Filter. Ortsverband Pulheim G40

Transkript

1 Filter Ortsverband Pulheim G40

2 Filter, Einführung Filter 2

3 Vierpol I e I a U e Vierpol U a Übertragungsverhalten bei I a = 0 ist A(jω) A jω = U a U e Filter 3

4 Streuparameter it wissen.de Eingangsreflektionsfaktor S 11 Ausgangsreflektionsfaktor S 22 Einfügedämpfung S 21 Rückwärtsdämpfung S Filter 4

5 Tiefpass 1. Ordnung R U e C U a U e U a = R + X c X c Da die Phasenlage des Stromes bei reinen Widerstandsnetzwerken anders ist, als bei Netzwerken mit Energiespeichern, wie Induktivitäten und Kapazitäten, muss man bei der mathematischen Behandlung solcher Systeme diese Besonderheiten berücksichtigen Filter 5

6 Komplexe Größen Filter 6

7 Darstellung im kartesischen Koordinatensystem y 2 1 y=f(x) y=x x Filter 7

8 Darstellung im kartesischen Koordinatensystem Alle Zahlen liegen in einer reellen Zahlenebene Filter 8

9 Widerstand I U I1 R1 I R1 U1 R2 U2 U R = R1 + R2 ; gleichphasig U = U1 + U2 ; I = U R ; gleichphasig I2 R = R2 R1 R2 (R1 + R2) I = I1 + I2 ; I = U R ; gleichphasig U I1 = R2 I2 R1 U1 = R1 Beispiel: Spannungsteiler U2 R2 U1 U Filter 9

10 Kondensator X C = U I = 1 2πfC = 1 ωc mit ϕ=-90 (Def.: ϕ = ϕ u -ϕ i ) I I*R R U C U I* X C Filter 11

11 Induktivität X L = U I = 2πfL = ωl mit ϕ=90 (Def.: ϕ = ϕ u -ϕ i ) I U I* X L R L I*R U Filter 14

12 Zusammenschaltung Kapazität und Induktivität C L Z = X C X L X C + X L? Wie berücksichtigt man nun einfach die unterschiedlichen Phasenlagen? Filter 16

13 Gaußsche Zahlenebene 4i 3i 2i i imaginäre Achse Alle imaginären Zahlen werden hier abgebildet mit i= 1 Alle reellen Zahlen werden hier abgebildet reelle Achse Filter 17

14 Gaußsche Zahlenebene mit i= 1 a +jb Filter 18

15 Definition X C = 1 jωc mit 1 j = j X C = j 1 ωc I I*R R C U I* X C U Filter 19

16 Definition X L = jωl I U R L I*R I* X L U Filter 20

17 Zusammenschaltung Kapazität und Induktivität C L Z = X C X L X C + X L Wie berücksichtigt man nun einfach die unterschiedlichen Phasenlagen? Filter 21

18 Zusammenschaltung Kapazität und Induktivität Z = (R + jωl)) 1 jωc R + jωl + 1 jωc a b a + b = a 2 b 2 jj = 1 1 j = j C R L Z = X c(r + X L ) X c + X L + R Z = R jωc + L C R + j(ωl 1 ωc ) = ( L C j R 1 ωc )(R j(ωl ωc ) R 2 + (ωl 1 ωc )2 Z = R L C j( ω L2 C L ωc 2 R2 j ωc (RL C R (ωc) 2 R 2 + (ωl 1 ωc )2 = Re R L2 (ωc) 2 j(ω C R 2 + (ωl 1 ωc )2 L ωc 2 + R2 ωc ) Im Filter 22

19 mit der Gaußschen Zahlenebene für sinusförmige Verhältnisse imaginär j1-1 Z RL L Z RL = R + jωl -1 j1 Z RC -1 R 1 C Z RC =R+ real 1 = R -j 1 jωc ωc Z RL + Z RC = R + jωl + R -j 1 ωc Damit ist die phasenrichtige Berechnung einfach möglich Filter 23

20 Gaußsche Zahlenebene Im Negative reelle Widerstände sind nicht definiert Re alle reellen Widerstände Filter 24

21 Gaußsche Zahlenebene Im L R Re C Filter 25

22 Tiefpass 1. Ordnung R U e C U a U e U a = R + 1 jωc 1 jωc = 1 + jωrc A T = jωrc A T ω = A ω = (ωrc) 2 φ ω = arctan (ωrc) Filter 26

23 Beispiel (ELSIE) Filter 27

24 Beispiel (ELSIE) f g bei -3 db Oktavdämpfung ~ 5dB Dekadendäpfungdämpfung ~ 21dB Filter 28

25 Tiefpass 2. Ordnung R L U e C U a U e U a = R + jωl + 1 jωc 1 jωc = 1 ω 2 LC + jωrc Die Ordnung beschreibt die Potenz der Frequenz im Nenner. Hier 2. Je höher die Potenz, desto steiler der Abfall A T (ω) = 1 1 ω 2 LC + jωrc Serienschwingkreis, der durch R bedämpft wird. L und C bestimmen die Eckfrequenz ω g = ω 0 = 1 LC D = R C Knickfrequenz L Dämpfung A T (ω) = 1 1 ( ω ω 0 ) 2 + jd ω ω Filter 29

26 Tiefpass 2. Ordnung R L 1. Ordnung U e A T (ω) = C 1 U a 2. Ordnung 1 ( ω ω 0 ) 2 + jd ω ω Filter 30

27 Tiefpass 2. Ordnung R L 1. Ordnung U e C U a 2. Ordnung 1. Ordnung 2.Ordnung fg (khz) Oktavd. (db) 5-12 Dekadend. (db) Filter 31

28 Tiefpass 2. Ordnung R L U e C U a A T (ω) = 1 1 ( ω ω 0 ) 2 + jd ω ω Filter 32

29 Anwendungsbeispiel Filter 33

30 Synthese von Signalen, Sägezahn alle Frequenzen von 1 bis 20, Amplituden 1/n Filter 34

31 Synthese von Signalen, Sägezahn alle Frequenzen von 1 bis 20, Amplituden 1/n Filter 35

32 Synthese von Signalen, Sägezahn Annahme f Sägezahn =10 khz Oberwelle : 20 khz 100 khz Oberwelle : 100 khz 200 khz Versuch 1 : Low-pass khz Versuch 2: high-pass khz Filter 36

33 Versuch 1 Low-pass Filter khz Filter 37

34 Versuch Filter 38

35 Synthese von Signalen, Sägezahn alle Frequenzen von 1 bis 20, Amplituden 1/n Filter 39

36 Versuch 2 High-pass Filter khz Filter 40

37 Versuch Filter 41

38 Synthese von Signalen, Sägezahn alle Frequenzen von 1 bis 20, Amplituden 1/n Filter 42