u(t): u(t) = u s (t) + u 0 (t): (26) Für das Lokaloszillator-Signal gilt u 0 (t) = U g + ^U 0 cos(! 0 t): (27) Weiterhin soll der Transistor durch das Eingangssignal u s (t) nur schwach ausgesteuert werden, so dass gilt. Diese Aussteuerung ist in Abb. 7 skizziert. Es gilt i (t) = f (u(t)) = f (u 0 (t) + u s (t)) = f (u 0 (t)) + u s (t) ju s (t)j ^U 0 : (28) df (u) du u=u0 (t) + : : : (29) Gl. (29) stellt die Taylor-Entwicklung von f (u) um u 0 (t) herum dar, wobei nur das erste Glied der df (u) Taylor-Entwicklung dargestellt ist. j du u=u 0 (t) stellt die durch das Lokaloszillator-Signal gesteuerte zeitabhängige Steilheit des Transistors dar. Diese Steilheit ändert sich periodisch entsprechend der Frequenz des Lokaloszillators und wird mit dem Eingangssignal multipliziert. Diese Multiplikation führt zu der gewünschten Frequenzumsetzung. Die Steilheit S(t) = Fourierreihe darstellen: S(t) = df (u) du u=u0 (t) = +1 m= 1 df (u) j du u=u 0 (t) lässt sich wieder als Y m exp(jm! 0 t) (30)

7 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/7 i = f (u) Steigung ( ) df du U g u s (t) u u 0 (t) Zeit t Abb. 7: Die Kennlinie i = f (u) wird von u s (t) und u 0 (t) ausgesteuert, wobei die Kennlinie im Bereich der Aussteuerung von u s (t) im Wesentlichen linear ist. Da der Parameter df du wird, spricht man auch von einer parametrischen Schaltung. durch u 0(t) gesteuert

8 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/8 Beispiel: Beim bipolaren Transistor gilt für den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung die Diodenkennlinie von Gl. (6), so dass für die Ableitung ( df du = I S exp u0 (t) ) u 0 (t) (31) gilt. Für u 0 (t) entsprechend Gl. (27) ergeben sich die Fourierkoezienten Y m Y m = 1 +=2 I S exp =2 ( ) u 0 (t) exp( jm! 0 t) dt (32) zu: ( Y m = I S U g exp ) I m ( ^U 0 ) (33) wieder mit der modizierten Besselfunktion I m (x ). Das gesamte Spektrum des Stroms i (t) gemäÿ Gl. (10) ergibt sich mit Gl. (30) und u s (t) = 1=2[U S exp(j! 1 t) + c:c:] zu: +1 i (t) = f (u 0 (t)) m= 1 [ US Y m exp(j(m! 0 +! 1 )t) + U S Y m exp(j(m! 0! 1 )t) ] (34) Der erste Term f (u 0 (t)) beinhaltet ähnlich zu Gl. (6) die Harmonischen des Lokaloszillator-Signals m! 0, während im zweiten Term die Mischprodukte (m! 0 +! 1, m! 0! 1 ) erscheinen. Wenn wir als Beispiel einen Kehrlage-Abwärtsmischer betrachten (! 0 >! 1,! z =! 0! 1 ), ergibt sich das Zwischenfrequenzsignal bei! z aus Gl. (34) zu: i ZF (t) = 1 2 [ Y 1 U S exp(j(! 0! 1 )t) + Y 1 U S exp( j(! 0! 1 )t) ] ; (35) wobei wir von Y 1 = Y 1 Gebrauch gemacht haben. Das Zwischenfrequenzsignal lässt sich damit durch einen Zeiger I ZF = Y 1 U S (36) darstellen, wobei Y 1 die Übertragung von der Signalspannung zum Zwischenfrequenzstrom beschreibt. Y 1 wird deshalb auch als Mischsteilheit bezeichnet. Im obigen Beispiel haben wir die Umsetzung eines Eingangssignals bei der Frequenz! 1 auf die Zwischenfrequenz (! 0! 1 ) beschrieben. Wir sprechen dann von einem Grundwellenmischer. Es lassen sich aber auch die Oberwellen von! 0 ausnutzen, indem man die Eingangsfrequenz! 1 auf die Zwischenfrequenz (m! 0! 1 ) umsetzt. Man spricht dann von einem Oberwellenmischer mit der Mischsteilheit Y m. Die Ezienz eines Oberwellenmischers ist geringer als die eines Grundwellenmischers; dafür genügt aber die Realisierung eines Lokaloszillators bei einer um den Faktor m niedrigeren Frequenz.

9 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/9 Abb. 8: Prinzipieller Aufbau eines Heterodyn-Empfängers. 3 Beispiele für die Realisierung von Mischern Ein typisches Beispiel für einen Mischer ist ein Heterodyn-Empfänger, wie er in Abb. 8 dargestellt ist. Er besteht aus einem Vorverstärker mit einem Filter zu Unterdrückung der Spiegelfrequenz. Das Eingangssignal wird mit einem Mischer auf eine feste Zwischenfrequenz umgesetzt, die dann ein ZF-Filter passiert, bevor es der Demodulation bzw. der weiteren Signalverarbeitung zugeführt wird. Die Frequenz des Lokaloszillators (variabel) wird dabei so eingestellt, dass die gewünschte Eingangsfrequenz korrekt auf die feste voreingestellte Zwischenfrequenz umgesetzt wird. Beispiele dafür stellen Rundfunkempfänger dar, wobei in Abb. 9 beispielhaft ein FM-Tuner (UKW- Empfänger) dargestellt ist. Es handelt sich dabei um eine ältere Schaltungsrealisierung (ca. 1970), die mit einer geringen Zahl von diskreten Bauelementen die in Abb. 8 genannten Funktionen, Vorverstärker, Spiegelfrequenzlter, Mischer, Lokaloszillator und ZF-Filter realisiert. Wir haben dort einen FET-Vorverstärker mit eingangs- und ausgangsseitigem Filter (abstimmbar zur Unterdrückung der jeweiligen Spiegelfrequenz). Der untere Teil der Schaltung stellt einen Colpitts- Oszillator dar (vgl. Abb. 17 in Abschnitt RÜ),und die Mischstufe wird durch einen Bipolartransistor dargestellt, an den sich am Ausgang ein Filter bei der Zwischenfrequenz um 10,7 MHz anschlieÿt. Neben den oben dargestellten Mischern mit Transistoren lassen sich auch Mischer mit nichtlinearen Kennlinien anderer Bauelemente realisieren. Jenseits der Grenzfrequenz von Transistoren lassen sich beispielsweise Schottky-Dioden (vgl. Skript Hochfrequenztechnik I) einsetzen, da diese eine sehr schnelle Steuerung des dierentiellen Widerstands ermöglichen (einsetzbar bis Frequenzen im Bereich von 1000 GHz), wie weiter unten genauer erläutert wird. Der Frequenzbereich von ca THz (1 THz=10 12 Hz) ist technisch nur schwer zugänglich, während Mischer im optischen Frequenzbereich oberhalb von ca. 100 THz ( 0 3 m) wieder sehr einfach mit Hilfe von Fotodioden realisiert werden können. Das Prinzip einer Mischung im optischen Frequenzbereich ist in Abb.10 skizziert. Das Feld des Eingangssignals E s (t) (bei der optischen Frequenz! 1 ) wird mit dem Feld des Lokaloszillatorsignals E 0 (t) bei der Frequenz! 0 überlagert, so dass sich an der Fotodiode ein Feld E(t) = E 0 (t) + E s (t) (37) ergibt. Der Fotostrom i (t) ist proportional zur einfallenden optischen Leistung und damit proportional

10 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/10 Abb. 9: Realisierungsbeispiel für einen FM-Tuner mit diskreten Bauelementen. Abb. 10: Prinzip eines Mischers von zwei optischen Signalen mit einer Fotodiode.

11 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/11 zu E 2 (t), so dass sich ergibt: i (t) / E 2 (t) = E E2 s + 2E 0(t)E s (t) (38) Der Mischterm in Gl. (38) wird durch E 0 (t)e s (t) repräsentiert, wobei bei dieser Multiplikation die gewünschte Zwischenfrequenz! z = j! 0! 1 j entsteht. Dieses Prinzip wird in der kohärenten optischen Nachrichtentechnik angewandt. 4 Mischer mit Schottky-Dioden Die Schottky-Diode wird wieder durch eine Dioden-Kennlinie i = f (u) entsprechend Gl. (12) charakterisiert, wobei der Einuss von parasitäten Kapazitäten sehr gering ist. Die Schottky-Diode wird nur mit einer Überlagerung von Lokaloszillator, Eingangssignal und Zwischenfrequenzsignal ausgesteuert, wobei diese drei Signale in irgendeiner Weise an die Schottky-Diode herangeführt werden müssen. Um die im Allgemeinen recht komplizierte Analyse handhabbar zu machen, wollen wir hier als Beispiel eine ideale Spannungseinprägung voraussetzen. An der Schottky-Diode liegt dann die Summenspannung aus der Lokaloszillator-Spannung u 0 (t), der Eingangssignal-Spannung u s (t) und der ZF-Signal-Spannung u ZF (t) an. ω 0 ω 1 ω z =(ω 1 ω 0 ) Abb. 11: Schematische Anordnung eines Mischers mit einer Schottky-Diode und Spannungseinprägung. Das Prinzip einer solchen Spannungseinprägung ist in Abb. 11 skizziert. Die in Abb. 11 eingezeichneten Schwingkreise sind symbolisch so zu verstehen, dass sie für alle anderen Frequenzen als die jeweilige Soll-Frequenz Kurzschlüsse darstellen. Wie in Abb. 7 wird die Diodenkennlinie im Wesentlichen durch das Lokaloszillator-Signal u 0 (t) ausgesteuert, während sie durch u s (t), u ZF (t) nur im linearen Bereich

12 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/12 betrieben wird. Der Strom durch die Schottky-Diode i (t) ergibt sich dann ähnlich wie in Gl. (29) zu i (t) = f (u(t)) = f [u 0 (t)) + u s (t) + u ZF (t)] = f (u 0 (t)) + [u s (t) + u ZF (t)] df du ; (39) wobei sich df j du u 0 (t) als ein zeitabhängiger Leitwert g(t) auassen lässt, der sich periodisch mit der Periode = 2=! 0 wieder wie in Gl. (20) als Fourierreihe entwickeln lässt: g(t) = df +1 du = Y m exp(jm! 0 t); (40) u0 (t) m= 1 wobei Y m = Y m für alle reellen g(t) gelten muss. Die Mischung mit der Schottky-Diode erfolgt also im Wesentlichen dadurch, dass durch Aussteuerung der Schottky-Diode mit u 0 (t) ein zeitabhängiger dierentieller Leitwert g(t) entsteht. Damit entspricht Abb. 11 der Anordnung in Abb. 12. u0 (t) Signalkreis ZF-Kreis ω 1 ω z =(ω 1 ω 0 ) Abb. 12: Mischung mit einem sich periodisch verändernden Leitwert g(t) (resistiver Mischer) und Spannungseinprägung. Aus Abb. 12 folgt i (t) = [ u s (t) + u ZF (t) ] g(t); (41) was genau Gl. (39) entspricht (ohne den für die Mischung unerheblichen Term f [u 0 (t)]). Das g(t) in Abb. 12 muss nicht unbedingt mit einer Schottky-Diode realisiert werden, möglich ist z. B. auch die Steuerung des Kanalleitwerts eines FETs durch die Gate-Source-Spannung. Für einen Gleichlage-Abwärtsmischer (! 1 >! 0,! z =! 1! 0 ) führt Gl. (41) mit und g(t) gemäÿ Gl. (40) auf u s (t) = 1 2 u ZF (t) = 1 2 [ US exp(j! 1 t) + c:c: ] (42) [ UZF exp(j(! 1! 0 )t) + c:c: ] (43) i (t) = 1 [ ] +1 US exp(j! 1 t) + U ZF exp(j(! 1! 0 )t) + c:c: Y m exp(jm! 0 t) (44) 2 m= 1 Gl. (44) führt auf unendlich viele Frequenzkomponenten j! 1 m! 0 j, wovon für den Mischvorgang in Abb. 12 nur die Frequenzkomponenten bei! 1 und! z = (! 1! 0 ) interessieren, da alle anderen Frequenzkomponenten im Rahmen des Ansatzes der Spannungseinprägung kurzgeschlossen werden. Aus Gl. (44) folgt für die Stromkomponenten bei! 1 und (! 1! 0 ) (Y 1 = Y ; 1 Y = Y 0 reell) i (t) = 1 2 [ (US Y 0 + U ZF Y 1 ) exp(j! 1 t) + (U ZF Y 0 + U S Y 1 ) exp(j(! 1! 0 )t) + c:c: ] ; (45)

13 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/13 wobei für die Ströme bei der Signalfrequenz und Zwischenfrequenz wieder Stromzeiger eingeführt werden können: i s (t) = 1 2 i ZF = 1 2 [ IS exp(j! 1 t) + c:c: ] ; (46) [ IZF exp(j(! 1! 0 )t) + c:c: ] ; (47) so dass sich aus Gl. (45) ergibt: Gl. (48) und (49) lassen sich in Matrix-Schreibweise formulieren: I S = (U S Y 0 + U ZF Y 1 ) (48) I ZF = (U ZF Y 0 + U S Y 1 ) (49) I S = Y 0 Y 1 I ZF Y U S (50) 1 Y 0 U ZF Gl. (50) entspricht formal der Beschreibung mit y-parametern gemäÿ Abb. 13. Das Netzwerk entsprechend Abb. 12 und 13 ist ja auch ein lineares Netzwerk, aber es ist nicht zeitinvariant, weshalb die Zeiger I S, U S bzw. I ZF, U ZF auf jeweils unterschiedliche Frequenzen bezogen sind. I S I ZF U S (Y ) U ZF Abb. 13: Mischer als lineares Umsetzungsnetzwerk. Interessant ist nun der maximal erreichbare Konversionswirkungsgrad von der Signalfrequenz! 1 der Zwischenfrequenz! ZF =! 1! 0. Dazu kann die aus den y-parametern bekannte maximale Leistungsverstärkung G 0 m herangezogen werden. Aus Gl. (RÜ 27) mit Gl. (RÜ 26) folgt: G 0 jy m = 21 j 2 (51) 2<(y 11 )<(y ) 22 <(y 12 y ) + 21 [2<(y 11 )<(y ) 22 <(y 12 y )] 2 21 jy 12 y 21 j 2 In Gl. (50) gilt y 11 = y 22 = Y 0 und für reelles Y 1 (wie in Gl. (33)) gilt Y 1 = Y 1 = Y 1 ^=y 12 = y 21, so dass aus Gl. (51) folgt: ( ) 2 ( ) 2 G 0 m = Y 2 1 Y Y 0 Y 0 Für die harmonische Aussteuerung einer Diodenkennlinie folgt aus Gl. (33) ( ) ^U I 0 Y 1 U 1 T = ( Y 0 ^U I 0 0 zu (52) ) : (53)

14 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/14 Die maximale Leistungsverstärkung G 0 m nähert sich 1 für Y 1 Y 0! 1, was für ^U 0! 1 erreicht wird. Für ein noch realistisches ^U 0 = 10 ergibt sich beispielsweise ein G 0 m = 0; 5 ( 3 db), was trotz der hier durchgeführten Näherungen (ideale Spannungseinprägung) ein realistisches Ergebnis darstellt. Dieses maximale G 0 m wird erreicht, wenn sowohl auf der Signal- als auch auf der ZF-Seite an den Leitwert Y = Y 2 0 Y 2 1 angepasst wird. Die Rauschzahl eines derartigen realistischen Mischers ist ähnlich wie bei einem passiven Netzwerk F 1 G 0 ; (54) m wenn G 0 m die verfügbare Konversionsezienz des Mischers (G m < 1) bezeichnet. 5 Gegentaktmischer Der Nachteil des Mischers mit Schottky-Dioden, wie wir ihn in Abschnitt 4 diskutiert haben, besteht darin, dass neben dem gewünschten Produkt [u s (t) + u ZF (t)] g(t) mit g(t) = df du j u 0 (t) in Gl. (39) mit dem Term f (u 0 (t)) noch die Harmonischen von! 0 erscheinen. Zur Vermeidung dieses Terms werden Schottky-Dioden-Mischer häug als sogenannte Gegentaktmischer aufgebaut. Das Prinzip eines Gegentaktmischers zeigt Abb. 14. Abb. 14: Prinzip eines Gegentaktmischers mit u 1 (t) = u 0 (t)+u s (t)+u ZF (t) und u 2 = u 0 (t) u s (t) u ZF (t). Wir gehen dabei von zwei gleichen Schottky-Dioden aus, die jeweils mit der Spannung u 1 = u 0 (t) + u s (t) + u ZF (t) (55) und u 2 = u 0 (t) u s (t) u ZF (t) (56) ausgesteuert werden. Der Dierenzstrom i (t) = i 1 (t) i 2 (t) ergibt sich als i (t) = f (u 1 (t)) f (u 2 (t)) = 2[u s (t) + u ZF (t)]g(t) (57)

15 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/15 mit g(t) entsprechend Gl. (40), so das man dann wieder die Multiplikation wie in Gl. (41) erhält. Ein solcher Mischer lässt sich aufbauen mit einem 3 db 180 -Koppler, 180 -Hybrid oder Magisches T (vergleiche Hochfrequenztechnik I, Abschn. HS), der z. B. als Ringkoppler (HFT I, Abschn. HS, Abb. 13) realisiert werden kann. Ein Realisierungsbeispiel zeigt Abb. 15. Abb. 15: Gegentaktmischer mit Ringkoppler und zwei Schottky-Dioden. Die Kapazität C in Abb. 15 soll einen Tiefpass repräsentieren, der für das hochfrequente Signal und den Lokaloszillator einen Kurzschluss und das ZF-Signal einen Leerlauf darstellt. An den Schottky- Dioden liegt jeweils die Summe bzw. die Dierenz von Lokaloszillator- und Eingangssignal an, während sich der Strom des ZF-Signals gleichzeitig auf die beiden Schottky-Dioden aufteilt. 6 Ringmischer Ein Nachteil des oben diskutierten Gegentaktmischers besteht noch darin, dass g(t) immer positiv ist und damit der Gleichanteil Y 0 von g(t) in Gl. (40) nicht verschwindet. Die führt dazu, dass der Strom i (t) in Abb. 14 und 15 oder Gl. (41) immer auch Spektralanteile des Eingangssignals mit beinhaltet. Idealerweise wäre bei g(t) in Gl. (40) Y 0 = 0 und nur Y 1 = Y 1 6= 0. Um einem solchen idealen Verhalten näher zu kommen, verwendet man einen sogenannten Ringmischer, wie er in Abb. 16 schematisch dargestellt ist. Für u 0 (t) > 0 werden die Dioden D 2 und D 4 leitend (im Idealfall Kurzschluss), während D 1 und D 3 sperren (im Idealfall Leerlauf). Für u 0 (t) < 0 drehen sich die Verhältnisse um. Dann lässt sich idealerweise schreiben: u ZF = u s (t) s(t) (58) mit der Schaltfunktion s(t) = +1 für u 0 (t) > 0 1 für u 0 (t) < 0 (59) Diese Multiplikation in Gl. (58) kommt der idealen Multiplikation für einen Mischer in Gl. (3) sehr nahe und ist auch einmal in Abb. 17 skizziert.

16 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/16 ZF Abb. 16: Prinzip eines Ringmischers bzw. Ringmodulators. s(t) +1 u ZF (t) u s (t) 1 Abb. 17: Schematische Darstellung der Multiplikation von u s (t) mit s(t) bei einem Ringmischer.

17 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/17 Das Prinzip eines Ringmischers ist nicht auf die Realisierung mit Dioden beschränkt. Eine Realisierung mit Feldeekttransistoren führt auf den sogenannten Gilbert-Mischer in Abb. 18. Das (dierentielle) Eingangssignal wird dabei zwischen den Anschlüssen RF und RF + angelegt, während das ZF-Ausgangssignal sich als dierentielles Ausgangssignal zwischen den Knoten 1 und 2 ergibt. Der Lokaloszillator wird zwischen LO und LO + angeschlossen. Abb. 18: Prinzip eines Gilbert-Mischers. Die Äquivalenz zu einem Ringmischer wird deutlich, wenn man Abb. 18 etwas umzeichnet, woraus sich Abb. 19 ergibt. Zwischen- Frequenz- Ausgang Eingangssignal Abb. 19: Gilbert-Mischer, dargestellt in Form eines Ringes. 7 Parametrische Frequenzumsetzung mit gesteuerter Kapazität Wir haben oben die Mischung mit einem steuerbaren Leitwert g(t) diskutiert. Es stellt sich hier die Frage, ob nicht auch die Mischung mit einer steuerbaren Kapazität c(t) möglich wäre. Auf den esten

18 Hochfrequenztechnik II Mischer MI/18 Blick hätte eine gesteuerte Kapazität den Vorteil, dass keine Verluste entstehen. Allgemein lässt sich eine nichtlineare Kapazität durch eine nichtlineare Beziehung zwischen der Ladung q(t) und der Spannung u(t) entsprechend q(t) = h[u(t)] (60) beschreiben, woraus sich die dierentielle Kapazität c(t) = dq du u0 (t) (61) ergibt, wobei die nichtlineare Kapazität durch die Lokaloszillator-Spannung u 0 (t) ausgesteuert wird. c(t) lässt sich dann wie in Gl. (40) als Fourier-Reihe schreiben: c(t) = m=+1 m= 1 C m exp(jm! 0 t) (62) mit reellem C 0 = C 0 und C m = C m. In Abb. 12 lässt sich dann g(t) durch c(t) und der Strom i (t) durch die Ladung q(t) ersetzen, woraus dann statt Gl. (41) für q(t) folgt: q(t) = [u s (t) + u ZF (t)]c(t) (63) Statt für den Strom schreiben wir jetzt für die Ladung bei dem Eingangs- bzw. Zwischenfrequenzsignal (vgl. Gl. (46), (47)) q s (t) = 1 2 [Q S exp(j! 1t) + c:c:] (64) q ZF (t) = 1 2 [Q ZF exp(j(! 0! 1 )t) + c:c:]; (65) woraus sich dann wie in Gl. (50) in Matrix-Schreibweise ergibt: Q S = C 0 C 1 Q ZF C U S : (66) 1 C 0 U ZF Wenn man jetzt versucht, den Konversionswirkungsgrad zu ermitteln, muss man von der Ladung q(t) zum Strom i (t) = dq(t) dt übergehen, woraus I S = j! 1 Q S und I ZF = j! ZF Q ZF (67) folgt. Hier wird das Problem eines Abwärtsmischers mit gesteuerter Kapazität deutlich: Für! ZF! 1 ergeben sich bei der Zwischenfrequenz sehr kleine Ströme (und damit auch sehr kleine Leistungen), so dass ein Abwärtsmischer mit gesteuerter Kapazität nicht vernünftig realisiert werden kann. Anders verhält es sich jedoch bei einem Aufwärtsmischer (! ZF! 1 ); hier ist sogar eine Verstärkung möglich (parametrische Verstärkung). Für gesteuerte Kapazitäten gibt es allgemeine Gesetzmäÿigkeiten für die Leistungsbeziehungen (Manley- Rowe-Gleichungen), die hier aber nicht weiter diskutiert werden sollen.