Als Summendarstellung der komplexen Zahl bezeichnen wir den bekannten Ausdruck

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1 A.1 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN In diesem Abschnitt werden die mathematischen Grundlagen zusammengestellt, die für die Behandlung von Übertragungssystemen erforderlich sind. Unter anderem sind dies die komplexen Zahlen und ihre Grundrechenarten, die harmonischen Schwingungen und ihre Darstellungsarten, die Fourierreihe und die Fouriertransformation. A.1.1 KOMPLEXE ZAHLEN Bei der Beschreibung von übertragungstechnischen Systemen spielen komplexe Größen eine besondere Rolle, da sie insbesondere die Berechnung und die Analyse solcher Systeme zum Teil im erheblichen Maße erleichtern. Jede komplexe Größe setzt sich zusammen aus der j2ðft komplexen Zahl und der physikalischen Einheit, z.b. u(t) = 5V e Eine komplexe Zahl besteht aus einem reellen und einem imaginären Anteil. Die komplexe Zahl (A.1) 2 mit j = -1 bezeichnen wir als imaginäre Einheit. (A) Summendarstellung Als Summendarstellung der komplexen Zahl bezeichnen wir den bekannten Ausdruck (A.2) Hierbei sind a = Re{z} der Realteil und b = Im{z} der Imaginärteil der komplexen Zahl z. (B) Trigonometrische Darstellung Besonders anschaulich, insbesondere aus übertragungstechnischer Sicht, können komplexe Zahlen in der komplexen Ebene gedeutet werden (Bild A.1). Bild A.1: Geometrische Deutung einer komplexen Zahl in der komplexen Ebene

2 In dieser Ebene stellt sich eine komplexe Zahl als ein Punkt bzw. als ein Zeiger dar, wobei beispielsweise die Länge des Zeigers als Amplitude (z. B. 3 V) und der Winkel zur reellen Achse als Phasenwinkel eines harmonischen Signals, beispielsweise eines Sinussignals, gedeutet werden kann. Zwischen Realteil a, Imaginärteil b, Betrag c und Phasenwinkel besteht dabei der folgende Zusammenhang: (A.3a) (A.3b) und (A.3c) (C) Exponentialdarstellung Die wichtigste Darstellung einer komplexen Größe z für die Analyse von Übertragungssystemen ist Exponentialdarstellung. Sie basiert auf der Eulerschen Formel (A.4) und lautet (A.5) Aus der Eulerschen Formel folgt mit = ð/2 die imaginäre Einheit (A.6) die auch als Eulersche Zahl bezeichnet wird. (D) Konjugiert komplexe Zahl Wird bei einer komplexen Zahl z das Vorzeichen des Imaginärteils umgekehrt, so erhält man * die konjugiert komplexe Zahl z. Das heißt ist (A.7a) dann ist

3 (A.7b) Auch bei einem größeren komplexen Ausdruck gilt, dass lediglich das Vorzeichen vor jeder im Ausdruck vorhandenen imaginären Einheit j umzukehren ist, um den konjugiert komplexen Ausdruck zu erhalten. (E) Einige Formel Für den praktischen Umgang mit komplexen Größen folgt hier eine kleine Auflistung der wichtigsten formalen Zusammenhänge: 1. Realteil-, Imaginärteil- und Betragsbildung (A.8a) (A.8b) (A.8c) 2. Umkehrung der Eulerschen Formel (A.9a) (A.9b) 3. Addition und Subtraktion (A.10) 4. Multiplikation und Division (A.11a) (A.11b)

4 Betrachtet man die komplexen Größen der beiden Gleichungen (A.11a) und (A.11b) als Zeiger in der komplexen Ebene, so bewirken die Multiplikation und die Division eines Zeigers mit einem anderen, erstens eine Streckung oder Stauchung des Ausgangszeiger, z.b. von c1exp(j 1) und zweitens eine Drehung. Ob eine Streckung oder Stauchung vorliegt, entscheidet das Produkt c1c 2bzw. der Quotient c 1/c 2. Ist dessen Wert größer Eins, so wird der Ausgangszeiger in seiner Länge gestreckt, anderenfalls gestaucht. Die Drehung des Zeigers erfolgt entgegen dem Uhrzeigersinn, also im mathematisch positiven Sinn, wenn bei der Multiplikation 2 größer Null bzw. bei der Division 2 negativ ist. Ein Spezialfall liegt vor wenn der zweite Zeiger gleich der imaginären Einheit j ist. Hier gilt (A.12) o d.h., es erfolgt eine Drehung des Zeigers c1exp(j 1) um 90 im mathematisch positiven Sinn wobei die Länge des Zeigers bestehen bleibt. Bei einer Division mit j wird der Zeiger bei o gleichbleibender Länge um 90 im mathematisch negativen Sinn gedreht. A.1.2 HARMONISCHE SCHWINGUNGEN Harmonische Schwingungen werden in Übertragungssystemen als Träger- und Testsignale verwendet. Trägersignalen wird mit Hilfe der Modulation das Nachrichtensignal aufgeprägt, wobei eine Verschiebung des Nachrichtenspektrums - des so genannten Basisbands - in den Trägerfrequenzbereich erfolgt. Dieser Frequenzbereich ist dem jeweiligen Übertragungsmedium angepasst. Bei Übertragungssystemen mit Lichtwellenleiter liegt er beispielweise im nahen Infrarot (z.b. bei 200 THz) und bei Satellitenverbindungen zum Beispiel bei 10 GHz. Wichtigster Vertreter harmonischer Trägersignale ist das Sinus- bzw. Cosinussignal. Da beide Schwingungen bis auf eine zeitliche Verschiebung identisch sind - sin(x) = cos(x-ð/2) - verwenden wir hier die Cosinusfunktion um beide harmonischen Schwingungen zu beschreiben (Bild A.2). Bild A.2: Harmonische, cosinusförmige Schwingung mit Periode T 0 Die Cosinusschwingung kann mathematisch sowohl reell als auch komplex dargestellt

5 werden. In der reellen Darstellung lautet sie: (A.13a) -1 Hierbei sind ù 0 = 2ðf 0 die Kreisfrequenz in s, f 0 = 1/T 0 in Hz die Frequenz und T 0 in s die Periode der Cosinusschwingung. Zwischen der Amplitude c, dem Phasenwinkel und den beiden Teilamplituden a und b bestehen dabei die folgenden einfachen Zusammenhänge: (A.13b) (A.13c) Die in Bild A.3 gezeigte geometrische Deutung dieser Zusammenhänge ist dabei sehr ähnlich der geometrischen Darstellung von komplexen Zahlen (vgl. Bild A.1). Bild A.3: Geometrische Deutung der in den Gl. (A.13a) bis (A.13c) angegebenen Zusammenhänge Unter Anwendung der Gleichung (A.9a) kann die reelle Cosinusschwingung u(t) auch durch zwei komplexe harmonische Schwingungen dargestellt werden: (A.14a) Die komplexe Teilamplitude A ist dabei wie folgt mit den Amplituden a,b und c der reellen Darstellung verknüpft: (A.14b) Beispiel A.1: Gegeben sei das harmonische Signal u(t) = c cos(ù0t), d.h. der Phasenwinkel ist hier gleich * Null. In diesem Sonderfall sind die beiden komplexen Amplituden A und A identisch und rein * reell, nämlich A = A = c/2. Die komplexe Darstellung des Signals vereinfacht sich hier zu

6 (A.15) Diese Gleichung lässt sich anschaulich sehr schön im Zeigerdiagramm darstellen (Bild A.4). In diesem Diagramm sind die beiden komplexen Teilschwingungen durch je einen Zeiger dargestellt. Die Längen der beiden Zeiger, also ihre Amplituden, sind gleich. Beide Zeiger liegen spiegelbildlich zur reellen Achse, d.h. der Neigungswinkel ist bei beiden betragsmäßig gleich, nämlich ù0t. Da dieser Winkel eine Funktion der Zeit ist, dreht sich der obere Zeiger gegen und der untere Zeiger im Uhrzeigersinn. Der Summenzeiger, dieser repräsentiert das reelle Cosinussignal u(t) bleibt dabei, wie nicht anders zu erwarten, auf der reellen Achse. Die Spitze dieses Zeigers beschreibt die sogenannte Ortskurve, die hier gleich der reellen Achse zwischen den beiden Punkten c und -c ist. Bild A.4: Darstellung der harmonischen Schwingung u(t) = c cos(ù0t) im Zeigerdiagramm Aus dem obigen Beispiel wird auch die Bedeutung einer negativen Frequenz deutlich, die uns bei der Analyse von Übertragungssystemen häufig begegnet. Eine komplexe harmonische Schwingung c/2 exp(-jù0t) mit negativer Kreisfrequenz -ù 0 bedeutet gemäß Bild A.4 nichts anderes, als dass sich der zugehörige, drehende Zeiger im Uhrzeigersinn, also im mathematisch negativen Sinn dreht. Negative Frequenzen sind also nur eine Folge der mathematischen Darstellung; messtechnisch erfassbar sind sie nicht. Dies gilt im übrigen auch für viele andere mathematischen Hilfsmittel, die eine einfache mathematische Systembeschreibung ermöglichen, aber praktisch nicht existieren, beispielsweise der unendlich hohe und unendlich schmale Diracimpuls. Harmonische Schwingungen kommen in ihrer mathematischen Beschreibung nicht nur als reelle sondern auch als komplexes Zeitsignal vor. Dies komplexe Darstellung basiert auf der Grundlage (A.16)

7 Das komplexe harmonische Signal muss somit wie folgt lauten: (A.17) Der Vorteil der komplexen harmonischen Schwingung liegt darin, das sich mit ihr Übertragungssysteme erheblich einfacher und schneller analysieren lassen als mit reellen harmonischen Schwingungen. Da die meisten technischen Übertragungssysteme lineare Systeme sind, gibt es zwischen dem Real- und Imaginärteil keine Wechselbeziehungen im System. Beide Teile bleiben also bei einer Übertragung unabhängig voneinander. Um zur reellen Lösung zu gelangen muss demzufolge nach einer Systemanalyse, beispielsweise nach einer Berechnung des komplexen Ausgangssignals, nur der Imaginärteil entfernt werden um das physikalisch messbare Signal zu erhalten (Bild A.5). Bild A.5: Anwendung komplexer harmonischer Schwingungen bei Übertragungssystemen (a) Problemstellung (b) mathematischer Lösungsweg A.1.3 FOURIERREIHE UND FOURIERINTEGRAL Übertragungstechnische Systeme wie Übertragungsstrecken oder einzelnen Komponenten davon (z.b. Filter) werden in der Regel mit Hilfe der Systemtheorie untersucht. Voraussetzung hierfür sind harmonische Signalschwingungen. Sind die tatsächlich vorhandenen Signale nicht harmonischer Natur, so müssen diese zunächst in harmonische Schwingungen zerlegt werden. Hierbei sind zwei Fälle zu unterscheiden. (1) periodische Signale: Zerlegung mit Hilfe der Fourierreihe (2) nicht- oder aperiodische Signale: Zerlegung mit Hilfe des Fourierintegrals (A) Fourierreihe

8 Wird fortgesetzt!