Institut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik I Version 3.0, 02/2002 Laborunterlagen

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1 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/ Wechselstromkreise 2. Einführung komplexer eiger 2.. Komplexe Spannung, komplexer Strom ur Vereinfachung der mathematischen Behandlung von Wechselstromkreisen wird ein Bezug zwischen sinusförmigen eitverläufen und eigerdiagrammen in der komplexen ahlenebene hergestellt. Diese Möglichkeit ist auf sinusförmige Signale beschränkt, und z.b. nicht für Schaltvorgänge (z.b. in Kap. ) verwendbar. m û î 0 t (ωt=0) i u (ωt=0) e i u i(t) u(t) Abb. 2. Wie das Beispiel in Abb. 2. zeigt, kann der zeitliche Sinusverlauf in die komplexe ahlenebene projiziert werden. Es gilt folgende uordnung zwischen komplexer Größe und realer eitgröße u(t): Komplexer eiger : ealer eitverlauf u(t): Betrag (Länge des eigers) - Scheitelwert (Amplitude) oder Effektivwert Phase (Winkel des eigers) - Nullphasenwinkel 0 ( u,bzw. i ) Bei der gewählten Darstellung in Abb. 2. rotiert der eiger mit fortschreitender eit im Gegenuhrzeigersinn, und der maginärteil der komplexen ahl entspricht dem physikalisch auftretenden Momentanwert u(t). Der eiger selbst gilt also immer nur für einen eitaugenblick, und dessen maginärteil ist die Momentaufnahme des gerade aktuellen Momentanwerts der Größe u(t). Seite 2. (von 22)

2 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/2002 Üblicherweise wird das eigerbild für t = 0 gezeichnet, so dass die Winkel der komplexen eiger dem Nullphasenwinkel ( u und i in Abb. 2.) entsprechen. Für die eigerdarstellung können die Beträge der eiger entweder als Scheitelwerte oder als Effektivwerte der Sinusgrößen maßstäblich eingezeichnet werden. Üblicherweise wird die Darstellung in Effektivwerten verwendet (da z.b. auch die meisten Messgeräte den Effektivwert anzeigen). Veranschaulichung anhand Abb. 2. Hier ist als eigerdiagramm die Momentaufnahme zum eitpunkt (ωt = 0) gezeigt, womit die Winkel der eiger und den Null-Phasenwinkeln (= Phasenwinkel zum eitpunkt t = 0) von u(t) und i(t) entsprechen. Der maginärteil der eiger repräsentiert den physikalisch realen Momentanwert von u(t), bzw. i(t) zum eitpunkt t = 0. u späteren eitpunkten hin (also bei Fortschreiten entlang der ωt-achse im eitdiagramm) wird in diesem Beispiel der Momentanwert von i(t) kleiner, während u(t) noch im Ansteigen begriffen ist. Das zeigt sich auch im eigerdiagramm, wo bei fortschreitender eit, also bei Weiterdrehen der eiger im Gegenuhrzeigersinn (i.e. mathematisch positive ichtung), der maginärteil des eigers bereits absinkt, während jener von noch ansteigt. ur Darstellung einer Sinusgröße ist es ausreichend, den eiger für eine bestimmten eitaugenblick in der komplexen Ebene darzustellen. Daraus kann der Scheitelwert (oder der Effektivwert, je nach gewähltem Maßstab) und die Phasenverschiebung zum eitpunkt t = 0 abgelesen werden und daraus die Sinusschwingung als zeitlicher Verlauf dargestellt werden. Die einzelnen Momentanwerte von u(t) zu verschiedenen eitpunkten werden für die komplexe eigerdarstellung also nicht benötigt. Man erkennt zeitlich voreilende Signale daran, dass diese im eigerdiagramm bei mlauf in hrzeigerrichtung zuerst erreicht werden. m gewählten Beispiel ist u(t) gegenüber i(t) um den Winkel = nacheilend. u i m verschiedene sinusförmige Signale in einem eigerdiagramm darzustellen, wird jedes Signal mit Amplitude und Phasenwinkel des selben, beliebig gewählten eitpunkts des zeitlichen Verlaufs als eiger dargestellt - üblicherweise werden die eiger für den eitpunkt (ωt = 0), also mit den Null-Phasenwinkeln gezeichnet. Voraussetzung für die Darstellung verschiedener Signale ist, dass alle eitsignale dieselbe Frequenz aufweisen, so dass also alle eiger mit der selben Geschwindigkeit rotieren, da die eiger nur dann für alle eitpunkte (für alle möglichen eigerlagen) einen fixen Bezug zueinander aufweisen. n diesem Fall ist also die Darstellung eines einzelnen momentanen eigers jeder darzustellenden Sinusgröße ausreichend, um daraus die Amplitude (bzw. meist den Effektivwert) und die gegenseitige - zeitliche - Phasendifferenz der Signale abzulesen. Für diese eiger können alle echenregeln für komplexe ahlen angewendet werden. So ist z.b. die Differenz der Phasenwinkel der beiden komplexen eiger und gleich der tatsächlichen zeitlichen Phasendifferenz zwischen u(t) und i(t). Seite 2.2 (von 22)

3 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/2002 Phasenwinkel j: m Definition des Phasenwinkels zwischen u(t) und i(t): ui i u e (2.) : = ui = u i Abb. 2.2 Abb. 2.2 zeigt den allgemeinsten Fall eines eigerdiagramms von und. Daraus ist ersichtlich, dass mit der angeführten Definition der Phasenwinkel j ui von nach gerichtet ist und in Gegenuhrzeiger-ichtung (also in mathematisch positiver ichtung) positiv gezählt wird. n Abb. 2.2 ist der Verbraucher als Beispiel Ohm sch-kapazitiv, erkennbar aus der Nacheilung der Spannung und aus dem negativen Vorzeichen des Phasenwinkels. nterstrichene Größen (z.b.,,, Y, S) symbolisieren komplexe ahlen, bestehend aus ealteil und maginärteil, bzw. Betrag und Phase: = u mit:... komplexe Größe mit Betrag und Phase... Effektivwert von u(t) Betrag u... Nullphasenwinkel von u(t) Phase Vorteile der komplexen Schreibweise Bei der Durchführung von mathematischen Operationen zeigt sich der große Vorteil einer komplexen Schreibweise, wie am Beispiel einer Division zweier Sinus-Signale gezeigt werden soll (dabei seien die Winkel u und i die Null-Phasenwinkel von u(t) und i(t) ). eitdarstellung: u(t) = û sin ( ω t + ) u Komplexe Darstellung: = û e j( ω t+u) = û u = ( 2 eff ) u i(t) u(t) i(t) = î sin ( ω t + ) i = î e j( ω t+i) = î i = ( 2 eff ) i û sin( ω t + u ) eff u eff = = = ( ) sin( ω t + ) u i î i eff i eff i Seite 2.3 (von 22)

4 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/2002 n der eitdarstellung sind trigonometrische Formeln zur weiteren Behandlung notwendig, während in der komplexen Schreibweise lediglich die Beträge zu dividieren und die Phasenwinkel zu subtrahieren sind. n der komplexen echnung ist es sinnvoll, für Additionen und Subtraktionen die Darstellung in ealteil und maginärteil, sowie für Multiplikationen und Divisionen die Darstellung in Polarkoordinaten (Betrag, Phase) zu verwenden. Ebenso können die mathematischen Grundoperation anschaulich in der komplexen ahlenebene durch vektorielle Verschiebungen graphisch gelöst werden. Einschränkungen zur komplexen echnung Wie bereits erläutert, ist die komplexe eigerdarstellung nur für sinusförmige Größen von Spannung und Strom möglich, wobei nur eine Frequenz auftreten darf und ausschließlich lineare Elemente (, L oder C) vorhanden sein dürfen Komplexe mpedanz Die Erweiterung des Ohm schen Gesetzes auf sinusförmige Wechselsignale liefert folgende Grundgleichung für die komplexe mpedanz : i ( u i ) = = ui u = = = (2.) Der Winkel der mpedanz entspricht also dem Phasenwinkel ui. Ohm scher Verbraucher: = 0 (2.2) nduktiver Verbraucher: L = j ω L = ω L 90 (2.3) Kapazitiver Verbraucher: = = j = j ω C ω C ω C C (2.4) mpedanzdreieck Die Darstellung von in der komplexen ahlenebene mit ealteil und maginärteil, bzw. mit Betrag und Phase wird als mpedanzdreieck bezeichnet. Bei einer Serienschaltung von Verbrauchern können die mpedanzen in einfacher Weise - entweder mittels komplexer echnung oder graphisch (vektoriell) in der komplexen ahlenebene - addiert werden, um die resultierende, komplexe mpedanz zu erhalten (siehe Kap. 2.3 und Abb. 2.6, Abb. 2.8). Seite 2.4 (von 22)

5 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/2002 mwandlung mpedanzdreieck fi Admittanzdreieck: Bei gegebenem mpedanzdreieck (also gegebener mpedanz mit Betrag und Phase) kann das zugehörige Admittanzdreieck dadurch gewonnen werden, dass der Betrag von invertiert wird, und - mit entsprechendem Maßstab in der Einheit [S] versehen - in der komplexen ahlenebene mit einem im Vorzeichen umgekehrten Winkel gezeichnet wird (siehe Kap. 2.3). Allgemeine Benennungen von mpedanzen: = + jx (2.5)... Scheinwiderstand... mpedanz... Wirkwiderstand... esistanz X... Blindwiderstand... eaktanz 2..3 Komplexe Admittanz Y Analog zum rein Ohm schen Leitwert G liefert die Erweiterung auf sinusförmige Wechselsignale folgende Gleichung für die komplexe Admittanz Y: Y u ( i u ) = Y Y = Y ui i = = = (2.6) Der Winkel der Admittanz Y entspricht dem negativen Phasenwinkel ui. Ohm scher Verbraucher: Y = G 0 = 0 (2.7) nduktiver Verbraucher: = Y = j = j ω L ω L ω L 90 L (2.8) Kapazitiver Verbraucher: Y C = j ω C = ω C 90 (2.9) Admittanzdreieck Die Darstellung von Y in der komplexen ahlenebene mit ealteil und maginärteil, bzw. mit Betrag und Phase wird als Admittanzdreieck bezeichnet. Bei einer Parallelschaltung von Verbrauchern können die Admittanzen in einfacher Weise - entweder mittels komplexer echnung oder graphisch (vektoriell) in der komplexen ahlenebene - addiert werden, um die resultierende, komplexe Admittanz Y zu erhalten (siehe Kap. 2.3). Seite 2.5 (von 22)

6 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/2002 mwandlung Admittanzdreieck fi mpedanzdreieck: Bei gegebenem Admittanzdreieck (also gegebener Admittanz Y mit Betrag und Phase) kann das zugehörige mpedanzdreieck dadurch gewonnen werden, dass der Betrag von Y invertiert wird, und - mit entsprechendem Maßstab in der Einheit [Ω] versehen - in der komplexen ahlenebene mit einem im Vorzeichen umgekehrten Winkel gezeichnet wird (vgl. Abbildungen im Kap. 2.3). Allgemeine Benennungen von Admittanzen: Y = G + jb (2.0) Y... Scheinleitwert... Admittanz G... Wirkleitwert... Konduktanz B... Blindleitwert... Suszeptanz 2..4 Komplexe Scheinleistung S Definition der Leistungen eines Verbrauchers bei sinusförmiger Wechselspannung: Scheinleistung [VA] S = eff eff (2.) Wirkleistung [W] P = eff eff cos = S cos (2.2) Blindleistung [VAr] Q = eff eff sin = S sin (2.3) Leistungsfaktor [-] P cos = (2.4) S ur Überführung dieser Leistungsbegriffe in die komplexe eigerdarstellung wird die komplexe Scheinleistung S mit folgender Definition eingeführt: * eff u eff i eff eff ( u i ) = S ui S : = = = (2.5) mit Seite 2.6 (von 22)

7 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/2002 * {} m{} = i = e (2.6) als konjugiert komplexe ahl von Die Verwendung des konjugiert komplexen Wertes von ist rein mathematisch begründet, denn so ist gewährleistet, dass P und Q als ealteil und maginärteil von S dargestellt werden können, um in der komplexen Betrachtung die selben Gleichungen für die Beträge von P, Q und S zu erhalten, wie in der physikalisch realen eitdarstellung: Komplexe Scheinleistung [VA] S = P + jq = S (2.7) Wirkleistung [W] ui P = e{s} = S cos = eff eff cos (2.8) Blindleistung [VAr] Q = m{s} = S sin = eff eff sin (2.9) Leistungsdreieck Die Darstellung von P in der reellen Achse, Q in der imaginären Achse und S als vektorielle Summe von P und Q wird als Leistungsdreieck bezeichnet, wobei der Winkel von S gleich dem Phasenwinkel ui ist (siehe Abbildungen im Kap. 2.3). Anmerkung: Würde man nicht * sondern für die Definition von S verwenden, wäre folgender Ausdruck das Ergebnis für S: eff u eff i eff eff ( + ) = S ( + ) S : = = = (2.20) u i Das Ergebnis wäre eine komplexe ahl S, deren Phasenwinkel nicht = u - i sondern u + i beträgt, wodurch sich für P und Q nicht die einfache Beziehung mittels ealteil und maginärteil von S ergeben würde. u i Seite 2.7 (von 22)

8 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/ Einzelne komplexe mpedanzen für, L, C m m e e G=/ P=S =0 Abb. 2.3 Bei rein Ohm schen Verbrauchern sind Strom und Spannung immer in Phase ( = 0 ). Die gesamte Leistung ist eine reine Wirkleistung (S = P). m m L L =90 L e X L =jωl e B L =/X L =/jωl Q L =S Abb. 2.4 Bei rein induktiven Verbrauchern ist die Spannung über L immer um 90 gegenüber dem Strom durch L voreilend ( ui = +90 ; positiv, da von nach im - mathematisch positiven - Gegenuhrzeigersinn gerichtet; vgl. Definition von ui in Kap. 2.) Die gesamte Leistung ist eine rein induktive Blindleistung (wurde mit positivem Vorzeichen festgelegt; S = jq L ). C C C = 90 X C =/jωc B C =/X C =jωc Q C =S Abb. 2.5 Bei rein kapazitiven Verbrauchern ist die Spannung über C immer um 90 gegenüber dem Strom durch C nacheilend ( ui = -90 ; negativ, da von nach im - mathematisch negativen - hrzeigersinn gerichtet; vgl. Definition von ui in Kap. 2.) Die gesamte Leistung ist eine rein kapazitive Blindleistung (wurde mit negativem Vorzeichen festgelegt; S = -jq C ). Seite 2.8 (von 22)

9 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/ Schaltungen von zwei komplexe mpedanzen Nachfolgend sind als Überblick über die komplexe eigerdarstellung jeweils zwei Möglichkeiten für Ohm sch-induktives und für Ohm sch-kapazitives Verhalten mit allen eigerdiagrammen (Spannungs-/Stromzeiger, mpedanzdreieck, Admittanzdreieck, Leistungsdreieck) dargestellt. L L L jωl e{y} Y m{y} S P Q L Abb. 2.6 : Ohm sch-induktives Verhalten mit Serienschaltung von und L L L L e{} m{} / Y /jωl S P Q L Abb. 2.7 : Ohm sch-induktives Verhalten mit Parallelschaltung von und L C C C /jωc Y e{y} m{y} S P Q C Abb. 2.8 : Ohm sch-kapazitives Verhalten mit Serienschaltung von und C C C C e{} m{} Y / jωc S P Q C Abb. 2.9 : Ohmsch-kapazitives Verhalten mit Parallelschaltung von und C Seite 2.9 (von 22)

10 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/2002 Proportionalität der eigerdiagramme m folgenden wird die Proportionalität zwischen den einzelnen Arten von eigerdiagrammen (d.h. gleiche Winkel in den eigerdiagrammen) anschaulich hergeleitet. Bei Betrachtung der Serienschaltung von z.b. und L in Abb. 2.6 (analoges gilt für und C in Abb. 2.8) erhalten wir für die Beträge der Teilspannungen: = Bei Division durch folgt: L = X L L XL = Bei Serienschaltung sind die Beträge der mpedanzen, X und proportional zu den Beträgen der Spannungen, L (bzw. C ) und. Weiters erhalten wir folgende Gleichungen für die Leistungen: P = cos = Bei Division durch folgt: P Q = sin = L Q L S = S Bei Serienschaltung sind die Beträge der Leistungen P, Q und S proportional zu den Beträgen der Spannungen, L (bzw. C ) und. Das Spannungsdreieck ist proportional zum mpedanzdreieck und proportional zum Leistungsdreieck Bei Betrachtung der Parallelschaltung von z.b. und L in Abb. 2.7 (analoges gilt für und C in Abb. 2.9) erhalten wir für die Beträge der Teilströme: = Bei Division durch folgt: = G L = = B X X L = = Y Bei Parallelschaltung sind die Beträge der Admittanzen G, B und Y proportional zu den Beträgen der Ströme, L (bzw. C ) und. Weiters erhalten wir folgende Gleichungen für die Leistungen: P = cos = Bei Division durch folgt: P L Seite 2.0 (von 22)

11 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/2002 ( ) = L Q sin Q L S = S Bei Serienschaltung sind die Beträge der Leistungen P, Q und S proportional zu den Beträgen der Ströme, L (bzw. C ) und (wobei Q in umgekehrter ichtung zu L, bzw. C weist, da S mit * definiert ist). Das Stromdreieck ist proportional zum Admittanzdreieck und proportional zum Leistungsdreieck (letzteres mit umgekehrten Vorzeichen von ). Spannungen, Ströme Bei einer Serienschaltung fließt durch alle Elemente derselbe Strom, so dass es sinnvoll ist, den Strom in die 0 -ichtung zu legen. Die Spannungen über den einzelnen Elementen ergeben sich aus den obigen Grundregeln, und addieren sich - komplex, bzw. vektoriell - in Summe zur Gesamtspannung. Bei einer Parallelschaltung liegt an allen Elementen die selbe Spannung an, so dass es sinnvoll ist, die Spannung in die 0 -ichtung zu legen. Die Ströme durch die einzelnen Elemente ergeben sich aus den obigen Grundregeln, und addieren sich - komplex, bzw. vektoriell - in Summe zum Gesamtstrom. mpedanzdreieck, Admittanzdreieck Bei Serienschaltungen (Abb. 2.6, Abb. 2.8) addieren sich die mpedanzen, so dass diese direkt gezeichnet werden können, während für das Admittanzdreieck die komplexe mpedanz zu invertieren ist. Folglich gilt nicht: e{y}=/, m{y}=/x, sondern e{y} und m{y} ergeben sich aus der komplexen nvertierung von. = + j X Y = = +!!!!! + j X j X Bei Parallelschaltungen (Abb. 2.7, Abb. 2.9) addieren sich die Admittanzen, so dass diese direkt gezeichnet werden können, während für das mpedanzdreieck die komplexe Admittanz Y zu invertieren ist. Folglich gilt nicht: e{}=/, m{}=/x, sondern e{} und m{} ergeben sich aus der komplexen nvertierung von Y. Y = G + j B = + = = + j X j X Y + j X Seite 2. (von 22)

12 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/2002 Leistungsdreieck Wie bereits gezeigt, ist das Leistungsdreieck proportional zum Spannungsdreieck, bzw. proportional zum mpedanzdreieck. Netzwerk: -L Kombination nabhängig davon, ob und L in Serie oder parallel liegen (Abb. 2.6, Abb. 2.7), ergibt sich immer ein Ohm sch-induktives Verhalten, d.h. ein positiver Phasenwinkel ui zwischen den Gesamtgrößen und, sowie ein Winkel mit selbem Vorzeichen und selber Größe für und S (bzw. ein negativer Winkel für Y). Netzwerk: -C Kombination nabhängig davon, ob und C in Serie oder parallel liegen (Abb. 2.8, Abb. 2.9), ergibt sich immer ein Ohm sch-kapazitives Verhalten, d.h. ein negativer Phasenwinkel ui zwischen den Gesamtgrößen und, sowie ein Winkel mit selbem Vorzeichen und selber Größe für und S (bzw. ein positiver Winkel für Y). Seite 2.2 (von 22)

13 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/ Schaltungen mit, L und C Elementen - esonanzkreise 2.4. eihenschaltung von, L und C Serienresonanz, Spannungsresonanz L C E L C Abb. 2.0 Bei einer Serienschaltung von, L und C addieren sich - analog zum oben Gesagten (Kap. 2.3) - die Teilspannungen an den einzelnen Elementen (mit komplexer echnung oder vektoriell) zur Gesamtspannung. Für die gesamte mpedanz ergibt sich (vgl. Kap komplexe mpedanzen): = + j ω L + = + j ω L = e{} + j m{} (2.2) j ω C ω C Aufgrund der Frequenzabhängigkeit (ω = 2πf) von lassen sich prinzipiell drei verschiedene Fälle mit folgenden beispielhaften eigerdiagrammen unterscheiden: E = E L C E C C L L f < f 0 f = f 0 f > f 0 Abb. 2. Seite 2.3 (von 22)

14 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/2002 f < f 0 : f = f 0 : f > f 0 : ω L < m{} < 0, < 0, L < C ω C Ohm sch-kapazitiv (2.22) ω L = ω C m{} = 0, = 0, L = C rein Ohm sch (2.23) ω L > ω C m{} > 0, > 0, L > C Ohm sch-induktiv (2.24) Bei kleinen Frequenzen (also kleinem ω) überwiegt die kapazitive mpedanz (/ωc), es fällt ein größerer Teil der Gesamtspannung an C als an L ab ( C > L ), so dass die Schaltung in Summe Ohm sch-kapazitiv wirkt (vgl. Abb. 2., links). Je kleiner nun die Frequenz wird, desto stärker wirkt die Kapazität, folglich strebt der Phasenwinkel ui (zwischen E und ) gegen -90 (vgl. Abb. 2.2, rechts). Bei großen Frequenzen (also großem ω) überwiegt die induktive mpedanz (ωl), es fällt ein größerer Teil der Gesamtspannung an L als an C ab( L > C ), so dass die Schaltung in Summe Ohm sch-induktiv wirkt (vgl. Abb. 2., rechts). Je kleiner nun die Frequenz wird, desto stärker wirkt die nduktivität, folglich strebt der Phasenwinkel ui (zwischen E und ) gegen +90 (vgl. Abb. 2.2, rechts). esonanzfrequenz Als esonanzfrequenz wird diejenige Frequenz bezeichnet, bei der die Spannung in Phase mit dem Strom ist. Das bedeutet, dass dabei die induktive mpedanz und die kapazitive mpedanz genau gleich groß sind ( X L = X C ), und sich somit aufgrund ihrer entgegengesetzten Phasenlage gegenseitig aufheben. Folglich heben sich auch die Teilspannungen an den Blindelementen ( L, C ) aufgrund ihrer entgegengesetzten Phasenlage auf. Es tritt somit eine Spannungsresonanz ( L = C ) in dieser Schaltung auf. Die Teilspannungen an L und an C können auch sehr hohe Werte annehmen ( esonanzüberhöhung ), ohne dass dies - aufgrund der gegenseitigen Aufhebung - bei einer Messung der äußeren Gesamtgrößen und bemerkt werden würde (siehe eigerdiagramm in Abb. 2., Mitte). Aus der esonanzbedingung der gegenseitigen Aufhebung von X L und X C folgt: esonanz-kreisfrequenz ω 0 : ω L = ω C ω = (2.25) 0 ( L C) esonanzfrequenz f 0 : f 0 = ω = 2 π 2 π (2.26) ( L C) Seite 2.4 (von 22)

15 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/2002 mpedanz bei esonanz Als gesamte mpedanz wirkt lediglich, der Betrag von ist ein Minimum, und der gesamte Schaltkreis wirkt nach außen hin wie ein Ohm scher Widerstand : = + ω L = ( + 0) (2.26) C ω 0 = 0 = + j ω0 L = + j 0 = 0 (2.27) ω0 C Strom bei esonanz Nachdem die mpedanz minimal wird, nimmt der Strom ein Maximum an. Der Strom bei esonanz beträgt = 0 = 0 (2.28) und ist in Phase zu. n der folgenden Abb. 2.2 sind die charakteristischen Verläufe der Beträge der Gesamtimpedanz und des Gesamtstromes sowie der Verlauf des Gesamt- Phasenwinkels in prinzipieller Form dargestellt., +90 kapazitiv induktiv 0 f f f 0 f 0-90 Abb. 2.2 Seite 2.5 (von 22)

16 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/ Parallelschaltung von, L und C Parallelresonanz, Stromresonanz Abb. 2.3 Bei einer Parallelschaltung von, L und C addieren sich - analog zum oben Gesagten (Kap. 2.3) - die Teilströme durch die einzelnen Elemente (mit komplexer echnung oder vektoriell) zum Gesamtstrom. Für die gesamte Admittanz Y ergibt sich (siehe Kap komplexe Admittanzen): Y = G + j BL + j BC = + + j ω C = + j ω C = e{y} + j m{y} (2.29) j ω L ω L Aufgrund der Frequenzabhängigkeit (ω = 2πf) von Y lassen sich prinzipiell drei verschiedene Fälle mit folgenden beispielhaften eigerdiagrammen unterscheiden: E = E C L E L C L C f < f 0 f = f 0 f > f 0 f < f 0 : f = f 0 : Abb. 2.4 ω C < m{y} < 0, > 0, C < L ω L Ohm sch-induktiv (2.30) ω C = ω L m{y} = 0, = 0, C = L rein Ohm sch (2.3) Seite 2.6 (von 22)

17 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/2002 f > f 0 : ω C > m{y} > 0, < 0, C > L Ohm sch-kapazitiv (2.32) ω L Bei kleinen Frequenzen (also kleinem ω) überwiegt die induktive Admittanz (/ωl), es fließt ein größerer Teil des Gesamtstromes durch L als durch C ( L > C ), so dass die Schaltung in Summe Ohm sch-induktiv wirkt (siehe Abb. 2.4, links). Je kleiner nun die Frequenz wird, desto stärker wirkt die nduktivität, folglich strebt der Phasenwinkel ui (zwischen E und ) gegen +90 (siehe Abb. 2.5, rechts). Bei großen Frequenzen (also großem ω) überwiegt die kapazitive Admittanz (ωc), es fließt ein größerer Teil des Gesamtstromes durch C als durch L ( C > L ), so dass die Schaltung in Summe Ohm sch-kapazitiv wirkt (siehe Abb. 2.4, rechts). Je größer nun die Frequenz wird, desto stärker wirkt die Kapazität, folglich strebt der Phasenwinkel ui (zwischen E und ) gegen -90 (siehe Abb. 2.5, rechts). esonanzfrequenz Als esonanzfrequenz wird diejenige Frequenz bezeichnet, bei der die Spannung und der Strom in Phase sind. Das bedeutet, dass dabei die induktive Admittanz B L (=/X L ) und die kapazitive Admittanz B C (=/X C ) betragsmäßig genau gleich groß sind, und sich somit aufgrund ihrer entgegengesetzten Phasenlage gegenseitig aufheben. Folglich heben sich auch die Teilströme durch die Blindelemente ( L, C ) aufgrund ihrer entgegengesetzten Phasenlage auf. Es tritt somit eine Stromresonanz ( C = L ) in dieser Schaltung auf. Die Teilströme durch L und C können auch sehr hohe Werte annehmen ( esonanzüberhöhung ), ohne dass dies - aufgrund der gegenseitigen Aufhebung - bei einer Messung der äußeren Größen und bemerkt werden würde (siehe eigerdiagramm in Abb. 2.4, Mitte). Aus der esonanzbedingung der gegenseitigen Aufhebung von B L und B C folgt: esonanz-kreisfrequenz ω 0 : ω L = ω C ω = (2.33) 0 ( L C) esonanzfrequenz f 0 : f 0 = ω = 2 π 2 π (2.34) ( L C) Es ergibt sich also für diese Schaltung dieselbe Berechnung für die esonanzfrequenz wie für die Serienschaltung aus, L und C. Seite 2.7 (von 22)

18 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/2002 Admittanz bei esonanz Y ω L Y 0 = 0 (2.35) ω ( ) = + j ω C = + j ( 0) = G 0 = 0 = = = 0 (2.36) Y 0 + j ω0 C ω0 L Bei esonanzfrequenz wirkt als gesamte Admittanz Y lediglich G (=/), der Betrag von Y ist ein Minimum, folglich die mpedanz ein Maximum, und der gesamte Schaltkreis wirkt nach außen hin wie ein Ohm scher Widerstand mit G ( =/). Strom bei esonanz Nachdem die mpedanz maximal, bzw. die Admittanz minimal wird, nimmt der Strom ein Minimum an. Der Strom bei esonanz beträgt = = Y = = G (2.37) und ist in Phase zu. n der folgenden Abb. 2.5 sind die charakteristischen Verläufe der Beträge der Gesamtimpedanz und des Gesamtstromes sowie der Verlauf des Gesamt- Phasenwinkels in ihrer prinzipiellen Form dargestellt., induktiv kapazitiv f f f 0 f 0-90 ealer esonanzkreis Abb. 2.5 Bei Verwendung realer Bauelemente sind auch deren Verluste (z.b. die Verluste einer Spule, welche durch einen Ohm schen Widerstand berücksichtigt werden können) zu berücksichtigen, um den Messfehler gering zu halten. Seite 2.8 (von 22)

19 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/ Blindleistungskompensation Wie bereits in Kap. 2.4 gezeigt wurde, kann bei gegebenen Werten der Blindelemente L und C durch geeignete Wahl der Frequenz erreicht werden, dass sich die Gesamtschaltung wie ein rein Ohm scher Verbraucher verhält. Das bedeutet, die Eingangsgrößen und sind in Phase und die Gesamtschaltung nimmt keine Blindleistung Q, sondern ausschließlich Wirkleistung P auf. Für die Betrachtungen in diesem Kapitel gehen wir nun von einem Ohm sch-induktiven Verbraucher aus, welcher z.b. als eihenschaltung von und L beschrieben wird (Abb. 2.6). Diese kann z.b. einen Elektromotor symbolisieren. Es soll nun eine Kapazität C bestimmt werden, die parallel zu dieser -L-eihenschaltung anzuschließen ist, so dass die Gesamtschaltung keine Blindleistung aufnimmt, sich also wie ein rein Ohm scher Verbraucher verhält (Abb. 2.7). m nterschied zum vorigen Kapitel sind nun umgekehrt die notwendigen Blindelemente (zumindest eines davon) gesucht, so dass sich bei gegebener Frequenz ein reiner Wirkleistungsverbraucher ergibt. Nachdem dabei die durch die nduktivität L hervorgerufene Blindleistung durch die parallel geschaltene Kapazität C zu Null kompensiert wird, spricht man allgemein von Blindleistungskompensation. Wenn, wie in diesem Beispiel, die Kompensation durch Parallelschaltung eines Blindelements erfolgt, wird der Blindanteil des Stromes zu Null kompensiert, so dass hier auch der Ausdruck Blindstromkompensation verwendet wird. * C C L L Abb. 2.6 Abb. 2.7 ur Veranschaulichung der komplexen echnung sollen im folgenden zwei Möglichkeiten zur Bestimmung der Kompensationskapazität C erläutert werden. Seite 2.9 (von 22)

20 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/2002. Möglichkeit - mit Spannungs-/Strom-eigerdiagramm Wenn Eingangsspannung und Eingangsstrom, d.h. und gemessen werden, kann man anhand des Spannungs-/Strom-eigerdiagrammes die Bestimmung von C in folgenden Schritten durchführen: a.) Ausgangspunkt Die Schaltung in Abb. 2.6 wird zuerst für die -L-Kombination noch ohne C mit dem eigerdiagramm nach Abb. 2.8 betrachtet, und danach die kompensierte Schaltung mit paralleler Kapazität C (Abb. 2.7) mit dem zugehörigen eigerdiagramm nach Abb e{} i ui m{} ui =0 *=e{} C Abb. 2.8 Abb. 2.9 Eine Größe darf in eigerdiagrammen beliebig angenommen werden, so dass z.b. in Abb. 2.8 der Strom in die horizontale ichtung gelegt wird (so dass sich für und ein eigerdiagramm wie in Kap. 2.3, Abb. 2.6 ergibt). m folgenden ist es einfacher, die ichtung von in Abb. 2.8 als 0 -ichtung anzusehen, um so für die Projektionen von parallel, bzw. normal zu die Bezeichnungen e{}, bzw. m{} verwenden zu können. = 0 = i = e{} + j m{} b.) Bestimmung des zu kompensierenden Phasenwinkels : = = e{} + j m{} = + j ω L (2.38) m{} ω L = arctan = arctan (2.39) e{} c.) Bedingung für Kompensation Damit der neue Strom * in Phase zu ist, muss der zusätzliche Strom C betragsmäßig gleich groß sein wie m{} (siehe Abb. 2.9): C = m{} = sin (2.40) Seite 2.20 (von 22)

21 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/2002 Daraus ergibt sich unmittelbar die notwendige kapazitive mpedanz C : C = = j ω C (2.4) C Der Betrag der mpedanz beträgt: C = = = (2.42) ω C sin C Somit ergibt sich die erforderliche Kompensationskapazität C zu: sin C = (2.43) 2 π f mit = arctan ω L und, als Messgrößen. 2. Möglichkeit - mit mpedanz- und Admittanzdreieck Ohne Messung von Spannung und Strom kann die notwendige Kapazität C über die mpedanzen, bzw. Admittanzen berechnet werden. Damit in Phase zu ist, muss sowohl der Winkel der neuen Gesamtimpedanz * (inkl. parallelem C) als auch jener der neuen Gesamt-Admittanz Y* Null werden. e{y} Y*=e{Y} jωl Y m{y} =0 Abb Abb. 2.2 Abb jωc Da in diesem Fall die Kapazität C parallel hinzugeschaltet wird, ist es einfacher, mit Admittanzen zu rechnen, da diese bei Parallelschaltungen einfach addiert werden können (siehe Kap. 2.3), so dass die Berechnung in folgenden Schritten abläuft: a.) Berechnen der mpedanz der Serienschaltung aus und L (Abb. 2.20): = = e{} + j m{} = + j ω L Seite 2.2 (von 22)

22 nstitut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik Version 3.0, 02/ ( + ( ω L) ) 2 = (2.44) b.) mrechnen dieser mpedanz in eine Admittanz Y (Abb. 2.2): Y = = (2.45) + j ω L Y = = (2.46) 2 ( + ( ω L) ) 2 c.) Bedingung für Kompensation Die - komplexe, bzw. vektorielle - Addition dieser Admittanz mit der Admittanz Y C des parallelen Kondensators muss eine neue Gesamt- Admittanz Y* ergeben, deren maginärteil Null ist (Abb. 2.22). Somit müssen Y C und m{y} betragsmäßig gleich groß sein, bzw. sich vektoriell gegenseitig aufheben: Y C = m{y} = Y sin = sin (2.47) 2 2 ( + ( ω L) ) Für sin folgt aus Abb. 2.20, bzw. Abb. 2.2: m{y} m{} ω L ω L sin = = = = (2.48) Y 2 ( + ( ω L) ) 2 Damit ergibt sich für die notwendige Admittanz von C aus Gleichung (2.47) und (2.48): Y C ω L = (2.49) 2 + ( ω L) 2 Aus Y C = ω C (siehe Kap. 2..3) folgt für die notwendige Kompensationskapazität C: L C = (2.50) 2 + L ( ω ) 2 Seite 2.22 (von 22)