Technische Universität Clausthal

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1 Technische Universität Clausthal Klausur im Wintersemester 2014/2015 Grundlagen der Elektrotechnik I&II Datum: 9. Februar 2015 Prüfer: Prof. Dr.-Ing. H.-P. Beck Institut für Elektrische Energietechnik und Energiesysteme Univ.-Prof. Dr.-Ing. Hans-Peter Beck Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Bearbeitungszeit: 160 Minuten Zugelassene Hilfsmittel: Stifte, Lineal/Geodreieck, Taschenrechner (nicht programmierbar) Wichtiger Hinweis: Geben Sie bei allen Berechnungen stets den vollständigen Rechenweg inklusive Formeln mit eingesetzten Zahlenwerten an! Weitere Hinweise: Bitte schalten Sie Ihre Mobiltelefone aus! Der Einsatz von Handys, Smartphones, Tablets o. Ä. gilt als Täuschungsversuch! Bitte legen Sie Ihren Studierendenausweis und Ihren Personalausweis auf den Tisch! Bitte schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer oben rechts auf jedes verwendete Blatt! Bitte schreiben Sie nicht mit Bleistift oder Rotstift! Bitte verwenden Sie für die Kurzfragen die ausgeteilten Aufgabenblätter! Bitte verwenden Sie für die Rechenaufgaben ausschließlich das ausgehändigte Rechenpapier! Bitte machen Sie Ihre Aufgaben auf dem Rechenpapier mit Aufgabennummern kenntlich! Bitte legen Sie bei Abgabe Ihrer Klausur die Aufgabenblätter in die Doppelbögen ein! Klausureinsicht: Die Klausureinsicht findet am statt. Zusätzliche Einsichtstermine werden nicht angeboten. Weitere Informationen hierzu finden Sie auf der Institutshomepage. Aufgabe: KF1 GS WS MF KF2 DS TR SM gesamt Punkte: Erreicht:

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5 2. Gleichstrom (20 Punkte) Es ist folgende Schaltung gegeben: I A R R I 1 R I 3 I 5 I 2 I 4 U 2R 3R 3R 3R B Aufgaben: GS1) Stellen Sie für die sechs unbekannten Ströme 2 linear unabhängige Knoten- und 4 linear unabhängige Maschengleichungen auf! GS2) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand R ges zwischen den Klemmen A und B! GS3) Berechnen Sie die Ströme I und I 1 bis I 5 für U = 10 V und R = 2 Ω! GS4) Der ohmschen Widerstände im dargestellten Stromkreis bestehen aus Kupferdrähten mit einem Querschnitt von 2 mm 2. Wie groß ist die Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen im Kupferdraht bei einem der 3R-Widerstände und beim 2R-Widerstand? Geben Sie das Ergebnis auf 4 Nachkommastellen genau an! Gehen Sie hierbei von folgenden Bedingungen aus: Elementarladung eines Elektrons: e = 1, C Ladungsträgerdichte im Kupferdraht: n = 0, /cm 3 Der Querschnitt des Kupferdrahtes ist konstant. Die Widerstände der Zuleitungen können vernachlässigt werden. GS5) Sie haben ein Voltmeter mit einem Messbereich von 5 V und einem Innenwiderstand von 400 kω. Mit dem Gerät soll die Klemmspannung von 10 V gemessen werden. Welche Art von Widerstand ist dazu erforderlich bzw. wie ist dieser zu schalten? Wie groß muss der Widerstand sein? 3 P 3 P 6 P 5 P 3 P Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 14/15) Seite 5 von 13

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8 3. Wechselstrom (15 Punkte) Das vereinfachte Ersatzschaltbild einer Synchronmaschine lässt sich vereinfacht mithilfe einer Ersatzstromquelle durch folgende Schaltung darstellen: I 1 X σ I h I E U 1 X h Aufgaben: WS1) Geben Sie die Bedingung dafür an, so dass I 1 = 0 ist! WS2) Berechnen Sie für U 1 = 400 V e j 120, L h = 100 mh und f = 50 Hz den Strom I E nach Betrag (I E ) und Phase (ϕ E ) unter der Voraussetzung, dass I 1 = 0 ist! WS3) Zeichnen Sie das vollständige Zeigerbild für die Größen aus dem Ersatzschaltbild! Nutzen Sie dafür den Maßstab 100 V 1 cm und 4 A 1 cm. 1 P 4 P 5 P Eine Änderung der Last an der Synchronmaschine (bei gleichbleibender Spannung U 1 ) bewirkt eine Drehung von I E um ϕ = 20. Es gilt: I E = I E e j(ϕ E+ ϕ) = I E e j(ϕ E+20 ) WS4) Berechnen Sie den Strom I 1 unter der Voraussetzung, dass X σ = 1 10 X h ist! Hinweis: Falls Sie zuvor keine Lösung für I E bestimmen konnten, gehen Sie von einem Strom von I E = 6,5 A e j(30 + ϕ) aus. 5 P Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 14/15) Seite 6 von 13

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10 4. Magnetisches Feld (15 Punkte) Nachfolgende Skizze zeigt einen ringförmigen Ferritkern mit Luftspalt. Auf dem Kern befindet sich eine Erregerwicklung mit N Windungen. Der Kernquerschnitt A ist an allen Stellen gleich. Die Streuung am Luftspalt ist vernachlässigbar. A Daten: I I = 1 A N = 55 A = 500 mm 2 r = 120 mm α = 15 = π 12 µ 0 = 4π 10 7 V s/(a m) µ r,fe = 230 r α Aufgaben: MF1) Skizzieren Sie das elektrische Ersatzschaltbild des magnetischen Kreises und benennen Sie die verwendeten Elemente! MF2) Bestimmen Sie den magnetsichen Fluss Φ im Luftspalt! Berechnen Sie dazu zunächst den magnetischen Widerstand R Fe des Ferritkerns und den magnetischen Widerstand R L des Luftspalts sowie die magnetische Durchflutung Θ! (Wenn Sie Φ nicht bestimmen können, rechnen Sie in den folgenden Aufgaben mit Φ = V s weiter.) MF3) Bestimmen Sie die magnetische Feldstärke H im Luftspalt! MF4) Bestimmen Sie die magnetische Spannung V Fe im Ferritkern! MF5) Bestimmen Sie die Induktivität L der Ringkernspule mit Luftspalt! MF6) Bestimmen Sie die Induktivität L neu der Ringkernspule für den Fall, dass der Luftspalt durch einen Ferritkeil (µ r,fe = 230) geschlossen wurde! 4 P 4 P 1 P 1 P 1 P 4 P Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 14/15) Seite 7 von 13

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15 6. Drehstrom (18 Punkte) Gegeben ist die dargestellte symmetrische Drehstromschaltung: L1 A W1 I 1 Z L2 L3 U 12 U 23 U 31 W2 I 2 I 3 Z Z U 12 = 25 V e j 0 U 23 = 25 V e j 120 U 31 = 25 V e + j 120 f N = 20 Hz I 1 = 2 A N Jeder Strang der symmetrischen Sternschaltung besteht aus einem ohmschen Widerstand R und einer in Reihe geschalteten Induktivität L. Aufgaben: DS1) Berechnen Sie die insgesamt in der Schaltung umgesetzte Scheinleistung! DS2) Wattmeter W1 und Wattmeter W2 zeigen jeweils 20 W an. Berechnen Sie daraus die insgesamt umgesetzte Wirkleistung! Berechnen Sie zusätzlich die von der Schaltung ingesamt umgesetzte Blindleistung! 2 P 4 P Für die nachfolgnden Teilaufgaben gilt: P = 60 W und Q = 62,4 var und S = 86,6 VA DS3) Berechnen Sie den Wirkfaktor cos ϕ der Schaltung! DS4) Bestimmen Sie den Null-Phasenwinkel der Spannung U 1 Phasenwinkel des Stroms in Leiter L1! Für die nachfolgenden Teilaufgaben gilt: und berechnen Sie den Null- 1 P 2 P I 1 = 2 A e j 76,37 und U 1 = V e j 30 und Z = 7,22 Ω e j 46,37 DS5) Berechnen Sie R, X L und L! DS6) Berechnen Sie die Kapazität der Kondensatoren, die in jedem Strang in Reihe zu Z geschaltet werden müssen, damit der Leistungsfaktor der Schaltung cos ϕ = 1 wird! DS7) Berechnen Sie die insgesamt aufgenommene Scheinleistung für den Fall, dass in jedem Strang die in der vorherigen Teilaufgabe berechnete Kapazität in Reihe zu Z geschaltet ist! 4 P 3 P 2 P Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 14/15) Seite 11 von 13

16 DS1) Umgesetzte Scheinleistung: S = 3 U L I L = 3 25 V 2 A = 86,6 VA DS2) Umgesetzte Wirk - und Blindleistung: P = 3 P str = 3 20 W = 60 W Q = S 2 P 2 = (86,6 VA) 2 (60 W) 2 = 62,4 var DS3) Leistungsfaktor: cos ϕ = P S = 60 W 86,6 VA = 0,69 DS4) Null-Phasenwinkel des Stroms in L1: Null-Phasenwinkel der Spannung U 1 : ϕ U = 30 ϕ = ϕ U ϕ I = arccos(cos ϕ) = arccos(0,69) = 46,37 ϕ I = ϕ U ϕ = 30 46,37 = 76,37 DS5) Strangimpedanzen: Z = 7,22 Ω e j46,37 = 4,98 Ω + j5,23 Ω R = 4,98 Ω X L = 5,23 Ω L = X L 2π f = 5,23 Ω = 41,62 mh 2π 20 Hz DS6) Kondensatoren: Bedingung für cos ϕ = 1: Q = 0 bzw. Im{Z jx C } = 0 bzw. X L = X C DS7) Scheinleistung: Z = R + j (X L + X C ) =0 = R + j(ωl 1 ωc ) C = 1 ω 2 L = 1 (2π 20 Hz) 2 = 1,52 mf 41,62 mh S = 3 U Str 2 Z ( 25 V ) 3 = 3 = 125,5 VA 4,98 Ω

17 7. Transformator (18 Punkte) Es soll eine Kondensatorbank zur Blindleistungskompensation über einen Transformator an das Mittelspannungsnetz angeschlossen werden. U p Us Qc=30 kvar Das Datenblatt des Transformators stellt Ihnen die folgenden Werte zur Verfügung: U p = 11,5 kv U s = 230 V S n = 30 kva u k = 4 % P k = 500 W Die verwendete Kondensatorbank nimmt bei Nennspannung (230 V) und Nennfrequenz (50 Hz) eine Blindleistung von Q = 30 kvar auf. Aufgaben: TR1) Geben Sie die Wirk-,Blind- und Scheinleistung an, die bei einem idealen Transformator primärseitig umgesetzt wird, wenn die oben genannte Kondensatorbank angeschlossen ist. Erläutern Sie ob dieser Betriebsbereich zulässig ist. 2 P Beziehen Sie in den folgenden Aufgabenpunkten alle Ergebnisse auf die Sekundärseite des Transformators! TR2) Zeichnen Sie das Kurzschuss-Ersatzschaltbild und bestimmen Sie aus den gegebenen Daten die Kurzschlussimpedanzen R k und X k. Nicht Vergessen: Bezug soll die Sekundärseite des Transformators sein. TR3) Berechnen Sie die Wirk-, Schein- und Blindleistung, die von einem realen Transformator primärseitig umgesetzt wird, wenn die Last die oben erwähnte Kondensatorbank ist. (Wenn Sie in TR2 die Impedanzen nicht bestimmen konnten rechnen Sie mit R k = 29,39 mω und X k = 64,12 mω weiter.) TR4) Beurteilen und begründen Sie kurz mit Hilfe der in TR3 ermittelten Werte, ob der Betriebsbereich zulässig ist. 6 P 8 P 2 P Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 14/15) Seite 12 von 13

18 TR1) Der ideale Transformator ist verlustfrei daher entspricht die sekundärseitig angeschlossene Leistung (in diesem Fall ausschließlich Blindleistung) auch der an der Primärseite umgesetzten Leistung. P 1,ideal = 0 W Q 1,ideal = Q c = 30kvar 2 2 S 1, ideal = (P 1,ideal + Q 1,ideal ) = (0 kw) 2 + (30 kvar) 2 = 30 kva Da der Transformator eine Nennscheinleistung S n =30 kva besitzt, ist dieser Betriebsbereich zulässig. TR2) Hinweis: Der Kurzschlussversuch wird von der Unterspannungsseite (Sekundärseite) aus gefahren, sodass die Primärseite kurzgeschlossen wird und die Kurzschlussspannung U K,2 auf der Sekundärseite eingestellt wird, bis der Nennstrom I N,2 =I k,2 fließt. Alle Ergebnisse werden daher auf die Sekundärseite bezogen angegeben. R 2K X 2σK I 2K =I 2N A U Rk U Xσk U 2k Ermittlung des Kurzschlussstromes I 2K =I 2N S 1N = S 2N = U 2N I 2N I 2N = S 2N VA = = 130,4348 A U 2N 230 V Bestimmung von R 2K : P 2k = I 2 2k R 2k R 2k = P k (500 W) 2 = I k (130,4348 A) 2 = 0,02938 Ω = 29,38 mω (Hinweis: R 1k =73,45 Ω) Bestimmung der Gesamtkurzschlussimpedanz Z 2k : 0, V Z 2k = U 2k = = 0,07053 Ω = 70,53 mω I 2k 130,4348 A (Hinweis: Z 1k =176,325 Ω) Bestimmung der Reaktanz X k : X 2k = (Z 2 k R 2 2k ) = (0,07053 Ω) 2 (0,02938 Ω) 2 = 0,06412 Ω = 64,12 mω (Hinweis X 1k =160,3 Ω)

19 TR3) In dieser Teilaufgabe ist nun die Kapazität angeschlossen. I C R 2k X σ2k U 2 X C U S Berechnung des kapazitiven Blindwiderstands X C : Q C = U C I C mit I C = U c X C und U C = U S X C = U C 2 (230 V)2 = = 1,7633 Ω Q C var Berechnung der gesamten Impedanz der Schaltung: Z = R 2k + j(x σ2k X C ) Z = 29,38 mω + j(64,12 mω 1,7633Ω) Z = (0,02938 j 1,69918)Ω Berechnung des Betrages: Z = (0,02938 Ω) 2 + (1,69919 Ω) 2 = 1,6994 Ω Berechnung des Stromes I C : I C = U s Z = 230 V 1,6994 Ω = 135, 3419 A Berechnung der Leistungen: P C = I C 2 R = (135,3419 A) 2 0,02938 Ω = 538,1661 W S C = U S I S = 230 V 135,3419 A = ,637 VA = 31,1286 kva Q C = I C 2 X = (135,3419 A) 2 1,69918 Ω = ,6105 var = 31,1246 kvar Q C = S 2 P 2 = ((31,1286 kva) 2 (538,1661 W) 2 ) = 31,1239 kvar TR 4) Der Betriebsbereich ist nicht zulässig, da S N <S C.

20 8. Schutzmaßnahmen (17 Punkte) Ein Monteur berührt bei Wartungsarbeiten den blanken Kontakt der Zuleitung einer Industrieanlage mit Schutztrennung. Zwischen dem Rückleiter und der Erde besteht eine kapazitive Kopplung, da bei der Installation die langen Leitungen nicht beachtet wurden. Folgende Daten sind bekannt R L U 0 R V R L C E Strangspannung U 0 = 230 V Frequenz f = 50 Hz Leitungswiderstand R L = 0,1 Ω Verbraucherwiderstand R V = 40 Ω Erdkapazität C E = 2 µf Widerstand des Menschen R M = 3 kω Standortwiderstand R St = 1 kω Aufgaben: Hinweis: Zum Lösen der Aufgaben benötigen Sie Wechselstromrechnung. Vernachlässigen Sie zunächst den Leitungswiderstand R L. SM1) Zeichen Sie das Ersatzschaltbild für den Fall der Berührung des Monteurs mit der obigen Vereinfachung! Beschriften Sie das ESB vollständig (die Ströme nicht vergessen)! SM2) Bestimmen Sie den Strom I M, der über den Menschen fließt! SM3) Ist der Mensch gefährdet? Begründen Sie Ihre Antwort! SM4) Begründen Sie, warum Sie den Leitungswiderstand R L vernachlässigen durften. Hinweis: Betrachten Sie die Größenordnung von I M und I V. 3 P 3 P 2 P 4 P Das Anlagenkonzept soll geändert werden. Die Anlage wird umgebaut und als TT-System (Schutzerdung) ausgeführt. SM5) Skizzieren Sie den grundsätzlichen Aufbau einer Schutzmaßnahme in einem TT-System! SM6) In diesem Netz wird eine Fehlerstrom-Schutzeinrichtung (RCD) mit einem Bemessungsdifferenzstrom von 30 ma eingesetzt. Wird in diesem Fall der Monteur geschützt, falls er die blanke Zuleitung berühren sollte? Begründen Sie Ihre Antwort! 3 P 2 P Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 14/15) Seite 13 von 13

21 SM1) I ges I V U 0 R V I M U V R M U M U CE C E R St U St SM2) X CE = 1 1 = = 1591, Ω 1,59 kω ωc E 2π 50 Hz 2 µf Z = (R M + R St ) 2 + X 2 CE = (3 kω + 1 kω) 2 + ( 1,59 kω) 2 = 4,3044 kω 4,3 kω I M = U 0 Z = 230 V = 0, A 53,5 ma 4,3 kω SM3) Ja, er ist gefährdet, da I M > 17 ma. (bzw. da U M = R M I M = 3 kω 53,5 ma = 160,5 V > 50 V) SM4) I V R V = Z I M I V = Z R V I M = I M I V I V I ges U V R V 4,3 kω 40 Ω = 107, 5 I M = U L U L = 2R L U V = 2 0,1 Ω 2R L R V 40 Ω U V = U V (U L ist der Spannungsabfall an beiden R L zusammen) Der Leitungswiderstand kann vernachlässigt werden, da der Spannungsabfall daran um Faktor 200 kleiner ist, als am Lastwiderstand.

22 SM5) L1 L2 L3 N Sicherungen oder Fehlerstrom-Schutzschalter Verbraucher PE SM6) Nein, der Monteur wird nicht geschützt, da der maximale Strom durch den Menschen dauerhaft immer noch mehr als 17 ma betragen kann. Es müsste ein RCD mit max. 17 ma eingesetzt werden, damit der Monteur sicher ist.