Im Frequenzbereich beschreiben wir das Verhalten von Systemen mit dem Komplexen Frequenzgang: G (jω)

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1 4 Systeme im Frequenzbereich (jω) 4.1 Allgemeines Im Frequenzbereich beschreiben wir das Verhalten von Systemen mit dem Komplexen Frequenzgang: G (jω) 1

2 4.2 Berechnung des Frequenzgangs Beispiel: RL-Filter 2

3 4.3 Experimentelle Ermittlung des Frequenzgangs Zur experimentellen Analyse des Frequenzgangs von Systemen beaufschlagt man das zu untersuchende System mit einem periodischen Signal (z.b. Sinussignal) mit einer konstanten Amplitude und einer bestimmten Frequenz (f bzw. ω). xˆ ( e ) Von Interesse ist die Amplitude und die Phasenverschiebung des Ausgangssignals ( xˆ a und ϕ a ) bei dieser konkreten Frequenz des Eingangssignals. Beziehungsweise die Veränderung dieser Parameter für verschiedene Frequenzen, d.h. als Funktion von ω (ω "wobbeln"). Amplituden - Frequenzgang: logarithmischer Amplituden - Frequenzgang: Phasen Frequenzgang: 3

4 4.4 Darstellung des Frequenzgangs BODE-Diagramm! Darstellung von ω auf der Abszisse: logarithmisch Beispiel: für ein PT 1 Glied (mit K p = 1 und ω g = 1 s -1 ) ω g : Grenzkreisfrequenz (bei Abfall des A db um 3 db) 4

5 4.4.2 Ortskurve Darstellung des Systemverhaltens für bestimmte ω als Punkt. Punkt wandert mit steigender ω und beschreibt die Ortskurve Beschreibung der Lage des Punktes: a) Kartesische Koordinaten: - Real-Teil des G(jω): (Re) - Imaginär-Teil des G(jω) : (Im) b) Polarkoordinaten: * Zeigerlänge: xˆ ( ω) r ω = A ω = = Re + xˆ a 2 2 ( ) ( ) Im e * Phasenverschiebung des Zeigers: Im ϕ( ω) = ϕa ( ω) -ϕe = arctan( ) Re Beispiel: für ein PT 1 Glied 5

6 4.5 Anwendungs-Beispiel: Frequenz - Filterung Ideale Frequenz - Filter a) Tiefpass Filter: (TP) b) Hochpass Filter: (HP) c) Bandpass - Filter : (BP) d) Bandstop - Filter : (BS) 6

7 4.5.2 Passive Analogfilter RC Tiefpass-Filter: ω = 1 g R C RC Hochpass-Filter: ω = 1 g R C RL Tiefpass-Filter: ω g R = L RL Hochpass-Filter: ω g R = L Problem: Folge-Impedanzen! Folge-Impedanzen beachten!! 7

8 4.5.3 Aktive Analogfilter Rückblick OPV-Grundschaltungen: a) invertierender OPV: b) nichtinvertierender OPV: Sonderfall: mit R 2 0 und R 1 "Spannungsfolger": Abkopplung von Folgeimpedanzen! Nichtinvertierende OPV-Schaltung: * Tiefpass Filter: * Hochpass Filter: 8

9 Invertierende OPV-Schaltung: * Tiefpass Filter: * Hochpass Filter: Kombination Invertierend- und Nichtinvertierend: die sog. SALLEN KEY Schaltung Hausaufgabe: - Wie groß ist die Filter-Ordnung einer Sallen-Key Schaltung? - Zeichnen Sie eine Sallen-Key-Tiefpass-Schaltung. - Zeichnen Sie eine Sallen-Key-Hochpass-Schaltung. - Wie werden die Bauteilwerte einer Sallen-Key-Tiefpass-Schaltung für eine bestimmte Grenzfrequenz des Filters berechnet? * allgemein (mit R 1 = R 2 = R und C 1 = C 2 = C) * für: f g = 15,9 khz, R = 10 kω : bestimmen Sie C. * für: ω g = 1256 s -1, R = 10 kω : bestimmen Sie C. 9

10 * Bandpass Filter: * Bandstop Filter: 10

11 4.5.4 Frequenzfilter höherer Ordnung a.) Allgemeines Je höher die Ordnung (n) eines Frequenz Filters, um so höher ist die... des Amplitudengangs im. z.b. Tiefpass Filter, Kaskadierung von Frequenzfiltern 1. Ordnung mit gleichen ω g : b.) Realisierung Man realisiert Frequenzfilter höherer Ordnung durch die von Filtern niederer Ordnung. Die einzelnen Filterstufen können dabei entweder identische oder unterschiedliche Grenzfrequenzen besitzen. 11

12 c.) Kaskadierung identischer Filter-Stufen (alle Einzel-Filter besitzen die gleiche Grenzfrequenz) Allerdings müssen die Grenzfrequenzen der Einzelfilterstufen an die Grenzfrequenz der gesamten Filter-Kaskade angepasst werden: Für Tiefpass-Filterung gilt: Für Hochpass-Filterung gilt: Beispiel: 12

13 d.) Kaskadierung nicht-identischer Filter-Stufen - einzelne Filter-Stufen können unterschiedliche ω g besitzen - Mit der Kaskadierung nicht-identischer Filter-Stufen kann die Filter-Wirkung verbessert werden - Es existieren verschiedene Verfahren: *. *. *. *. Beispiel: Tiefpass-Filter mit n = 8: 13