3 Ortskurven. 3.1 Einleitung. 3.2 Spannungs-/Widerstandsdiagramme in der Reihenschaltung

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1 C. FEPEL 3 Ortskurven 3. Einleitung Durch ein Zeigerbild wird ein bestimmter Betriebszustand eines Wechselstromnetzes bei konstanten Parametern (Amplitude und Frequenz der einspeisenden sinusförmigen Quellspannungen und Quellströme, Netzparameter, L, und C) durch komplexe Effektivwerte (manchmal auch Spitzenwerte) von Strömen und Spannungen beschrieben. Komplexe Widerstände und komplexe Leitwerte von Wechselstromschaltungen lassen sich ebenfalls durch Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene darstellen. Mit variablen Parametern ändern sich die Zeigerbilder für komplexe Widerstände. Wird nur die Änderung einer bestimmten Größe des Wechselstromnetzes infolge der Änderung eines Parameters untersucht, dann entsteht für diese Größe eine Menge von Zeigern. Die Zeigerspitzen werden verbunden, die Kurve der Zeigerspitzen wird Ortskurve genannt. Durch Ortskurven lassen sich verschiedene Betriebszustände eines Wechselstromnetzes, d.h. bei geänderten Parametern, in einem Bild erfassen. Zweck der Ortskurven ist es, einen Überblick über die Folgen zu erhalten, die sich bei Veränderung einer oder mehrerer Größen für die übrigen einstellen. Man unterscheidet 2 Hauptgruppen von Ortskurven: a) Spannungs- und Widerstandsdiagramme b) Strom- und Leitwertdiagramme 3.2 Spannungs-/Widerstandsdiagramme in der eihenschaltung Als Beispiel werden zunächst die Ortskurven für die Spannung gezeichnet, die sich im Fall der eihenschaltung von, L und C ergeben, wenn einmal der Blindwiderstand und einmal der Wirkwiderstand verändert wird. Dabei wird konstant gehalten

2 C. FEPEL 3.2. konstant ; ω veränderlich Schaltung L C Konstruktion der Ortskurve [ + j(ωl -!C )] konstant ( + jx) veränderlich durch Variation der Frequenz Die Wirkkomponente liegt mit dem Strom in Phase, und sie ist konstant. Die Blindkomponente steht zur Wirkkomponente senkrecht. Sie ist induktiv oder kapazitiv, je nachdem ob ωl oder!c überwiegt. Die Spitze des Spannungszeigers beschreibt also eine Gerade, die im Abstand parallel zur imaginären Achse verläuft. Diese Gerade ist die Ortskurve der obigen Schaltung für konstanten Stromstärke, konstanten Wirkwiderstand veränderliche Frequenz f (oder ω). und! 0 " %!L 0 ) ' ' & ' (!C # $ * ' + "!0 (, j$)!! es "!L,!C 0 "! e s! # $ " %!L # $ ) ' ' & ' (!C 0 * ' + "!$ ( + j$) Für jede Frequenz erhält einen anderen Betrag und eine andere Phasenlage gegenüber dem Strom

3 C. FEPEL Ortskurve für die Spannung m Ortskurve für! _ 6 jx _ 5 _ 4 konst. _ esonanz e _ 3 _ 2 _ 0 Beispiel 3. Gesucht ist die Ortskurve des Scheinwiderstandes einer eihenschaltung aus 5 Ω, L 0,2 H und C 30 µf bei veränderlicher Frequenz X konstant ; veränderlich Schaltung L C Konstruktion der Ortskurve ( + jx)

4 C. FEPEL veränderlich konstant (induktiv oder kapazitiv) Für 0 hat die Spannung nur einen Blindanteil. Bei Änderung von verläuft die Spitze des Spannungszeigers parallel zur reellen Achse im Abstand X. Ortskurve für die Spannung m ! Ortskurve für X > 0 j X e! Ortskurve für X < 0 Beispiel 3.2 Gesucht ist die Ortskurve des Scheinwiderstandes einer LC-eihenschaltung mit L 0,2 H und C 30 µf bei einer festen Frequenz von 50 Hz und einem veränderlichen Widerstand (Werte 20 Ω, 40 Ω, 60 Ω, 80 Ω, 00 Ω, 20 Ω) Widerstandsdiagramme Spannungsdiagramme lassen sich durch Division durch in Widerstandsdiagramme überführen. Spannungs- und Widerstandsdiagramme sind also vom Aussehen her gleich, sie unterscheiden sich nur im Maßstab. Die Vorgehensweise bei der Konstruktion ist in beiden Fällen gleich

5 C. FEPEL 3.3 Strom-/Leitwertdiagramme in der eihenschaltung Es werden die Ortskurven für den Strom gezeichnet, die sich im Fall der eihenschaltung von, L und C ergeben, wenn einmal der Blindwiderstand und einmal der Wirkwiderstand verändert wird. Dabei wird konstant gehalten konstant ; ω veränderlich Schaltung L C Konstruktion der Ortskurve ( + jx) mit X (ωl -!C ) + jx + j(!l "!C )! 0 "! # $ " %!L 0 ) ' ' & ' (!C # $ * ' + %!L # $ ) ' ' & ' (!C 0 * ' + "!0 "!$ + j(0, $) + j($, 0)!! es "!L,!C 0 "! e s m ax, j$ 0 ( j0) + j$ 0 (, j0) Beweis für Kreis: ( + jx) + jx

6 C. FEPEL + j X + j #!L " & $ %!C' ( max Diese beiden Komponenten stehen immer senkrecht aufeinander, und ergeben geometrisch addiert immer den maximalen Strom. Der Zeiger max liegt mit in Phase. Die Spitze von und j X wandert auf einem Halbkreis (Thaleskreis) dessen Durchmesser max entspricht. Der Halbkreis liegt unter der reellen Achse, wenn!l "!C wenn!l "!C kapazitiv ist induktiv ist, und oberhalb Ortskurve für den Strom m (" L < ) # X < 0 " C _ Ortskurve für X! j _ 0! max esonanz e j X Ortskurve für (" L > ) # X > 0 " C

7 C. FEPEL X konstant ; veränderlich Schaltung L C Konstruktion der Ortskurve + j(!l "!C ) 0! max jx " j X # X > 0! induktiv X < 0! kapazitiv $ %! 0 ( + jx) + j X jx jx jx +! j X! j X + a) X > 0 (!L >!C ) " # j X # j X b) X < 0 (!L <!C ) " j j! X " X # max + + $ $ % stehen senkrecht aufeinander

8 C. FEPEL Ortskurve für den Strom m 0 X j j X X < 0 _! e! j X X > 0 0 X! j Ortskurve durch nversion (siehe folgendes Kapitel) Eine Gerade parallel zur reellen Achse geht über in einen Halbkreis dessen Durchmesser auf der imaginären Achse liegt. Beispiel 3.3 Gesucht ist die Ortskurve des Scheinleitwertes einer LC-eihenschaltung mit L 0,2 H und C 30 µf bei einer festen Frequenz von 50 Hz und einem veränderlichen Widerstand (Werte 20 Ω, 40 Ω, 60 Ω, 80 Ω, 00 Ω, 20 Ω) Leitwertdiagramme Stromdiagramme lassen sich durch Division durch in Leitwertdiagramme überführen. Strom- und Leitwertdiagramme sind also vom Aussehen her gleich, sie unterscheiden sich nur im Maßstab. Die Vorgehensweise bei der Konstruktion ist in beiden Fällen gleich

9 C. FEPEL 3.4 nversion Ortskurven für Scheinwiderstände und Scheinleitwerte lassen sich durch nversion ineinander überführen. Z Z e j! Y Z Z e" j! Z + j(!l "!C ) Y Z min (!! es ) Y max Z! 0 " j# Y! 0 j0 Z!$# + j# Y!$# " j0 + j(!l "!C ) (!! es LC ) Beispiel Ortskurve für X > 0 m Ortskurve für Z _ Z Z min Y max Y Ortskurve für Y _ egeln bei der nversion Bei der nversion bleiben die Winkel erhalten, die Vorzeichen ändern. Aus Beträgen werden deren Kehrwerte

10 C. FEPEL Aus einer Geraden parallel zur imaginären Achse wird ein Halbkreis mit Durchmesser auf der reellen Achse. Liegt die gerade oberhalb der reellen Achse, so fällt der Halbkreis darunter; liegt die Gerade unterhalb der reellen Achse, so fällt der Kreis darüber. Beispiel 3.4 Ermittle die Ortskurve des Scheinwiderstandes und des Scheinleitwertes einer LC- eihenschaltung aus 5 Ω, L 0,2 H und C 30 µf bei veränderlicher Frequenz. 3.5 Diagramme in der Parallelschaltung bei veränderlicher Schaltung Frequenz L C Strom-/Leitwertdiagramm Y Y + j!l + j!c + j #!C " & $ %!L ' ( sein in die reelle Achse gelegt : Y ) + j #!C " &, + $ %!L ' (. *

11 C. FEPEL! 0 "!0 ( # j$)! % $ "!$ ( + j$)!! es "!e s min Die Ortskurve für ist eine gerade parallel zur imaginären Achse im Abstand. Spannungs-/Widerstandsdiagramm Z Mit Z Y Z + j #!C " & $ %!L ' ( sein in die reelle Achse gelegt : + j #!C " & $ %!L ' (! 0 "!0! % $ "!$!! es "!e s max + j ( 0 # $ ) + j ( $ # 0 ) # j$ + j$ j0 # j0-3. -

12 C. FEPEL Ortskurven m Ortskurve für! m _ Ortskurve für _ esonanz # nversion $ e _ 0! j (! C " )! L max esonanz e _ 0 _ Beweis für Kreis: ) + j #!C " &, + $ %!L ' (. * - # &! + j!c " $ %!L ' ( " $$$$ # $$$$ % max 2 senkrechte Komponeten

13 C. FEPEL

14 T3EE ELETE C. FEPEL 3.6 Ortskurven bei zusammengesetzten Schaltungen 3.6. Hilfsblatt

15 T3EE ELETE C. FEPEL Hilfsblatt

16 T3EE ELETE C. FEPEL Hilfsblatt

17 C. FEPEL 3.7 Aufgaben Aufgabe 3. (Examen 86) Gegeben die nebenstehende Schaltung. Es gilt 00 V ; 500 Ω ; f 50 Hz. a) Zeichne die Ortskurve für Z und für L 0,5 H bis 5 H. (M: 20 Ω! mm ; 4 ma! mm). b) Trage die Punkte für L 0,5 H und L 5 H in die beiden Ortskurven ein. L Aufgabe 3.2 (Examen 86) Gegeben die nebenstehende Schaltung. Es gilt X L 50 Ω ; 2 25 Ω ; C 2 ist variabel zwischen 0 und. Zeichne die Ortskurven für Z 2 ; Y 2 und Y ges (M: Ω! mm ; L 2 ms! 2 mm). C2 Aufgabe 3.3 (Examen 88) Gegeben die nebenstehende Schaltung. Es gilt f 50 Hz ; X C 50 Ω ; 2 50 Ω ; C 2 ist variabel zwischen 0 und. a) Zeichne die Ortskurven für Z 2 ; Y 2 ; Y ges und Z ges 2 (M: Ω! mm ; ms! 2 mm). C b) Trage in die Ortskurve von Y ges den Punkt P ein für den C2 Z ges minimal ist. c) Übertrage diesen Punkt in die Ortskurven von Y 2 und Z 2 und ermittle den Wert von C

18 C. FEPEL Aufgabe 3.4 Gegeben die nebenstehende Schaltung. Es gilt f 25 Hz ; X C 20 Ω ; 2 25 Ω ; L 2 ist variabel zwischen 0 und. 2 a) Zeichne die Ortskurven für Z 2 ; Y 2 ; Y ges und Z ges (M: Ω! 2 mm ; ms! 3 mm). C b) Trage in die Ortskurve von Y ges den Punkt P ein für den L2 Z ges 25 Ω ist. c) Übertrage diesen Punkt in alle anderen Ortskurven und ermittle den Wert von L 2. Aufgabe 3.5 Gegeben die nebenstehende Schaltung. Es gilt X C2 200 Ω ; 25 Ω ; 2 ist variabel zwischen 0 und. a) Zeichne die Ortskurven für Y 2 ; Z 2 ; Z ges und Y ges (M: 00 Ω! 8 cm ; ms! cm). b) Ermittle φ max c) Ermittle, für welchen Wert von 2 der Strom minimal wird. C2 2 Aufgabe 3.6 Gegeben die nebenstehende Schaltung. Es gilt X L 400 Ω ; X C 200 Ω ; ist variabel zwischen 0 und. a) Zeichne die Ortskurven des Gesamtleitwertes (M: 00 Ω! cm ; ms! 4 cm). b) Trage auf der Ortskurve die Punkte ein für 200 Ω und 000 Ω. Ermittle für die beiden Widerstände aus der Ortskurve die Leitwerte nach Betrag und Phase. c) Bestimme den Wert von, für den Strom und Spannung in Phase sind. Gib zudem den Wert des Gesamtleitwertes in diesem Fall an. XL XC

19 C. FEPEL Aufgabe 3.7 Gegeben die nebenstehende Schaltung. Es gilt X L 50 Ω ; 400 Ω ; X C ist variabel zwischen 0 und. a) Zeichne die Ortskurven des Gesamtscheinwiderstandes (M: 00 Ω! 2 cm ; ms! cm). b) Trage auf der Ortskurve die Punkte ein für X C 200 Ω XL C und X C 800 Ω. Ermittle für die beiden Werte von X C aus der Ortskurve die Scheinwiderstände nach Betrag und Phase. c) Bestimme den (die) Wert(e) von X C, für den Strom und Spannung in Phase sind. Gib zudem den (die) Wert(e) des (der) Scheinwiderstandes (-widerstände) in diesem (diesen) Fall (Fällen) an. d) Bestimme den (die) Wert(e) von X C, für den Strom der Spannung um 20 nacheilt. Gib zudem den (die) Wert(e) des (der) Scheinwiderstandes (-widerstände) in diesem (diesen) Fall (Fällen) an