7. Frequenzselektive Messungen

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1 Fortgeschrittenenpraktikum I Universität Rostock - Physikalisches Institut 7. Frequenzselektive Messungen Name: Daniel Schick Betreuer: Dipl. Ing. D. Bojarski Versuch ausgeführt: 1. Juni 2006 Protokoll erstellt: 6. Juni 2006

2 Inhaltsverzeichnis 1 Versuchsbeschreibung Ziel Aufgaben Aktive Filter Tiefpass Hochpass Bandpassfilter Bandsperrfilter Phasenempfindlicher Verstärker Synchronbetrieb Asynchronbetrieb

3 1 Versuchsbeschreibung 1.1 Ziel Asubsection Untersuchung frequenzselektiver Verstärkerschaltungen. Vertrautmachen mit verschiedenen Filtertypen sowie Strategien zur Realisierung optimaler Filterkurven. Aufbau und Funktionsüberprüfung eines phasenempfindlichen Gleichrichters (PEG), der heute ein Grundelement bei der Messdatenerfassung ist. Untersuchung der Linearität und Selektivität des PEG. 1.2 Aufgaben Aktive Filter 1. Tiefpass (Abb. 1) Ermitteln Sie den Frequenzgang der Verstärkung und der Phasenverschiebung eines aktiven Tiefpasses 2. Ordnung mit Einfachmittkopplung in der Einstellung als: a) Bessel-Filter b) Butterworth-Filter c) Tschebyscheff-Filter Stellen Sie die Messwerte über der normierten Frequenz dar. 2. Hochpass (Abb. 2) Untersuchen Sie den aktiven Hochpass 2. Ordnung in den gleichen Einstellungen wie in 1. Messen Sie die Verstärkung als Funktion der Frequenz, indem Sie aus dem Funktionsgenerator und dem Oszilloskop einen Wobbelmessplatz aufbauen. 3. Bandpassfilter (Abb. 3) Ermitteln Sie den Frequenzgang der Verstärkung eines Bandpassfilters mit Einfachmittkopplung für 3 verschiedene Einstellungen der Güte ɛ = 2, 5 ; 3 ; 3, 9 und stellen Sie die Ergebnisse wie in 2 dar. 4. Bandsperrfilter (Abb. 4, 5) Ermitteln Sie analog zu 2 den Frequenzgang der Verstärkung eines aktiven Doppel-T-Bandsperrfilters. 3

4 Phasenempfindlicher Verstärker (Gleichrichter / PEG) (Abb. 6) 5. Synchronbetrieb a) Bestimmen Sie die Ausgangsspannung U a des aufgebauten PEG in Abhängigkeit von der Phasenverschiebung ϕ zwischen der Signalspannung U e und der Steuer- bzw. Referenzspannung U ref bei U e = 1V/1kHz. Vergleichen Sie quantitativ mit der Theorie. b) Bestimmen Sie die Gleichrichterkennlinie U a = f(u e ) bei ϕ = Asynchronbetrieb Untersuchen Sie das Übertragungsverhalten des PEG für Asynchronspannungen unterschiedlicher Frequenz bei konstanter U ref = 1V/1kHz für 3 Grenzfrequenzen des an den Ausgang geschalteten Tiefpasses (f g = 100 ; 50 ; 20Hz). 4

5 2 Aktive Filter Als aktive Filter bezeichnet man Filter, die nur aus Widerständen, Kondensatoren und aktiven Bauelementen wie z.b. Operationsverstärkern bestehen. Ihr Vorteil im Gegensatz zu Filtern mit Induktivitäten ist, dass sie auch problemlos im niederfrequenten Bereich eingesetzt werden können. Wo hingegen Filtern mit Induktivitäten nur auf Kosten schlechter elektrischer Eigenschaften, Unhandlichkeit und zumeist auch eines hohen Preises arbeiten können. Allgemein werden Filter durch eine Übertragungsfunktion beschrieben. Sie gibt an, wie das Eingangssignal in Phase und Amplitude vom Filter verändert wird. In der Praxis haben sich dabei verschiedene optimierte Frequenzgänge bewährt: Bessel-Filter optimales Rechteckübertragungsverhalten und linearer Phasengang, Amplitudengang knickt nicht sehr scharf ab Butterworth-Filter glatter Amplitudengang, der erst kurz vor der Grenzfrequenz scharf abknickt Tschebyscheff-Filter schärfster Abfall bei der Grenzfrequenz, aber welliger Amplitudengang Der Filtertyp wird dabei nur von dessen innerer Verstärkung bestimmt und damit von der Verstärkung der verwendeten OVs, siehe Abb R 1 U e R 0 U a V = U a U e = 1 + R 1 R 0 = 1 + (e 1)R 0 R 0 = e Abbildung 1: Schaltplan OV Für die drei beschriebenen Filtertypen sind folgende innere Verstärkungen tabelliert: Bessel Butterworth 3dB -Tschebyscheff e 1, 268 1, 586 2, 234 Tabelle 1: Innere Verstärkungen e 5

6 2.1 Tiefpass Die allgemeine Übertragungsfunktion für Tiefpässe lautet: A(P ) = A 0 i (1 + a ip + b i P 2 ), mit P = jf f g Die Grenzfrequenz für Tiefpässe zweiter Ordnung ergibt sich mit b1 f g = 2πRC Für die drei zu untersuchenden Filtertypen sind folgende Koeffizienten tabelliert: Bessel Butterworth 3dB -Tschebyscheff a 1 1, , , 0650 b 1 0, , , 9305 Tabelle 2: Koeffizienten für Tiefpässe 2. Ordnung Um den Frequenzgang der Verstärkung und der Phasenverschiebung der verschiedenen Filtertypen zu messen wird ein Tiefpassfilter 2. Ordnung mit einfacher Mitkopplung wie in Abb. 2 aufgebaut. Am Oszillographen werden die Ausgangsspannung und die Phasenverschiebung in Abhängigkeit von der Frequenz der Eingangsspannung aufgenommen. Im Bereich der Grenzfrequenz wird dabei mit besonderer Sorgfalt gemessen. (1) Abbildung 2: Schaltplan Tiefpass 2. Ordnung Die Dimensionierung der verschiedenen Filter wurde wie folgt vorgenommen: U e R R 0 C 2V 10kΩ 10kΩ 10nF Tabelle 3: Dimensionierung der Tiefpässe 2. Ordnung 6

7 Bessel Butterworth 3dB-Tschebyscheff f/hz U a /V ϕ/ f/hz U a /V ϕ/ f/hz U a /V ϕ/ 20 1,937 0,0 50 3,125 0,0 20 4,437 0,0 50 1,969 0, ,125 0,0 50 4,437 0, ,937 0, ,125 7, ,375 1, ,937 7, , ,437 2, , , ,437 5, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabelle 4: Messwerte Tiefpässe 7

8 Die Messwerte aus Tab. 4 sind in den Abb. 3 a) und b) dargestellt. Dabei wurden beide Graphen über der normierten Frequenz f/f g aufgetragen. Die Messwerte A(P) / db a) Amplitudengang Tschebyscheff Bessel Butterworth 0,01 0, f / f g ϕ / b) Phasengang Tschebyscheff Bessel Butterworth -20 0,01 0,1 1 f / f g Abbildung 3: Amplitudengang und Phasengang der drei Tiefpässe zeigen hier eine sehr gute Übereinstimmung mit der Theorie. Der Tschebyscheff- Tiefpass besitzt den schärfsten Abfall der Verstärkung und steilsten Anstieg des Phasenganges. Außerdem überschwingt er deutlich im Amplitudengang. Der Bessel- Filter zeigt einen annähernd linearen Phasengang und einen weniger steilen Abfall der Verstärkung. Der Butterworth-Filter liegt in Amplituden- und Phasengang etwa zwischen den beiden anderen Filtertypen. In Tab. 5 sind die theoretischen und experimentellen Grenzfrequenzen der drei Bessel Butterworth 3dB -Tschebyscheff f g,theo /khz 1, 251 1, 591 2, 211 f g,exp /khz 1, 396 1, 586 2, 218 f 11, 6% 0, 3% 0, 3% Tabelle 5: Vergleich der Grenzfrequenzen für die Tiefpässe Tiefpässe gegenübergestellt. Die Theoriewerte ergeben sich dabei nach Gleichung (1), die experimentellen Frequenzen wurden aus Abb. 3 a) bei einer Ausgangsspannung von U a,max / 2 abgelesen. Die Werte stimmen bis auf den Bessel-Filter sehr gut mir der Theorie überein. 2.2 Hochpass Ähnlich wie in der vorherigen Aufgabe, sollte nun das Frequenzverhalten für Hochpässe untersucht werden. Dazu wurde ein Hochpass, s. Abb. 4, aufgebaut, bei dem im Gegensatz zum vorherigen Hochpass die R und C Glieder vertauscht wurden. Die Übert- 8

9 ragungsfunktion für einen Hochpass lautet dann: A(P ) = ( i 1 + a i + ) b i P P 2 Die Grenzfrequenz für Hochpässe zweiter Ordnung ergibt sich dann mit 1 f g = 2πRC (2) b 1 A Abbildung 4: Schaltplan Hochpass 2. Ordnung Zur Messung des Amplitudenganges wurde ein Wobbel-Messplatz aufgebaut. Dazu wurde die Frequenz der Ausgangsspannung des Funktionsgenerators mit einer zusätzlichen Dreieckspannung linear verändert. Diese Spannung und die Ausgangsspannung des Hochpassfilters wurden auf dem Oszillographen als x- und y-ablenkung verwendet. Um die Filter wiederum nach Bessel, Butterworth und Tschebyscheff zu nutzen, wurden die gleichen Einstellung wie in Abschnitt 2.1 verwendet. a) Bessel b) Butterworth c) 3dB-Tschebyscheff Abbildung 5: Amplitudengang der drei Hochpässe Zur Berechnung der theoretischen Grenzfrequenzen wurde Gleichung(2) verwendet. Zur Bestimmung der experimentellen Grenzfrequenzen, wurde die Frequenz gesucht, bei der die Ausgangsspannung auf U a = U a,max 2 abfiel. In Tab. 7 sind wiederum die experimentellen und theoretischen Werte gegenübergestellt. 9

10 Bessel Butterworth 3dB -Tschebyscheff f g,theo /khz 2, 024 1, 591 1, 145 f g,exp /khz 1, 972 1, 618 1, 176 f 2, 6% 1, 7% 2, 7% Tabelle 6: Vergleich der Grenzfrequenzen für die Hochpässe Es zeigt sich eine sehr gute Übereinstimmung aller experimentellen Grenzfrequenzen mit der Theorie. In Abb. 5 a) bis c) kann man deutlich die Arbeitsweise der Hochpässe erkennen. Für tiefe Frequenzen dämpfen sie die Ausgangsspannung und ab der Grenzfrequenz lassen sie die Eingangsspannung ungehindert passieren. Dabei zeigt auch hier der Bessel-Filter wieder den geringsten Anstieg. Der Tschebyscheff-Filter zeichnet sich durch seinen steilen Anstieg der Ausgangsspannung und sein Überschwingen aus. 2.3 Bandpassfilter Ein Bandpassfilter ist eine Kombination aus Hoch- und Tiefpass. Mit Hilfe der Bauelemente aus den vorherigen Aufgaben wurde eine Schaltung wie in Abb. 6 aufgebaut. Abbildung 6: Schaltplan Bandpassfilter mit Einfachmitkopplung Die Eigenschaften des Bandpasses lassen sich wiederum über die innere Verstärkung e einstellen. Man definiert die Güte eines solchen Filters mit: 2 Q = (3) 4 e f 0 = (4) f g,o f g,u Dabei sind f g,o und f g,u die obere und untere Grenzfrequenz, bei der jeweils die Ausgangsspannung auf 1/ 2 ihres Maximalwertes angestiegen bzw. abgefallen ist. Mit f 0 wird die Mittelfrequenz bezeichnet, bei der die maximale Spannungsübertragung besteht. Für sie gilt 1 f 0 = (5) 2πRC 10

11 Zur Bestimmung der spezifischen Frequenzen wurde wiederum ein Wobbel-Messplatz genutzt. In Abhängigkeit von der inneren Verstärkung e wurden dann die Ausgangsspannungen in Abhängigkeit von der Frequenz der Eingangsspannung aufgenommen. a) e = 2, 5 b) e = 3, 0 c) e = 3, 9 Abbildung 7: Amplitudengang des Bandpasses bei variierender innerer Verstärkung e Die Abb. 7 a) bis c) zeigen deutlich, dass der Verstärkungsbereich mit steigender inneren Verstärkung immer schmaler wird. Außerdem wird die maximale Verstärkung immer größer. Die theoretischen Werte für die Güte wurden aus Gleichung (4) und für die Mittelfrequenz aus Gleichung (5) errechnet. Die experimentellen Werte für die Güte folgen nach Gleichung (4). e 2,5 3,0 3,9 f g,u /khz 1, 370 1, 580 2, 156 f g,o /khz 3, 775 3, 228 2, 368 f 0,theo /khz 2, 250 2, 250 2, 250 f 0,exp /khz 2, 327 2, 302 2, 257 f 0 3, 5% 2, 3% 0, 3% Q theo 0, 943 1, , 14 Q exp 0, 968 1, , 65 Q 2, 7% 1, 2% 24, 7% Tabelle 7: Vergleich der Grenzfrequenzen für die Hochpässe Es zeit sich eine gute Übereinstimmung der Mittenfrequnzen und Güten für Theorie und Praxis. Einzig die große Abweichung der Güte bei e = 3, 9 sticht heraus. Doch die recht große Differenz kann durch das schwierige Ablesen am Oszilloskop gerade bei steilen Anstiegen begründet werden. 2.4 Bandsperrfilter Durch Kombination von Hoch- und Tiefpässen können auch Bandsperrfilter realisiert werden. Nach Abb. 8 wurde hier ein Doppel-T-Bandsperrfilter realisiert. Auch hier kamen wieder die gleichen Bauelemente wie in den Aufgaben zu vor zum Einsatz. Die theoreische Grenzfrequenz ergibt sich für den Bandsperrfilter mit: f g = 1 (6) πrc 11

12 Abbildung 8: Schaltplan Doppel-T-Bandsperrfilter Das in Abb. 9 dargestellte Oszillogramm zeigt den mit Hilfe des Wobbel-Messplatzes aufgenommenen Amplitudengang des Bandsperrfilters. Abbildung 9: Amplitudengang des Bandsperrfilters f g,theo = 3, 183kHz f g,exp = 3, 219kHz f = 1, 1% Auch hier stimmt der Vergleich von Theorie und Praxis sehr zufrieden. 12

13 3 Phasenempfindlicher Verstärker Es wurde ein Phasenempfindlicher Verstärker (PEG) analog zu Abb. 10 aufgebaut. Im oberen Zweig befinden sich zwei OVs. Das Eingangssignal wird zuerst von OV1 invertiert und wird dann einmal an den Source-Eingang von FET Tr1 und an den invertierenden Eingang von OV2 geleitet. OV2 invertiert wiederum sein Eingangssignal und leitet dieses an den Source-Eingang von FET Tr2. Die Verstärkung der beiden OVs sollte hierbei gleich sein. Mit Hilfe von Potentiometer P1 kann die Ausgangsspannung der beiden OVs geregelt werden. Im unteren Zweig wird das Referenzsignal eingespeist. Hier dient OV3 dazu den Eingang 3 rückkopplungsfrei. Dahinter befindet sich eine Wien-Brücke, die mit Hilfe des Tandem-Potentiometers P2 gesteuert werden kann. Um eine zusätzliche Phasenverschiebung zu erzeugen, kann R6 auf Masse gelegt werden. OV4 und OV5 bilden jeweils einen Schwellwert Schmitt-Trigger. Ihre Ausgangssignale sind also Rechteckspannungen die invertiert zu einander sind. Durch die Potentiometer P3 und P4 können die Ausgangsspannungen in ihrer Amplitute verändert werden. Anschließend steuern diese beiden Spannungen die Gate-Eingänge der beiden FETs Tr1 und Tr2. Die Ausgangsspannung des PEGs ist dann gleichgerichtet. Abbildung 10: Schaltplan PEG 3.1 Synchronbetrieb Eine echte Gleichspannung am Ausgang erhält man jedoch nur, wenn Eingangsspannung und Referenzspannung des PEG ein und die selbe sind, da es sonst durch ge- 13

14 ringste Frequenzunterschiede zu Schwebungen am Ausgang kommt. Deshalb wurde in diesem Abschnitt das Verhalten des PEG im Synchronbetrieb untersucht. Dazu wurde an Eingang 2 und 3 das gleiche Signal von 1V/1kHz gelegt. Anschließend wurden alle Potentiometer des PEG so nachgeregelt, dass eine möglichst symmetrische Ausgangsspannung in Abhängigkeit von der Phasenverschiebung abgegriffen werden konnte. Abbildung 11: Ausgangsspannung des PEG bei unterschiedlicher Phasenverschiebung Abb. 11 zeigt die Ausgangsspannung des PEG bei unterschiedlicher Phasenverschiebung ϕ. Es ist klar, dass die gemittelte Ausgangsspannung genau bei ϕ = 0 am größten ist. 0,4 a) b) 0, , ,2 800 U a / V -0,4-0,6 U a / mv , , ϕ / U e / mv Abbildung 12: Ausgangsspannung des PEG bei unterschiedlicher Phasenverschiebung Abb. 12 a) bestätigt dies. Es ist ein annähernd kosinusförmiger Verlauf zu erkennen, der bei ϕ = 0 einen vom Betrag maximalen Spannungswert aufweist. Die in Abb. 12 b) dargestellte Kennlinie U a (U e ) bei ϕ = 0 zeigt wie zu erwarten einen linearen Verlauf. 14

15 f/hz U a /V f/hz U a /V -118,0 0, ,90-0, ,7 0, ,12-0, ,0 0, ,22-0, ,88 0,0268 0,00-0, ,80-0, ,08-0, ,44-0, ,16-0, ,93-0, ,96-0, ,84-0, ,72-0, ,24-0, Tabelle 8: Messwerte U a (ϕ) U e /mv U a /mv 76,1 101,2 165,6 199,1 435,1 492,5 602,7 678,4 672,3 754,1 877,8 982,7 1131, Tabelle 9: Messwerte U a (U e ) 3.2 Asynchronbetrieb Für die Messung im Asynchronbetrieb wurde mit Hilfe des GF22 Sinusspannungsgenerators eine 1V/1kHz Referenzspannung U ref an den Eingang 3 gelegt. An Eingang 2 wurde dann mit dem Funktionsgenerator eine variable Sinusspannung angelegt und diese dann von 1 U ref bis etwa 7 U ref variiert. An den Ausgang des PEG wurde zusätzlich ein RC-Tiefpassfilter geschaltet, der das Ausgangssignal glättet. Es wurden dabei drei verschieden Tiefpassfilter mit Grenzfrequenzen bei 20, 50 und 100Hz untersucht. Die Messwerte aus Tab. 10 sind in den Abb. 13 a) bis c) dargestellt. Es ist gut zu erkennen, dass die Ausgangsspannung nur bei Frequenzen der Eingangsspannung, die ungerade Vielfache der Referenzfrequenz sind, ungleich Null ist. Bei geraden Vielfachen sorgt die Phasenverschiebung dafür, dass die gemittelte Ausgangsspannung Null ergibt. Mit zunehmender Frequenz nehmen die Spitzenwerte der Spannungsspitzen zudem exponentiell ab. Im Vergleich der Tiefpässe am Ausgang besitzt der 20Hz- Tiefpass die größten Spannungsspitzen. Dies kann damit erklärt werden, dass dieser nur Schwebungen bis etwa 20Hz passieren lässt und somit weniger Frequenzen passieren können, die die Ausgangsspannung im Mittel verkleinern. 15

16 a) 20Hz b) 50Hz U a / mv U a / mv f / Hz c) 100Hz f / Hz U a / mv f / Hz Abbildung 13: Ausgangsspannung bei Asynchronbetrieb 16

17 20 Hz Tiefpass 50 Hz Tiefpass 100 Hz Tiefpass f/hz U a / V f/hz U a / V f/hz U a / V f/hz U a / V f/hz U a / V , , , , , , , ,9 Tabelle 10: Messwerte Asynchronbetrieb 17