TET - Formelsammlung

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1 TET - Formelsammlung Matthias Jung 30. August Dierentialgleichungen Characterisierung von DGLn: Linear: y(t) sowie ẏ(t), ÿ(t)... kommen nur in der 1. Potenz vor Gewöhnlich: y(t) hängt nur von einer Variablen ab Homogen: f(t) 0 Inhomogen f(t) 0 Zeitinvariant: Wenn Faktoren vor y nicht von t abhängen Ordnung: Grad der Ableitung oder Anzahl der unabhängigen Energiespeicher 1.1 Wichtige Ansätze für Impuls und Sprungantwort Bermerkung: n Ordnung des Netzwerks m Ordnung der Erregung Dierenzierendes Netzwerk: n < m h(t) f(t) s(t) + c δ(t) + d δ(t) Impulsdurchlässiges Netzwerk: n m h(t) f(t) s(t) + c δ(t) Integrierendes Netzwerk: n > m h(t) f(t) s(t) Eigenfrequenzen: Lösen des Charactersitischen Polynoms der homogenen DGL. Ansatz der Eigenfunktonen: Ef(t) n e s n t Bsp: ü + p u + q u c u 0 s 2 + p q + b 0 s 1,2 p 2 ± (p 2) 2 q Für: s 1 s 2... f(t) A Ef 1 (t) + B Ef 2 (t)... Für: s 1 s 2... f(t) A Ef 1 (t) + B t Ef 2 (t)... 1

2 Ansatz bei harmonischer Erregung: u 0 (t) U 0 sin(ω 0 t) u(t) A sin(ω 0 t) + B cos(ω 0 t) Sprungantwort: + a(t) h(τ) s(τ)dτ t 0 h(τ)dτ s(t) 2 Fourier-Reihe Die Fourier-Reihe dient zur Netzwerkanalyse bei stationären periodischen Eingangssignalen. Fourier-Reihe: x(t) X 0 + µ1 {a µ cos(µω 0 t) + b µ sin(µω 0 t)} ω 0 2π T µ 1 Grundschwingung µ 2, 4, 6... gerade Oberschwingungen µ 1, 3, 5... ungerade Oberschwingungen µ 1, 2, 3... Harmonische X 0 Gleichanteil: X 0 1 T t 0 +T x(t)dt A-Koezient: B-Koezient a µ 2 T t 0 +T x(t) cos(µω 0 t)dt b µ 2 T t 0 +T x(t) sin(µω 0 t)dt a µ 0 für ungerade Funktionen b µ 0 für gerade Funktionen 3 Fouriertransformation Die Fouriertransformation ist nur anwendbar wenn das zu transformierende Signal ein Energiesignal ist (ein Signal mit niter Energie). Sie dient zur Netzwerkanalyse bei aperiodischen Eingangssignalen. E x(t) 2 dt < Hintransformation: x(t) X(jω) x(t) e jωt dt X(jω) 1 x(t) 2π X(jω) e +jωt dω 2

3 Wichtige Regeln a x(t) + b y(t) a X(jω) + b Y (jω) x( t) X (jω) x(at) 1 (j a X ω ) a x(t ± T ) X(jω) e ±jωt x(t T ) e jω 0t X(jω ± jω 0 ) t n x(t) (j) n dn dω n X(jω) d n dt n x(t) (jω) n X(jω) t x(t) 1 X(jω) + πx(0) δ(jω) jω x(t) y(t) X(jω) Y (jω) x(t) y(t) 1 (X(jω) Y (jω)) 2π δ(t) 1 1 2πδ(jω) 4 Laplace Transformation Hintransformation: x(t) X(s) 0 x(t) e st dt X(jω) x(t) 1 2π j j X(jω) e jωt dω Wichtige Transformationen: s(t) 1 s δ(t) 1 δ(t) s δ(t) s 2 e αt s(t) 1 s α sin(βt) s(t) β s 2 + β 2 cos(βt) s(t) s s 2 + β 2 e αt sin(βt) s(t) β (s + α) 2 + β 2 e αt cos(βt) s(t) s + α (s + α) 2 + β 2 t e αt 1 (s α) 2 t n n! eαt 1 (s α) n+1 Wichtige Sätze: a x(t) + b y(t) a X(s) + b Y (s) x(t) y(t) X(s) Y (S) x(t) y(t) X(s) Y (S) x(t ± T ) s(t ± T ) e ±st X(s) e ±S 0t x(t) X(s S0 ) t 0 ẋ(t) s X(s) x(0) ẍ(t) s2 X(s) sx(0) ẋ(0)... x (t) s3 X(s) s 2 x(0) sẋ(0) ẍ(0) x(τ)dτ 1 s X(s) 1 t x(t) s x(σ)dσ t n x(t) ( 1)n dn X(S) ds n Grenzwertsätze: lim y(t) lim s X(s) t 0 + s lim t y(t) lim s 0 s X(s) 3

4 5 Z-Transformation Einseitige Hintransformation: x µ z mu µ0 x µ 1 2πj z µ 1 X(z) dz Wichtige Transformationen: (a) µ 1 s(µ 1) 1. z a (µ 1) (a) µ 2 s(µ 1) 1. (z a) (µ2 3µ + 2) (a) µ 3 s(µ 1) 1. (z a) 3 Wichtige Sätze: x(µ). X(z) µ x(µ). z dx(z) dz 6 Zweidimensionale Fouriertransformation Hintransformation: G(f x, f y ) g(x, y) e j2π(fx x+fy y) dx dy g(x, y) g(x, y) e j2π(fx x+fy y) df x df y Beschreibung der Objektebene: g(x, y) I 2 (... P unktquellen etc....) Merke: gerade ungerade ungerade gerade gerade ungerade ungerade ungerade ungerade 7 Sonstiges Dreieck - Stern Umwandlung: R 10 R 12 R 31 R R 20 R 23 R 12 R R 30 R 31 R 23 R Stern - Dreieck Umwandlung: R 12 R 10 R 20 R 30 + R 10 + R 20 R 23 R 20 R 30 R 10 + R 20 + R 30 R 31 R 30 R 10 R 20 + R 30 + R 10 Der kapazitive Integrator: u C (t) u C ( ) + 1 t C i C (τ)dτ Der induktive Integrator: i L (t) i L ( ) + 1 t L u L (τ)dτ 4

5 Der kapazitive Dierentiator: i C (t) C du dt C u Der induktive Dierentiator: u L (t) L di dt C i Duale Netzwerke Regeln Jede innere M asche f reie Knoten Die äussere M asche Bezugsknoten Kondensatoren Spulen Leitwerte W iderstände Leerlauf zweige Kurzschlüsse Schalter Of f en Schalter geschlossen Ströme... Spannungen... Strompf eile Spannungspf eile Für die Formelzusammenhänge I D U z U D z I G D R z 2 C D L z 2 L D C z 2 Stationäre Quellen: Dauert unendlich lange an. Einschaltvorgang liegt soweit zurück, dass alle auftretenden Eigenfunktonen längst abgeklungen sind. Anfanszustand spielt keine Rolle mehr. Komplexe Wechselstromrechnung: Linear. Zeitinvariant. Stabil. Konzentriert. Stationär und harmonisch erregt. Alle Einschwingvorgänge sind abgeklungen. Konzentriertes Netzwerk Ein Netzwerk heisst konzentriert wenn die Wellenlänge der verwendeten Frequenz gröÿer ist als die Bauteilgröÿe. So tritt keine Elektromagnetische Wechselwirkung zwischen den Bauteilen auf. Beispiel: Hausinstallation: f 50Hz, λ 6000km Verteiltes Netzwerks Ein Netzwerk heisst verteilt wenn die Bauteile im Gröÿenbereich der Wellenlänge sind. Es wird Energie in Form von elektromagnetischen Wellen abgegeben. Beispiel: Funk, UKW-Antenne, Faltdipol... Filter-Charactersitik a(t 0) 0 a(t ) 0 a(t 0) 0 a(t ) 0 a(t 0) 0 a(t ) 0 a(t 0) 0 a(t ) 0 Tiefpass Hochpass Bandpass Bandsperre Rauschspannung: u Rausch 4k B T R {Z} f 5

6 8 Vierpoltheorie 8.1 Darstellungen Widerstandsdarstellung: [ [ U1 Z11 Z 12 U 2 Z 21 Z 22 [ I1 I 2 Leitwertsdarstellung: [ [ I1 Y11 Y 12 I 2 Y 21 Y 22 [ U1 U 2 Hybriddarstellung: [ [ [ U1 H11 H 12 I1 I 2 H 21 H 22 U 2 Kettendarstellung: [ [ [ U1 A11 A 12 U2 I 1 A 21 A 22 I Beschaltungsarten Reihenschaltung: [Z RES [Z 1 + [Z 2 Parallelschaltung: [Y RES [Y 1 + [Y 2 Hybridschaltung: [H RES [H 1 + [H 2 Kettenschaltung: [A RES [A 1 [A Eigenschaften Längssymetrisch: [ Reziprok: [ Lustiges: Und immer daran denken: Gaus bleibt Gaus e π σ 2 (x2 +y 2) e i2π(x2 +y 2) dxdy σ 2 e πσ2 (f 2 x +f 2 y ) 6