Im dargestellten Drehstomnetz sind folgende Impedanzen angeschlossen:

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1 Aufgabe Ü3 Im dargestellten Drehstomnetz sind folgende Impedanzen angeschlossen: R = 1 Ω L1 W1 W4 I 1 R X C = 3 Ω X L = 2 3 Ω L2 W2 I 2 jx L -jx C = 13 V = 13 V e j120 L3 W3 W5 I 3 = 13 V e j120 N 1. Zeichnen Sie das Zeigerbild der Leiterspannungen, und als geschlossenes Dreieck. Ermitteln Sie die Sternspannungen U 1, U 2 und U 3 des Netzes nach Betrag und Phase und tragen Sie diese in das Zeigerbild ein. 2. Berechnen Sie die Strangströme, und nach Betrag und Phase. Tragen Sie diese Ströme ebenfalls in das Zeigerbild ein. 3. Bestimmen Sie die Leiterströme I 1, I 2 und I 3 nach Betrag und Phase. 4. Berechnen Sie die an Widerstand, Kondensator und Induktivität jeweils umgesetzte Wirkund Blindleistung. 5. Welche Schaltung bilden die Wattmeter W1, W2 und W3? Berechnen Sie die Leistungen, die von den Instrumenten einzeln und in Summe angezeigt werden. 6. Welche Schaltung bilden die Wattmeter W4 und W5? Berechnen Sie die Leistungen, die von den Instrumenten einzeln und in Summe angezeigt werden. 1. Zeigerbild der Leiter- und Sternspnnungen: Die Leiterspannungen sind in der Aufgabenstellung gegeben. Die Spannung = 13 V ist mit dem Phasenwinkel von 0 als Bezugszeiger festgelegt und wird hier in die reelle Achse gelegt. Der Betrag der Sternspannungen wird nach U L = 3 U Str berechnet und die Winkel nach der bekannten Abfolge festgelegt: Zum Beispiel eilt die Sternspannung um 30 gegenüber der Leiterspannung nach. SS Verena Schild, 12. Mai 2014

2 3 13 V e j30 = 7,5 V e j V e j150 = 7,5 V e j V e j90 = 7,5 V e j90 2. Berechnung der Strangströme: Die Strangimpedanzen sind in der Aufgabenstellung gegeben. Z 12 = R = 1 Ω Z 23 = j X C = j 3Ω = 3Ω e j90 Z 31 = j X L = j2 3Ω = 2 3Ω e j90 Hinweis: Hier ist X C > 0 angegeben. Damit muss zur Berechnung von Z C folgende Gleichung angewandt werden: Z C = jx C (vgl. Lösung zur Aufgabe Drehstrom Ü2). Die Strangströme, und werden aus den Leiterspannungen, und, die an den Strangimpedanzen abfallen, und den Strangimpedanzen Z 12, Z 23 und Z 32 berechnet. In den Dreieckschaltungen sind die Leiterspannungen gleich den Strangspannungen. = Z 12 = Z 23 = 13 V 1 Ω = 13 A = = Z 31 = 13 V e j120 3Ω e j90 = 7,5 A e j30 = 6,5 A j3,75 A 13 V ej Ω = 3,75 A ej30 j90 e = 3,25 A + j1,875 A Die Zeiger der Strangströme werden an den Anfangspunkte der jeweiligen Leiterspannung gezeichent. Die errechneten Winkel beziehen sich jedoch auf den Bezugszeiger (die reelle Achse). SS Verena Schild, 12. Mai 2014

3 Hinweis: Das Zeigerbild ist nicht maßstabsgetreu gezeichnet. 3. Leiterströme: Die Leiterströme werden nach der Knotenpunktgleichung aus den Strangströmen berechnet: I 1 + I 1 = = 13 A (3,25 A + j1,875 A) = 9,75 A j1,875 A = 9,93 A e j11 I 2 + I 2 = = 6,5 A j3,75 A 13 A = 6,5 A j3,75 A = 7,5 A e j150 I 3 + I 3 = = 3,25 A + j1,875 A (6,5 A + j3,75 A) = 3,25 A + j5,625 A = 6,5 A e j120 Hinweis: Da bei der Berechnung der Leiterströme I 2 und I 3 ein negativer Realteil ermittelt wird, muss bei der Berechnung des Winkels zum Ergebnis des Taschenrechers 180 hinzu addiert werden, um den richtigen Winkel zu erhalten (vgl. Lösung zu Aufgabe Drehstrom Ü2). 4. In den Strängen umgesetzte Wirk- und Blindleistung: Zur Berechnung der Wirk- und Blindleistung in jeweils einem Strang werden die aus der Wechselstromrechnung bekannten Formeln verwendet. SS Verena Schild, 12. Mai 2014

4 Wirkleistung: Blindleistung: P = U I cos ϕ Q = U I sin ϕ Hinweis: Der Phasenwinkel ist definiert als: ϕ = ϕ U ϕ I Widerstand: An einem ohmschen Widerstand sind Strom und Spannung in Phase (ϕ ), der Faktor sin ϕ wird damit Null und es wird nur Wirkleistung (cos ϕ = 1) umgesetzt. P R = = 13 V 13 A = 169 W Q R var Kapazität: An einer Kapazität eilt der Strom der Spannung um 90 vor (ϕ = 90 ), der Faktor cos ϕ wird damit Null und es wird nur Blindleistung umgesetzt. Der Faktor sin ϕ wird -1 und die Blindleistung damit negativ. P C W Q C = = 13 V 7,5 A = 97,5 VAr Induktivität: An einer Induktivität eilt der Strom der Spannung um 90 nach (ϕ = 90 ), der Faktor cos ϕ wird damit Null und es wird nur Blindleistung umgesetzt. Der Faktor sin ϕ wird 1 und die Blindleistung damit positiv. P C W Q C = = 13 V 3,75 A = 48,75 VAr Gesamte Wirk- und Blindleistung: Die insgesamt umgesetzte Wirk- und Blindleistung ergibt sich aus der Addition der in den einzelnen Strängen umgesetzten Leistungen. P ges = P 12 + P 23 + P 31 = 169 W Q ges = Q 12 + Q 23 + Q 31 = 97,5 VAr + 48,75 VAr = 48,75 VAr SS Verena Schild, 12. Mai 2014

5 Hinweis: Die insgesamt umgsetzte Blindleistung ist negativ. Die gesamte Schaltung setzt also kapazitive Blindleistung um Wattmeterschaltung: Die Wattmeter W1, W2 und W3 bilden eine 3-Wattmeterschaltung. Als Summe gibt diese die von einer beliebigen Last aufgenommene Wirkleistung an (in diesem Fall die Leistung P ges = 169 W). Die Leistung in den einzelnen Strängen kann mit den Wattmetern in diesem Fall nicht gemessen werden, da Verbrauchersternpunkt und der Sternpunkt der nicht verbunden sind (dies wäre ohnehin nur bei einer Sternschaltung möglich). Die einzelnen Wattmeter messen nicht die Ströme und Spannungen, die durch die Strangimpepdanzen fließen beziehungsweise an ihnen abfallen. Es werden daher nur Rechengrößen gemessen. Von den Wattmetern angezeigte Leistung: P W1 = I 1 cos(ϕ U ϕ I ) = 7,5 V 9,93 A cos( 30 ( 11 )) = 70,41 W P W2 = I 2 cos(ϕ U ϕ I ) = 7,5 V 7,5 A cos( 150 ( 150 )) = 56,25 W P W3 = I 3 cos(ϕ U ϕ I ) = 7,5 V 6,5 A cos(90 (120 )) = 42,22 W P ges = P W1 + P W2 + P W3 = 70,41 W + 56,25 W + 42,22 W = 168,88 W 169 W 6. Aronschaltung: Die Aronschaltung gibt als Summe die von einer beliebigen Last aufgenommene Wirkleitung an, wenn Last- und Netzsternpunkt nicht verbunden ist oder es sich um eine symmetrische Last handelt. Ein Mittelpunktleiter kann bei der Dreieckschaltung nicht angeschlossen werden, weshalb die Aronschaltung immer verwendet werden kann. P W4 = I 1 cos(ϕ U ϕ I ) = 13 V 9,93 A cos(0 ( 11 )) = 126,72 W P W5 = U 32 I 3 cos((ϕ U ) ϕ I ) = 13 V 6,5 A cos( (120 )) = 42,25 W P ges = P W4 + P W5 = 126,72 W + 42,25 W = 168,97 W 169 W Hinweis: Der Betrag von U 32 ist gleich dem von U 32, der Phasenwinkel ist allerdings um 180 verschoben. SS Verena Schild, 12. Mai 2014